Сон Э.Е. Лекции по физической механике

Подождите немного. Документ загружается.

Лекции по физической механике

Э.Е.Сон

профессор, член-корреспондент РАН,

заведующий кафедрой физической механики

Московский физико-технический институт

Факультет аэрофизики и космических исследований

°Издательство Физматлит

УДК 532.517.4

Москва 2010

Оглавление

1 ТЕРМОДИНАМИКА ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ 9

1.1 Термодинамические потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Статистическая сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Статистическая сумма идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Статистическая сумма идеального газа с внутренними степенями

свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Статистическая сумма молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Вириальное разложение для неидеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Теорема вириала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Термодинамика слабонеидеальной плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.1 Поправки к термодинамическим функциям плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.2 Безразмерные параметры в плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Химическое равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.1 Диссоциация идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.2 Ионизационное равновесие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.3 Проблема ограничения статистических сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6 Система термодинамических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗАХ И ПЛАЗМЕ 37

2.1 Дифференциальные сечения рассеяния частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Классическая задача теории рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 Классические траектории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.2 Кулоновское рассеяние. Формула Резерфорда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.3 Условия применимости классической механики для рассеяния частиц . . . . . . . 41

2.3 Квантовые эффекты в рассеянии электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.1 Эффект Рамзауера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.2 Резонансное рассеяние электронов на молекулах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ 47

3.1 Уравнение Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Необратимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.2 Функция распределения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.3 Уравнение Больцмана для смеси газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.4 Уравнения гидродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Уравнения сохранения в плазме с неупругими процессами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.1 Баланс энергии при учете неупругих столкновений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Метод Чепмена-Энскога . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1 Коэффициенты переноса нейтральных газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.2 Теплопроводность и вязкость нейтральных газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.3 Диффузия и термодиффузия нейтральных газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.4 Коэффициенты переноса смесей нейтральных газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Пpиближение BGK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4.1 τ-пpиближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 ОГЛАВЛЕНИЕ

3.4.2 Транспортные свойства газа в τ -приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4.3 Теплопроводность газа в τ-приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.4 Вязкость газа в τ -приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5 Модель Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.1 Диффузия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.2 Электропроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.3 Диффузия и подвижность электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.4 Амбиполярная диффузия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5.5 Электропроводность газа в высокочастотном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6 Коэффициенты переноса полностью ионизованной плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7 Влияние химических реакций на коэффициенты переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.8 Температурная зависимость коэффициентов переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.8.1 Температурная зависимость электропроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.8.2 Температурная зависимость вязкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.8.3 Температурная зависимость теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.9 Безразмерные критерии, связанные с коэффициентами переноса . . . . . . . . . . . . . . 78

3.10 Скорости пороговых химических реакций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ 81

4.1 Элементарные процессы излучения и поглощения света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.1 Cвободно-свободные переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.2 Связанно-свободные переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.3 Cвязанно-связанные переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2 Классическая теория тормозного поглощения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1 Тормозное поглощение при рассеянии электронов на атомах . . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Фоторекомбинация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.1 Интегрирование по частотам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.4 Излучение спектральных линий в плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4.1 Сечения излучения и поглощения света в дискретном спектре . . . . . . . . . . . . 94

4.4.2 Формы спектральных линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4.3 Естественная ширина линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4.4 Доплеровская ширина линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4.5 Штарковское уширение спектральных линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4.6 Ударная теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.7 Коэффициенты поглощения и испускания в спектральных линиях . . . . . . . . . 102

4.5 Уравнение переноса излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5.1 Решение уравнения переноса излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5.2 Излучение плоского слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5.3 Оптически тонкий газ (κ

¿ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5.4 Оптически толстый газ (κ

l À 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.5.5 Росселандов пробег для тормозных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.5.6 Росселандов пробег для фотоионизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 ГИДРОДИНАМИКА ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СРЕД 111

5.1 Используемые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2 Гидродинамическое описание сплошных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.1 Уравнение непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2.2 Общее уравнение переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2.3 Уравнения диффузии компонентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2.4 Уравнение сохранения электрического заряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.5 Уравнение движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.6 Уравнения Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2.7 Уравнение энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3 Полная система уравнений гидродинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.4 Термодинамика необратимых процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

ОГЛАВЛЕНИЕ 5

5.4.1 Векторная часть производства энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.4.2 Тензорная часть производства энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.5 Критерии подобия в гидродинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.6 Гидродинамические модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.6.1 Локально-химически равновесная среда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.6.2 Магнитогидродинамическое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6.3 Критерии подобия в магнитной гидродинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.6.4 Интеграл Бернулли в магнитной гидродинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.7 Многожидкостная гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.7.1 Релаксационные явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.7.2 Слабоионизованная плазма в электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.7.3 Слабоионизованная плазма в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.8 Граничные и внешние условия в гидродинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.8.1 Общее граничное условие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.8.2 Кинематические граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.8.3 Граничные условия для электромагнитных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.8.4 Граничные токовые слои . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.9 Многофазные среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.9.1 Задачи по динамике многофазных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6 Турбулентное движение газов, жидкостей и плазмы 161

6.1 Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.2 Основные определения и особенности турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.2.1 Общая характеристика турбулентного движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.2.2 Причины возникновения турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.2.3 Постановка задач в теории турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.2.4 Турбулентность сред с переменными свойствами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.3 Локальная структура турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.3.1 Перенос турбулентности энергии по спектру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.3.2 Основы теории локально-изотропной турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.3.3 Характеристики мелкомасштабной турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.3.4 Особенности двумерной турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.4 Однородное изотропное турбулентное движение среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.4.1 Корреляционные функции в однородной изотропной турбулентности . . . . . . . . 173

6.4.2 Уравнение Кармана-Ховарта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.4.3 Спектральная форма корреляционных функций и уравнений . . . . . . . . . . . . 178

6.4.4 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.5 Неоднородное турбулентное движение среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.5.1 Уравнения Рейнольдса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.5.2 Турбулентные коэффициенты переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.5.3 Полуэмпирическая "равновесная"теория турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.5.4 Масштаб турбулентности. Параметрические модели турбулентности . . . . . . . . 196

6.5.5 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.6 Взаимодействие электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.6.1 Однородная магнитогидродинамическая турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.6.2 Неоднородная магнитогидродинамическая турбулентность . . . . . . . . . . . . . . 213

6.6.3 Турбулентность в электрических разрядах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6.7 Некоторые специальные типы турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.7.1 Турбулентность в стратифицированной среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

6.7.2 Турбулентное течение жидкости с полимерными добавками . . . . . . . . . . . . . 231

6.7.3 Взаимодействие турбулентного движения с тепловым излучением . . . . . . . . . . 234

6.7.4 Турбулентность многокомпонентных реагирующих сред . . . . . . . . . . . . . . . 237

6 ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Курс лекций по физической механике является заключительным курсом факуль-

тетского цикла на факультете аэрофизики и космических исследований Московского

физико-технического института по направлению подготовки бакалавров "прикладные

математика и физика" . Ко времени прочтения лекций по физической механике студен-

ты 4 курса уже освоили высшую математику в объеме около 1 000 часов, включающую

математический анализ, аналитическую геометрию, дифференциальные уравнения и

уравнения в частных производных. Физическое образование в МФТИ также в объеме

около 1 000 часов включает 6 семестров курса общей физики: механику, термодинамику,

электричество, оптику, атомную и ядерную физику.

В числе специальных дисциплин на факультете студенты за первые 3 курса изучали

техническую термодинамику, газовую динамику, механику сплошных сред и гидродина-

мику. В этих разделах изучались явления и процессы в идеальных газах и жидкостях.

Основные специальности на факультете связаны с теоретическими и эксперименталь-

ными исследованиями явлений внешней газо- и гидродинамики типа входа космиче-

ских аппаратов в плотные слои атмосферы, физики горения и взрыва и внутренней до-

и сверхзвуковой газодинамики – разработка и проектирование ракетных двигателей,

МГД-генераторов, газодинамических и электроразрядных лазеров и других техниче-

ских устройств, использующих в качестве рабочих сред высокотемпературные газы и

плазму.

Курс физической механики предназначен для изучения фундаментальных основ

движения реальных высокотемпературных газов и плазмы в гравитационном и элек-

тромагнитных полях с учетом химических (плазмохимических) и ядерных реакций,

проблем устойчивости движений и областей ламинарного и турбулентного движений.

Учебное пособие состоит из нескольких частей. Часть первая посвящена исследова-

нию теплофизических свойств газов и плазмы, включающих термодинамические свой-

ства идеальных и неидеальных газов и плазмы, химические и плазмохимические реак-

ции, в том числе диссоциацию и ионизацию, элементарных процессов в газах и плазме,

кинетической теории газов и плазмы и оптических свойств газов, перенос радиационного

излучения. Во второй части описаны общие уравнения гидродинамики движения высо-

котемпературных газов и плазмы, рассмотрены наиболее общие принципы гидродинами-

ческого описания с учетом химических реакций, самосогласованных электромагнитных

полей и неравновесных систем - слабоионизованной плазмы в электрическом и магнит-

ном полях, поступательной, вращательной и колебательной неравновесности. В третьей

части рассматриваются гидродинамические, плазменные и плазмохимические неустой-

чивости на линейной и нелинейной стадиях, переход в турбулентность по сценариям

Ландау-Хопфа и Лоренца, Рюэля и Такенса. Этот раздел входит в курс физической

механики, но читается на факультете как отдельный курс, поэтому он издан отдель-

ным курсом лекций. В четвертой части описывается турбулентное движение обычных

и высокотемпературных сред. Основное внимание здесь уделено практическим методам

расчета турбулентных течений на основе K − l, K − ε моделей и моделях рейнольд-

совых напряжений. В этой части проводится аналогия с кинетической теорией газов

и на основе иерархии времен установления моментов различных порядков обосновы-

ваются методы замыкания уравнений моментов пульсационных величин. Обсуждаются

ОГЛАВЛЕНИЕ 7

особенности турбулентности высокотемпературных сред: взаимного влияния магнитных

полей, излучения, химических реакций и неравновесных процессов.

Физическая механика включает годовой курс лекций, семинаров и лабораторный

практикум.

В основу курса положены лекции, прочитанные автором – с 1985 года по настоя-

щее время в МФТИ, Массачусетском технологическом институте (США), Университе-

те Уэльса (Великобритания) и Сунг-Сильском университете (Республика Корея). Курс

лекций постоянно развивается, дополняется в соответствии с новыми специализациями

факультета аэрофизики и космических исследований МФТИ, сохраняя при этом стерж-

невые фундаментальные разделы.

Автор выражает благодарность коллегам, ведущим семинары по физической меха-

нике: Н.Л. Александрову, В.П. Вакатову, В.П. Коновалову, а также О.С. Галькевич,

подготовившей рукопись на основе современных T

Xнологий.

Издание курса лекций осуществлено при поддержке Российского фонда фундамен-

тальных исследований, Программы " Развитие научного потенциала высшей школы"

Министерства образования и науки РФ.

8 ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1

ТЕРМОДИНАМИКА ГАЗОВ И

ПЛАЗМЫ

Низкотемпературной плазмой называется частично ионизованный газ, имеющий темпе-

ратуру ниже температуры, эквивалентной величине потенциала ионизации, и давление

в широком диапазоне – от сверхнизкого до сверхвысокого. Термодинамические свойства

газов при нормальных условиях хорошо изучены экспериментально и теоретически. Это

обусловлено тем, что при нормальных условиях газ состоит из атомов и молекул, взаимо-

действующих посредством короткодействующих потенциалов, т.е. потенциалов, область

действия которых мала по сравнению с размером области, приходящей на одну частицу

(a ¿ r

, где a – радиус действия потенциала, величина порядка размера частицы, r

– среднее расстояние между частицами в газе). При повышении температуры до тысяч

градусов газ начинает диссоциировать, т.е. молекулы распадаются на атомы, а при даль-

нейшем повышении температуры происходит ионизация газа, т.е. атомы распадаются на

ионы и свободные электроны. Образовавшиеся заряженные частицы взаимодействуют

между собой по кулоновскому потенциалу, который является дальнодействующим, что

приводит к тому, что на каждую заряженную частицу действует одновременно несколь-

ко других заряженных частиц, поэтому система заряженных частиц должна описывать-

ся как система многих тел с одновременным взаимодействием между многими телами.

Два обстоятельства – дальнодействующий характер взаимодействия заряженных частиц

и химические реакции, активно протекающие при высоких температурах, определяют

сложность описания теплофизических свойств низкотемпературной плазмы. В первой

части курса, посвященной термодинамическим свойствам высокотемпературных газов

и плазмы, от читателя не требуется предварительных знаний, достаточно образования

в пределах курса общей физики и высшей математики. Все результаты обосновывают-

ся и последовательно выводятся из общих принципов, принимаемых без доказательств,

например, распределение Гиббса, вывод которого можно найти в курсе теоретической

физики Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица. Раздел теплофизических свойств состоит из трех

частей, описывающих последовательно термодинамические, кинетические и оптические

свойства высокотемпературных газов и плазмы.

10 ГЛАВА 1. ТЕРМОДИНАМИКА ГАЗОВ И ПЛАЗМЫ

1.1 Термодинамические потенциалы

Термодинамика, или макроскопическая термодинамика, это раздел физики, который

описывает свойства веществ (газов, жидкостей, твердых тел), используя, так называ-

емые, макроскопические термодинамические переменные, к которым относятся: объ-

ем, температура, давление и энтропия. Через эти переменные могут быть выраже-

ны так называемые термодинамические потенциалы: внутренняя энергия U, энтальпия

H = U + pV , свободная энергия F = U − T S и термодинамический потенциал Гиббса

или просто термодинамический потенциал Φ = U − T S + pV . Каждый из потенциалов

имеет свои "собственные переменные" которыми в термодинамике называются такие

переменные, будучи выражены через которые, термодинамические потенциалы полно-

стью определяют термодинамику системы, то есть любая термодинамическая функция

может быть выражена через производные от этого потенциала по этим переменным. Та-

ким образом, описание термодинамических свойств среды является полным, если тер-

модинамический потенциал выражен через свои собственные переменные. Если же этот

потенциал задан не через свои собственные переменные, например U(S, p), то такое опи-

сание является неполным и необходимы дополнительные математические преобразова-

ния, которые позволили бы выразить термодинамический потенциал через собственные

переменные. Для термодинамических потенциалов собственными переменными являют-

ся:

• внутренней энергии – U(S, V ),

• энтальпии – H(S, p) = U + pV ,

• свободной энергии – F (T, V ) = U − T S,

• термодинамического потенциала Гиббса Φ(p, T ) = U − T S + pV .

Термодинамические параметры делятся на интенсивные (T и p) и экстенсивные (S

и V ). Экстенсивными переменными называются такие параметры, которые при уве-

личении системы в n раз также увеличиваются в n раз. Например, если увеличить

макроскопическую систему в 2 раза, то объем и энтропия соответственно увеличатся

в 2 раза, а температура и давление останутся неизменными, как интенсивные пара-

метры. К термодинамическим параметрам, кроме упомянутых, может быть отнесена

также масса системы M, или количество частиц в системе N = M/m, где m – масса

одной частицы. Существенный физический смысл имеют выражения не для термодина-

мических потенциалов, а для их дифференциалов. Поэтому приведем выражения для

дифференциалов термодинамических переменных. Для того, чтобы помнить выражения

для четырех дифференциалов термодинамических потенциалов dU, dH, dF, dΦ, доста-

точно запомнить только выражение для дифференциала внутренней энергии, которое

фактически выражает закон сохранения энергии или первое начало термодинамики:

изменение внутренней энергии системы равняется количеству подведенного тепла ми-

нус работа, произведенная системой, плюс величина, на которую увеличивается энергия

системы (для систем с переменным числом частиц) при добавлении частиц в систему:

dU = T dS − pdV + µdN,

где µ – химический потенциал частицы. Выражения для дифференциалов энтальпии,

свободной энергии и термодинамического потенциала следуют из их определений и соб-