Солодов В.Г. Моделирование турбулентных течений. Расчет больших вихрей

Подождите немного. Документ загружается.

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕРАЗРЕШАЕМЫХ

НАПРЯЖЕНИЙ.

4.1 О классификации моделей неразрешаемых напряжений

В разделе рассматриваются модели неразрешаемых напряжений

в рамках фильтрованных уравнений для случая изотропной и

однородной турбулентности. Концепция фильтрования заключается в

отсечении передачи информации на определенной фильтром частоте

энергетического спектра.

Однородная и изотропная турбулентность подразумевает

отсутствие либо удаленность границ области, и рассматривается как

простейший случай турбулентности, в которой выполняются

гипотезы Колмогорова. Наличие границ и других возмущающих

факторов вносит анизотропию и усложняет построение моделей

турбулентности. Ниже под неразрешаемыми напряжениями

понимаются напряжения подфильтрового масштаба (SFS),

соответствующие напряжениям подсеточного масштаба (SGS) для

однородных сеток.

Взаимодействие между разрешаемыми и подфильтровыми

масштабами турбулентности зависит от свойств применяемого

фильтра и формы спектра, вблизи которого происходит отсечение, и

определяет в модели интенсивность передачи энергии и переноса

через границу отсечения в целом.

Общепринятой классификации моделей на данный момент нет.

Различные авторы применяют отличающиеся подходы.

В частности, Sagaut [153] различает функциональное и

структурное моделирование. Функциональное моделирование по

[153] состоит в моделировании действия неразрешаемых членов на

фильтрованные поля, но не на тензор неразрешаемых напряжений



Таким образом, вводится диссипативный, либо дисперсионный член,

который дает аналогичный эффект, но может отличаться по

структуре. Напротив, структурное моделирование неразрешаемых

напряжений состоит в моделировании именно тензора

неразрешаемых напряжений непосредственно, либо через

моделирование пульсаций полей.

В [18] предлагается несколько отличающаяся классификация

замыканий для FNS уравнений, отсортированных по степени

сложности, диссипативным и дисперсионным свойствам моделей.

Именно, в одном классе рассматриваются модели замыканий,

основанные на понятии вихревой вязкости (по аналогии с гипотезой

Буссинеска для RANS), отсортированные по нарастающей степени

сложности и аппроксимации по радиусу фильтра. По сути дела, это

модели, попадающие в категорию функционального моделирования.

Среди улучшенных моделей авторы [18] различают класс моделей,

основанных на асимптотике волновых чисел, и соответствующие

смешанные модели, содержащие добавочный член на основе

вихревой вязкости. По базовому подходу данный класс принадлежит

к категории структурного моделирования.

Существует также классификация моделей замыкания по

величинам, обеспечивающим разрешение ([153]).

1. Модели, основанные на разрешаемых масштабах. В них

подфильтровая вязкость оценивается на основе использования

глобальных величин, рассчитываемых на основе разрешаемых

масштабов. Подфильтровые масштабы выбираются из глобальных

характеристик разрешаемых масштабов на основе предположений,

гипотез.

2. Модели, основанные на энергии отсечения: подфильтровая

вязкость вычисляется по энергии самой высокой разрешаемой

частоты (самого малого разрешаемого масштаба). Существование

подфильтровых масштабов определяется ненулевой величиной

энергии отсечения

E( k )

по энергетическому спектру. Существенным

фактором в данном подходе является использование частотного

спектра вблизи энергии отсечения.

3. Модели, использующие информацию из энергетически

содержательных подфильтровых масштабов.

Указанные категории имеют отношение в основном к стратегии

функционального моделирования. К ним можно отнести следующие

основные виды моделей.

1. Модель Смагоринского [165] (и аналоги) основывается на

разрешаемых масштабах и использует идею вихревой вязкости. Это

простейшая модель, которая обладает недостатками всех моделей,

основанных на разрешаемых масштабах.

2. Модель Metais-Lesieur [126] использует корреляционные

моменты 2-го порядка. Является продолжением в физическое

пространство спектральных моделей, основанных на

энергетическом отсечении спектра. Лучше отражает

крупномасштабную перемежаемость, чем модель

Смагоринского[165].

3. Модель Shao [160], использует корреляционные моменты 3-го

порядка. Является обобщением модели Смагоринского.

Основывается на уравнении Колмогорова [121] для фильтрованных

корреляционных моментов 3-го порядка.

4. Модель, основанная на кинетической энергии подфильтровых

мод, в которой подсеточная вязкость представляется в виде

   

, ,

SGS SGS

x t K x t

 

[78,90].

5. Модель Yoshizawa [196-198], включающая дополнительное

уравнение переноса для кинетической энергии подфильтровых

масштабов, и потому учитывающая информацию, поступающую от

части спектра после отсечения.

6. Модели смешанных масштабов, применяемые многими

авторами (см. например [151]), использует информацию,

относящуюся как к разрешаемым, так и подфильтровым

масштабам. Подфильтровые данные получаются путем

экстраполяции из данных, содержащихся в разрешаемых

масштабах. Семейство моделей занимает промежуточный уровень

сложности и качества разрешения между простейшими моделями и

более сложными.

Взаимодействие больших и малых масштабов турбулентности

реализуется через два процесса (рис.4.1):

- диссипативный процесс передачи энергии от больших масштабов к

малым масштабам, именуемый прямым каскадным процессом

передачи энергии от крупных вихрей к малым вихрям;

- слабо выраженный обратный диссипативный процесс передачи

энергии от малых масштабов к большим масштабам, именуемый как

обратный каскадный процесс.

Поэтому иногда модели разделяют на классы чисто

диссипативных моделей [39,40], в которых может описываться только

прямой каскад, и усовершенствованные модели, которые содержат и

описание обратного каскада.

Рис.4.1 Схема передачи энергии в изотропной турбулентности по

[18,153]

Можно также классифицировать модели по отражению

каскадного процесса в физическом пространстве с одной стороны, а

также в пространстве волновых чисел.

Моделирование в физическом пространстве основывается в

большинстве случаев на следующих гипотезах (см.[141,153]):

- передача энергии от разрешаемых масштабов к

неразрешаемым масштабам аналогична молекулярному механизму,

представленному диффузионным членом с молекулярной вязкостью

(Boussinesq [21]);

- характерная длина и характерное время достаточны для

описания неразрешаемых масштабов [219], в частности

0 0

SGS

L t





;

гипотеза восходит к Прандтлю [143].

Спектральные модели в основном строятся на основе теории

спектрального анализа турбулентности, разработанной в работах [92-

94] (Kraichnan) и, как правило, явно задают зависимость эффективной

вихревой подсеточной вязкости от энергии турбулентных пульсаций в

точке отсечения. В основном, это модели школы Lesieur: модель

Chollet-Lesieur [28] и ее обобщения различной степени сложности:

динамическая модель, учитывающая наклон кривой спектрального

состава энергии [126], модель Lesieur-Rogallo [107], учитывающая

дополнительную информацию о переносе энергии к неразрешаемым

масштабам. Спектральные модели отличаются трудоемкостью в

реализации, и подробно в данном обзоре не рассматриваются.

В работах [68,69] развиты унифицированные модели,

использующих стохастические методы на основе функций плотности

вероятности и функций плотности фильтра.

4.2 Обсуждение некоторых наиболее известных моделей

замыкания

Модель Смагоринского [165]. Наиболее известна и широко

используется SGS модель Смагоринского; существует также ее

динамическое обобщение, принадлежащее Germano и др.[59] (см.

ниже).

Модель SGS Смагоринского основана на гипотезе вихревой

вязкости подфильтрового масштаба (восходящей к гипотезе

Буссинеска) в виде

ij ij kk ij SGS ij

   

    

Причина специального выделения следа тензора обусловлена

необходимостью уравнивания левой и правой частей при свертке

индексов.

Выражение для подфильтровой вязкости получается в

предположении, что турбулентная диссипация находится в

равновесии с генерацией турбулентной энергии, и следует из

уравнения

2 2

( ) ( ) 2

SGS S ij S ij ij

C S C S S

   

  

где

ij ij ij

S S S



- амплитуда тензора турбулентных напряжений

разрешаемых масштабов.

Таким образом, модель Смагоринского принимает вид

2 ( )

ij ij kk ij S ij

C S S

    

    

Величина константы Смагоринского может быть оценена. В

[108] (Lilly) высказана гипотеза, что константа аналитически

калибруется на инерционном интервале для аппроксимации

остаточного члена диссипации напряжений. На этой основе Schmidt и

Schumann [157], используя связь между константой

универсальной константой Колмогорова

, получили

3 4

1 2

 



 

 



При значении

1.6



величина

составляет

0.165



, хотя у Lilly

[108] употребляется

0.23



В большинстве расчетов значение константы Смагоринского

чрезмерно завышено, что ведет к существенному ослаблению

мелкомасштабных пульсаций. Например, в расчетах каналовых

течений в [37] (Deadorf) применялась величина

0.07



; значения

константы Смагоринского в диапазоне

0.08 0.1

 

успешно

использовались в слоях смешения в [200](Yoshizawa).

Скорость диссипации вычисляется из выражения 2

ij ij

S S



 

. В

терминах модели Смагоринского скорость диссипации оценивается

как

 

C S

 



Следует, однако, заметить, что модель Смагоринского

основывается на больших масштабах. Несмотря на локальность

понятия вихревой вязкости перенос энергии через границу отсечения

волновых чисел обеспечивается в среднем, а не локально.

Модель Смагоринского чрезмерно диссипативна в пограничных

слоях [141,153]. Повышенная диссипация подавляет формирование

вихрей и турбулентность в целом. В [16] предложено изменять

константу Смагоринского

вблизи стенки так, чтобы параметры

течения удовлетворяли теории пограничного слоя

(логарифмическому закону стенки). Масштабирование

, например

по [16], имеет вид





( ) 1 exp( / )

S S S

C C y C y A



 

    

 

где

константа Смагоринского,



- безразмерная расстояние до

стенки;





u H y











- полуширина канала,



- безразмерная

скорость в погранслое,

- константа van Driest .

Модель Смагоринского имеет пределы применимости,

нарушение которых приводит к противоречиям, подробно

обсуждаемым в [141]. В частности, противоречия отмечаются для

случая очень малых радиусов фильтра, для которых при применении

гауссового фильтра величина константы

растет, в случае

спектрального фильтра – уменьшается. Подобная противоречивость

имеет место и для больших радиусов, для которых

стремится к

нулю.

Существуют также противоречия для частных случаев течений.

Например, для ламинарного течения уравнения Рейнольдса переходят

в уравнения NS, и рейнольдсовы напряжения должны при этом

стремиться к нулю

 

, однако модель этого условия не

обеспечивает.

Кроме того, в простых сдвиговых течениях типа





1 1 2 3

u u x x



существует компонента тензора рейнольдсовых напряжений

 

но модельные сдвиговые напряжения равняются нулю, что требует

для такого течения нулевой константы Смагоринского



Поэтому в некоторых работах ([158] Schumann, [129] Moin, Kim) в

модели вместо

используется разность

ij ij

S S



, при этом, однако,

реализация LES требует для

специальных дополнительных

вычислений.

Масштабирование типа [16] улучшает предсказание модели в

статистике турбулентности для простых геометрий, где выполняется

теория погранслоя (обтекание пластины, течение в трубе). Следует

также подчеркнуть, что использование модели Смагоринского без

условия



в погранслоях демонстрирует неустойчивость.

Идеальное применение модели Смагоринского –

высокорейнольдсово течение для величин радиуса фильтра

находящихся в инерционном поддиапазоне турбулентности.

Модель 2-го порядка. Metais, Lesieur [126] предлагают

оценивать энергию волнового числа отсечения

на основе момента

второго порядка вида

       

2 2

x r

D ( x,r ,t ) u x,t u x x ,t d x u x,t u x x ,t





  

     

   

   





       

В случае однородной и изотропной турбулентности для

колмогоровского спектра продольный момент 2-го приобретает вид

2 3 2 3

( , ) (1 3)

D r t K r

 



ему соответствует спектральная энергия

5 3 2 3

( ) ( , )

9 (1 3)

E k D r t k r

 





Для получения SFS модели авторы [126] оценивают

корреляционный момент второго порядка, представляя его в виде:

( , ) ( , ) ( , )

LL LL

D r t D r t C r t

 

где

( , )

D r t

вычисляется по разрешаемым масштабам, а

( , )

C r t

соответствует вкладу подфильтровых масштабов и оценивается по

спектральной функции энергии подфильтровых пульсаций на основе

колмогоровского представления спектра. Детали изложены в

оригинальной статье Metais, Lesieur [126].

В простом случае

 

модель SFS вязкости упрощается

( , , ) 0.105 ( , , )

SGS LL

x t D x t

   



Как отмечается в [153], данные о подфильтрововй вязкости в

модели опираются на локальную структуру турбулентности в

физическом пространстве. Следовательно подфильтровая вязкость

нелокальна в пространстве волновых чисел, и поэтому дает неточную

оценку кинетической энергии турбулентности

( )

E k

Модель 3-го порядка. Shao и соавторы [160,33] определили

более общий класс подфильтровых моделей, основанных на

уравнении Колмогорова [121] для корреляционных моментов

третьего порядка в изотропной турбулентности

LLL LLL

D G r

  



где

( , )

LLL

D r t

- двухточечный корреляционный момент для

компоненты отфильтрованного поля скорости третьего порядка

   

( , , ) , ,

LLL

D x r t u x r t u x t  

 

 

Здесь подразумевается статистическое среднее, эквивалентное

интегралу по сфере радиуса

Объект

LLL

представляет собой корреляционный момент,

составленный из продольных компонент скорости и напряжения

( , ) ( , ) ( , )

LLL l ll

G r t u x t x r t

 



ij ij

 

 

Модель состоит в вычислении подфильтровой вязкости на основе

уравнения Колмогорова при использовании ряда гипотез. Гипотеза

Shао состоит в степенной зависимости корреляционного момента

«скорость-напряжение»

1 3

( , )

LLL

G r t r





что соответствует гипотезе Колмогорова о локальной изотропии.

Благодаря этому предположению из сравнения корреляционного

момента

LLL

на двух пространственных масштабах получается

соотношение

1 3

1 1 1

2 2 2

( ) 0.8

LLL

D r r r



 





 



 



Из этого построения следуeт ряд моделей для подфильтровой

вязкости.

1) При постоянной подфильтровой вязкости получаются соотношения

ij SGS ij

 

 

SGS



 

LLL SGS LL

G D r

  



Уравнение Колмогорова при подстановке дает подфильтровую

вязкость

0.8 4

LLL

SGS

S D









Предыдущая модель (Metais-Lesieur [126]) следует отсюда, если

положить

 

, где



- масштаб отсечения.

2) Модель переменной подфильтровой вязкости, основанная также на

одном масштабе

LLL

SGS

  