Солодов В.Г. Моделирование турбулентных течений. Расчет больших вихрей

Подождите немного. Документ загружается.

 

j i ij

j j j

E q

u E p u

t x x x

   

 

     

 

   

 

 

j j j j ij j

j j j i

u u p u p u u

x x x x

 

   

         

 

   

 

  

 

v v v

i i i

ij ij v ij ij i ij i T T

j j j i i

u u u

ˆ ˆ

u u q q

x x x x x

 

    

          

 

    

 

 

Здесь величины



- суть вязкие напряжения и тепловой

поток, которые вычисляются по разрешаемым переменным. Они

равны фильтрованным величинам в случае постоянных значений

вязкости и теплопроводности среды. Величина







ij i j i j

u u u u

   

 

является невязкой между фильтрованным произведением скоростей и

составленным из фильтрованных по Фавру разрешаемых величин.

Уравнение переноса пассивного скаляра



- параметра, не

взаимодействующего с другими полями параметров, представляется в

виде

 



 

j j j

u F

t x x x



 

   

      

 

   

 

 



где неизвестные корреляционные моменты



i j

u u





 

должны

моделироваться специальным образом по аналогии с методом,

описанным выше.

Отфильтрованный тензор скоростей деформаций определяется

как

j i

x x

 



 

 

 

 



Величина



означает коэффициент молекулярного переноса скаляра



. Величина



- мощность источника величины



По аналогии с гипотезой Буссинеска для турбулентного

переноса импульса можно формально ввести коэффициент





турбулентного переноса величины







 

   





Приведем еще одну форму уравнения FNS в декартовой системе

с осреднением по Фавру [140]

 

t x

 

 

 



 

i i j

u u u

t x

 

   

 

  

 

F SGS

ij kk ij

i j

S S

x x

   

 

        

 

 

 

 

 

 



1 2

2 2

3 3

ij kk ij ij kk ij

S S S S

 

 



 

        

 

 



 

 

 

 

 



 

j kk ij B kk ij ij

j j

e u e pS S S S

t x x

    

 

            

 

 

  

 

 



  

     







 







j j j j kk

u e u e q q pS pS



 

        

 





  

1 1

2 2

3 3

ij kk ij ij ij kk ij ij

S S S S S S

 

    

 

   

       

 

   

   



   

   

 

 

  



p T







Величина







F SGS

ij i j

u u

 

  

подобна рейнольдсовому аналогу, и

также является симметричным тензором подсеточных турбулентных

напряжений, и требует способа определения.

В соответствии с гипотезой Буссинеска о вихревой вязкости

можно записать

 



1 2

3 3

F SGS

ij i j T ij ij ij

u u S K

 



 

         

 



 



В уравнениях

обозначает внутреннюю энергию,



фильтрованный по Фавру тензор скоростей деформаций. Среди

моделируемых членов уравнений разностью

1 2

2 2

3 3

ij kk ij ij kk ij

S S S S

 

       

 

 

 



обычно пренебрегают; в уравнении

энергии разность выражается через подсеточные напряжения [190],

член





j j

q q





может быть опущен, величины







pS pS





1 1

2 2

3 3

ij kk ij ij ij kk ij ij

S S S S S S

   

   

      

   

   

   

   

  



являются предметом моделирования [190].

3.7 Проблема коммутации фильтров

В общем случае операция фильтрования случайной величины





1 2 3

x ,x ,x



[105] представляется в виде (см. также [219])

     

x G x, d



     



где концепция фильтра распространена на трехмерную область с









1 2 3 1 2 3

, , , , ,

x x x x

   

 

. Свойство функции фильтра, применяемого

к константе

 

G x, dx d



  



Разложение с участием фильтрующей операции кажется

похожим на рейнольдсово разложение, однако величина



является

случайной именно ввиду узости фильтра, и применение фильтра к

подсеточной величине





не равно нулю



 

, хотя, переходя к

пределу по ширине фильтра, мы получаем нуль.

В большинстве интересных задач уравнения FNS интегрируются

на однородных, но анизотропных сетках





1,2,3



, и в этом случае

вынужденно используется анизотропный фильтр







. При этом

характерный размер фильтра иногда выбирают в виде

1 3

1 2 3

( h h h )

 

Как уже отмечалось в разделе 3.4, операция пространственного

фильтрования коммутирует с дифференцированием по времени.

Однако по пространству коммутация может быть обеспечена лишь

изотропией сеточного разбиения, либо специальным учетом

анизотропии. Как уже отмечалось выше в обсуждении свойств

операции фильтрования, при дифференцировании соотношения,

определяющего операцию фильтрования для пространственной

координаты

, получается дополнительный интеграл от величины



с фильтром, равным производной от исходного фильтра









 





x x G x

,t d

x x x

   

    

  



Последний член обращается в нуль только для однородных по

пространству фильтров. Таким образом, при применении фильтра на

неравномерных сетках появляется дополнительная погрешность от

анизотропного фильтрования, связанная с коммутацией операций

дифференцирования. Разница

j j

x x

 



 

между этими членами

является ошибкой коммутации.

Существуют две возможности для получения фильтрованных

уравнений Навье-Стокса на неоднородных сетках

1) применение операции фильтрования к NSЕ в декартовых

координатах и последующее преобразование отфильтрованных

уравнений для применения на криволинейных сетках;

2) запись NSЕ в обобщенных координатах и последующее

применение операции фильтрования.

Эти сценарии изучались в [61,188] (Moin и др.), [86] (Jordan),

также рассмотрены в [153, 74].

В работе [61] эффект преобразования фильтрованных уравнений

обсуждался для одномерного случая. Показано, что введение

преобразования координаты приводит к коммутирующим фильтрам с

ошибкой в производных порядка







. В [188] показано, что данный

метод можно распространить на произвольный порядок точности

специальным выбором ядра фильтра.

Фильтрование в обобщенных координатах также исследовал

Jordan в [86], который предложил проводить операцию фильтрования

после применения преобразования уравнений NS к обобщенным

координатам, и показал, что ошибка коммутации при таком подходе в

некоторых случаях исчезает в силу того, что ядро фильтра действует

в однородном пространстве

3.8 Уравнения FNS в обобщенной криволинейной системе

координат

Уравнения FNS без учета сжимаемости в обобщенной

криволинейной координатной системе





, 1,2,3

i  с обратным

якобианом

могут быть представлены в виде:











 

k k kl k

i i i i

k k k l k

Ju U u J p JG

 

     

       

 

     

 

Здесь коэффициент вязкости считается постоянным;

k k

i i

   

;

- декартовы компоненты скорости;

k k

i i

U J u

 

- контравариантные компоненты скорости;

k k k k k

i j i j j j i i

J u u J u u U u U u

      

- аналог подсеточного (SGS)

тензора, который является предметом дополнительной модели.

По замечанию [86] метрические величины, например



вычисляются в конечных разностях, поэтому могут считаться

фильтрованными на выбранной сетке. Поэтому приближенно

принимают

k k k

i i i i

U J u J u

  



Подсеточный тензор в криволинейной системе линейно связан с

подсеточным декартовым тензором







k k k k k

i j i j j j j j i j i j j ij

J u u J u u J u u u u J

         



Уравнения FNS и уравнение энергии с учетом сжимаемости в

обобщенной криволинейной координатной системе





, 1,2,3

i  при

тех же обозначениях принимают вид:

 





j j

J J u

 

    

 



 

i j i j ij ij

J u J u u p

 

 

        

 

 

   

 

k k

j i j i j j ij ij

k k

J u u u u J

 

   

         

   

 

  

   





j j i ij j

ˆ ˆ

JE J u E p u q

 

 

      

 





 

 

j j j

J pu pu



 

   

 

 

 





 

j j

k k

j i j i j i j

k k k

u u

J p p u J u u u u

 

 



 

        

 

 

 

 

  

 



  

 

j j

k k k

j ij ij j ij i ij j j j j

k k k k

u u

ˆ ˆ

J J u u J q q

 

 

   

            

 

   

 

   

   

 



 

p T







Здесь:

шапкой обозначаются синтетические величины;





j ij ij

   



- аналог

неразрешаемого тензора;

- синтетическая полная энергия, которая

вычисляется; контравариантные компоненты записываются как

k k k

i i i i

U J u J u

  



аналогично несжимаемому случаю.

3.9 Представление нелинейного конвективного члена

Центральным вопросом при решении фильтрованных уравнений

Навье-Стокса является моделирование нелинейного конвективного

члена. Этой проблеме посвящены многочисленные попытки

представления нелинейного фильтрованного члена в виде разложения

через фильтрованные поля газодинамических переменных.

Разложение Леонарда (Leonard [105], 1974)

В работе [105] при применении фильтрующего оператора к

нелинейному конвективному члену уравнений Навье-Стокса

нелинейный член (в пренебрежении сжимаемостью) представлен в

виде функции

и флуктуации



 







Рейнольдсовы

разрешаемые

перекрестные

напряжения

i i i j j

i i i j i j

j j

u u u u u u

u u u u u u u u

 

   

   

   



Это так называемое тройное разложение. В этом разложении

разрешаемый член может быть разложен далее







новый

тензорЛеонарда

разрешаемый

член

i j i j i j i j

u u u u u u u u

  



Такое представление называется разложением Леонарда.

Существует два способа представления уравнений импульса в

зависимости от выбора для формулировки разрешаемого

конвективного члена: 1) на основе тройного разложения; 2) на основе

разложения Леонарда.

В первом случае фильтрованное уравнение приобретает вид

уравнения движения

 

ij ij

i j

j i j j

u p

u u

t x x x x

 

  

     

    

Подсеточный тензор



объединяет все неразрешаемые члены и

представляется в виде двойного разложения.

ij i j i j ij ij

u u u u C R

    

Здесь

- перекрестный тензор, описывающий взаимодействие между

большими и малыми масштабами;

- рейнольдсов подсеточный

тензор, описывающий взаимодействие между подсеточными

масштабами

;

ij i i j ij i j

C u u u u R u u

   

  

Другой способ заключается в том, чтобы члены в уравнении

импульсов могли быть оценены непосредственно по фильтрованным

величинам. Так как член

u u

не может быть представлен в виде

произведения фильтрованных значений полей, и требует повторного

фильтрования, то проводится дополнительное разложение [105]





тензор Леонарда

i j i j i j i j ij i j

u u u u u u u u L u u

    



Новый член – тензор Леонарда – отражает взаимодействие

разрешаемых масштабов при операции фильтрования. При

осреднении по Рейнольдсу такое взаимодействие не учитывается.

Фильтрованное уравнение NS приобретает вид

 

ij ij

i j

j i j j

u p

u u

t x x x x

 

  

     

    

здесь



представляется в виде тройного разложения

ij ij ij ij i j i j

L C R u u u u

     

Если оператор фильтра является рейнольдсовым осреднением,

то тензоры

обращаются в нуль, тензор

ij i j

R u u

 



становится

рейнольдсовым корреляционным моментом (осредненным в смысле

Рейнольдса).

Представление Germano

Иное представление нелинейного члена предложено позднее в

работах (Germano, [51-58]). Формально Germano вводит обобщенный

момент двух величин

при фильтровании с ядром

















u v G u v G u G v u v u v

   

  

Здесь выражение





обозначает операцию фильтрования случайной

величины



с помощью ядра

Аналоги трех составляющих корреляционных тензоров по

Леонарду теперь принимают вид

















, , , , , ,

G G G

G G G G

L u u C u u u u R u u

   

   

В итоге тройное разложение представляется в виде

G G G

L C R L C R

    

На основе работ Germano развита теория сопоставления

фильтрованных величин, которая в дальнейшем была использована

при создании динамических моделей подсеточных напряжений.

Подсеточные тензоры, соответствующие двум различным

фильтрующим уровням отсечения с ядрами

, будем далее

условно обозначать:





G i j

u ,u



- крупномасштабный фильтр и





F i j

u ,u



- мелкомасштабный фильтр. На основании свойств

оператора фильтрования из свойства коммутативности можно

записать





















i i i

FG F G

u u u 

Тогда SGS тензор уровня

представится в виде

















FG i j i j i j

FG FG

u ,u u u u u  

Из свойств операции фильтрования и данного равенства следует

основное тождество Germano













 









FG i j F i j G i j

u ,u u u u , u    

Тождество является локальным в пространстве и времени, и не

зависит от свойств фильтра. Из тождества следует, что SGS тензор

уровня

состоит из вкладов SGS тензора уровня

отфильтрованного на уровне

, и SGS тензора уровня

рассчитываемого по полям, разрешаемым на уровне