Солодов В.Г. Моделирование турбулентных течений. Расчет больших вихрей

Подождите немного. Документ загружается.

1. НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Течение сплошной среды может быть описано на

макроскопическом или микроскопическом уровнях. Существование

связи между макро- и микроскопическими величинами означает, что

уравнения, выражающие сохранение массы, количества движения и

энергии в потоке, могут быть получены любым из этих подходов.

Однако микроскопический подход обладает большей общностью,

гипотезы, заложенные в нем, могут приводить к различным моделям

движения сплошной среды (Трусделл [183], Лыков [217],

Предводителев[220,221], Максвелл[117]), и только эксперимент

позволяет сделать правильный выбор.

Область применимости континуальных уравнений определяется

в первую очередь отношением длины свободного пробега молекул



к характерной длине

, т.е. числом Кнудсена

Kn / L

 

. Необходимое

условие справедливости континуального подхода заключается в том,

чтобы число Кнудсена было малым в сравнении с единицей [214].

Уравнения Навье-Стокса (NS) применяются для описания

движения сплошной среды. Их обоснование для нейтральных сред

основано на принятии максвелловского закона распределения

молекул по скоростям. Согласно Трусделлу [183] предел

применимости уравнений Навье-Стокса определяется условием на

число Трусделла

Tr= 1





, которое в случае максвелловского закона

приводит к критерию

Tr 1,5Kn M 1

  

. Здесь



- молекулярная

динамическая вязкость;



- скорость диссипации энергии;

давление. Таким образом, уравнения Навье-Стокса неприменимы для

несжимаемых жидкостей с очень большой вязкостью при высоких

скоростях деформаций, а также для разреженных газов, движущихся с

большими скоростями.

Достаточно тонкие опыты [220] показывают, что уравнения

Навье-Стокса описывают как ламинарный, так и турбулентный

режимы движения сплошной среды. Вместе с тем, осредненное

движение турбулентного потока не подчиняется уравнениям Навье-

Стокса. Поэтому существуют два различных подхода к изучению

турбулентного движения – феноменологическая теория[145, 209-211]

и статистическая теория[219].

Общепринято считать, что турбулентность в малом является

случайным процессом. На этой основе развит статистический подход

к описанию турбулентности. Дадим несколько определений.

Случайный стационарный процесс является инвариантным по

отношению к сдвигу во времени.

Специальным и наиболее простым случаем турбулентности

является случай однородной и изотропной турбулентности,

представляющий собой движение среды при бесконечном удалении

границ. Практическим примером является турбулентность в большой

емкости при отсутствии возмущений, т.е. затухающая

турбулентность.

Свойство изотропности требует от турбулентности, чтобы

средняя по времени величина любой функции от компонент скорости

была инвариантной при любых вращениях и отражениях осей

произвольно выбранной системы координат, т.е. не изменялась при

любом повороте. Если же значение любой функции от величин поля

параметров в нескольких точках зависит лишь от разностей радиус-

векторов этих точек, т.е. не изменяется при любом сдвиге

(параллельном переносе) системы точек, то такое поле называется

статистически однородным.

Простейший случай турбулентности – статистически

однородная и изотропная турбулентность - представляет собой

каскад вихрей от размера системы до наименьшего размера, который

можно оценить на основе первой гипотезы подобия Колмогорова

[209-211].

1.1 Поля гидродинамических характеристик, как

случайные поля. Методы осреднения

В силу крайней неупорядоченности и резкой изменчивости во

времени и пространстве всех гидродинамических величин при

изучении турбулентности необходимо использовать методы

осреднения, позволяющие перейти к плавным и регулярным средним

значениям параметров потока. Это понимал еще Рейнольдс,

предложивший в конце 19 века разбить поле скорости на среднюю на

некотором интервале времени и пульсационную составляющую, и

затем рассмотреть динамические уравнения для средней скорости,

ныне называемые уравнениями Рейнольдса. При этом оказалось, что

простейшее осреднение на интервале времени является неудобным,

так как операция осреднения должна удовлетворять некоторым

общим условиям, только приближенно выполняющимся как для

временного, так и для пространственного осреднения [219].

Существует три формы осреднения по Рейнольдсу [145,192].

1. Осреднение функции по Рейнольдсу на временном интервале

обозначается чертой и определяется по формуле:

t t



  





Здесь



- контрольный временной интервал, а средняя величина

предполагается изменяющейся в пространстве.

2. Осреднение функции по Рейнольдсу по пространственному

контрольному объему определяется по формуле:

  



Здесь

- контрольный объем, а средняя величина предполагается

изменяющейся во времени.

3. Статистическое среднее по ансамблю событий (испытаний или

измерений), которое можно представить в виде

 

( )

( , ) lim ,

f x t f x t







Это определение удовлетворяет свойствам

, ,

f f f g f g f g f g

    

f f

t t x x

 

 

   

Связь функций

f g

оценивается через вычисление корреляции

f g



. Если функции

f g

являются, статистически независимыми,

то их корреляция равна нулю.

Концепция осреднения по ансамблю представляет в основном

теоретический интерес: ее практическая реализация требует набора

идентичных экспериментов, либо численного моделирования на

наборе из

вычислительных систем при случайно возмущенных

граничных условиях. В то же время, концепция временного или

пространственного среднего позволяет использовать в исследовании

однократный эксперимент или моделирование

Использование осреднения по времени в одной точке имеет

смысл в том случае, когда таким образом полученное среднее не

зависит от момента времени, в который происходит осреднение. Это

справедливо, например, для установившегося движения под

действием перепада давлений. Однако, в случае затухающего

движения в замкнутом объеме такое осреднение, вообще говоря, не

применимо, и следует использовать осреднение по ансамблю, т.е. по

набору измерений вблизи выбранного момента времени.

Для всех трех подходов к осреднению среднее от флуктуации

равно нулю. Для случая однородной и изотропной турбулентности,

т.е. когда течение стационарно и однородно в пространстве, все три

вида осреднения эквивалентны. Это и составляет гипотезу

эргодичности.

Основные свойства осреднения, называемые условиями

Рейнольдса, представляются в виде



    

1 2 1 2

      

;

const const

  

;

1 2 1 2

    

Последнее условие ни при каком выборе временного или

пространственного интервала осреднения точно не выполняется.

Если, однако, выбрать интервал осреднения много большим

характерного периода пульсаций, но много меньшим характерного

периода вариаций осредненного поля, то это условие приближенно

выполняется (см. по этому поводу [219,213]). В рамках этого

ограничения собственно и построена теория Рейнольдса. Однако,

зачастую такой выбор затруднителен [213].

Возможность выбора интервала осреднения, промежуточного

между периодами пульсационного и осредненного движения,

предполагает, что турбулентное движение может быть представлено в

виде суперпозиции медленно эволюционирующего среднего

движения и нерегулярного высокочастотного пульсационного

движения. Вместе с тем, во многих случаях, особенно в больших

масштабах движения среды, например в метеорологии,

турбулентность имеет широкий непрерывный спектр.

Если плотность переменна, более целесообразно применение

временного осреднения полей, взвешенного по плотности (по Фавру

[43,44]), которое будем обозначать тильдой и определять по формуле





    

t t





   

 





При этом плотность, давление и тепловой поток осредняются

без взвешивания по плотности, т.е. по Рейнольдсу.

Правила осреднения следуют из определения и представляются

в виде



 

       



 

 

   



 

 

 

   



Поэтому среднее по Рейнольдсу от пульсации по Фавру (с двойным

штрихом) не является нулем

 

 



   



С другой стороны



 

1.2 Концепция фильтрования случайных полей

Вопрос о правилах вычисления средних значений имеет

обширную историю. Существует вероятностное осреднение

случайных полей гидродинамических величин и вытекающая отсюда

статистическая формулировка основной задачи турбулентности (см.

например [213]), а также более частное пространственно-временное

осреднение, которое можно представить формулой:

     

, , ,

x t x t d d





           



где



понимаются как векторы,





  

- некоторая весовая

функция, удовлетворяющая условию нормировки

 

, 1

d d





     



Функцию





  

еще называют функцией фильтра случайного

поля.

Если весовая функция равна нулю вне области и принимает

постоянное значение внутри области, то получается простое

осреднение по заданной области.

Временное осреднение по Рейнольдсу отсюда следует, если

представить функцию фильтра как













, , ,

 

         

 



   











     

Здесь весовая функция представляется в виде произведения с

участием



– функций Дирака





 

- функция Хэвисайда.

Осреднения по времени и пространству являются простейшими

случаями общего теоретико-вероятностного (статистического)

осреднения [219].

1.3 Введение в двухточечную статистику

Простейшими статистическими характеристиками

турбулентного течения являются средние квадраты

( , ) ( , )

i i

u x t u x t

 

 

средние произведения компонент

( , ) ( , )

i j

u x t u x t

 

 

пульсаций скорости в

выбранной фиксированной точке [118].

Изучение турбулентности в пространстве также основано на

коэффициентах корреляции между пульсациями скорости в соседних

точках



, координаты которых соотносятся как

x x r



 

  

. Если

обозначить пульсацию компоненты скорости в точке



через





u P

 

то этом случае коэффициент корреляции определяется как

* 2 *2

ij i j i j

u u u u

   

 

а двухточечный корреляционный тензор статистически однородного

поля скорости

R ( ) ( ) ( )

ij i j

r u x r u x

 

 

   

называется автокорреляционным тензором. Величина

R (0)

представляет собой обыкновенный тензор рейнольдсовых

напряжений.

1.4 Основные гипотезы теорию локально однородной и

изотропной турбулентности

Однородное и изотропное во всех масштабах турбулентное

движение изучалось Ричардсоном, Тейлором, Карманом и другими

учеными.

Понятие кинетической энергии турбулентности вводит

турбулентность в большие масштабы движения. Большие вихри

неустойчивы и разрушаются, и энергия передается последовательно

все меньшим и меньшим масштабам вплоть до наименьших, где

полностью диссипирует в тепло благодаря вязкости. Следуя

Ричардсону (1922) этот процесс называется прямым энергетическим

каскадом.

Фундаментальный вклад в развитие теории турбулентности внес

Колмогоров [209-211]. Им высказан ряд гипотез, которые в настоящее

время подтверждены экспериментально и положены в основу общей

теории турбулентности.

Общую картину турбулентного движения по Колмогорову

можно представить себе (в соответствии с исходными

представлениями Тейлора и Ричардсона) следующим образом [211].

На осредненный некоторым образом поток накладываются

турбулентные пульсации различных масштабов, начиная от внешнего

масштаба турбулентности

, сравнимого с путем перемешивания, до

наиболее мелких (внутренних) масштабов, на которых становится

существенным влияние молекулярной вязкости. На участках, размеры

которых малы по сравнению с

, поле скоростей является плавным.

Наиболее крупномасштабные пульсации черпают энергию от

осредненного потока и передают ее пульсациям меньшего масштаба.

Таким образом возникает поток энергии, непрерывно передаваемой

от пульсаций больших к пульсациям меньших масштабов.

Диссипация энергии, ее переход в тепло происходит в основном

только в пульсациях внутреннего масштаба Величина удельной

энергии, диссипируемой в единицу времени в единице объема,

является основной характеристикой турбулентного движения во всех

масштабах.

Наиболее характерными для турбулентности являются свойства

движения в участках, размеры которых малы по сравнению с

Локальную структуру турбулентности (т.е. структуру ее при

масштабах





) можно считать пространственно однородной и

изотропной. Ее изучение проводится аналогично тому, как была

изучена Тейлором и Карманом изотропная турбулентность [181].

Гипотеза Колмогорова о локальной (мелкомасштабной)

изотропии. При достаточно высоких числах Рейнольдса малые

турбулентные движения статистически изотропны.

1-я гипотеза подобия Колмогорова. В любом турбулентном

течении при достаточно высоких числах Рейнольдса статистика

мелкомасштабных движений имеет универсальный вид, который

однозначно определяется через





Из гипотезы локальной изотропии Колмогорова в частности

следует, что движение в наименьших шкалах должно зависеть только

от скорости диссипации энергии



, поступающей от больших вихрей

(осреднение и пульсации здесь понимаются в смысле Рейнольдса)

j i

i j

x x

 









   

 

 

 



и коэффициента переноса импульса



, - иначе молекулярной

кинематической вязкости.

Гипотеза порождает колмогоровские основные масштабы

длины, скорости, времени и волнового числа (частоты), которые

могут быть представлены комбинациями этих двух колмогоровских

величин





1 4

   

 

1 4



 

 

1 2



   





1 4





  

Таким образом, возмущениям масштаба



отвечает характерная

скорость



, и число Рейнольдса

Re /

 

  

имеет порядок 1.

Последнее подчеркивает, что масштаб



по порядку величины

совпадает с масштабом наибольших возмущений, на которые

молекулярная вязкость еще оказывает определяющее влияние.

Данный масштаб является важной физической характеристикой

развитой турбулентности и обычно называется колмогоровским

масштабом в противоположность внешнему масштабу течения

Колмогоровский масштаб длины есть наименьший масштаб

проявления турбулентности. Это следует из равновесности на этом

масштабе потока передачи энергии от больших вихрей к меньшим

вихрям, и последующей диссипации энергии наименьшими вихрями в

тепло.

Таким образом, на шкале масштабов

l L



 

турбулентности,

начинающейся с величины колмогоровского масштаба



завершающейся характерным размером течения

, можно выделить

инерциальный интервал в пределах

d e

l l l

 

, при этом на интервале







преобладает диссипация, на интервале





l L



преобладает

генерация вихрей [7] (рис. 1.1-1.2).

2-я гипотеза подобия Колмогорова. В любом турбулентном

течении при достаточно высоких числах Рейнольдса статистика

движений масштаба

в диапазоне

l L



 

имеет универсальный

вид, который однозначно определяется



По сути, это утверждение означает, что, начиная с некоторого

масштаба, имеет место процесс рассеяния энергии вихрей, которой

однозначно определяется скоростью диссипации



Отличительная особенность колмогоровских гипотез

заключается в том, что они построены без привлечения уравнений

Навье-Стокса. Ограничения колмогоровских гипотез состоят в том,

что они приложимы к высокорейнольдсовым течениям, критерий

которых не определен заранее.