Солодов В.Г. Моделирование турбулентных течений. Расчет больших вихрей

Подождите немного. Документ загружается.

применение LES при умеренных, а в некоторых случаях и достаточно

больших числах Рейнольдса.

Общая философия моделирования отражена в замечаниях о

требованиях к точности описания мелкомасштабной турбулентности

[207]. Именно, есть основание надеяться, что некоторая неточность в

описании мелкомасштабной турбулентности не сильно скажется на

характеристиках крупных вихрей, и само описание мелкомасштабной

турбулентности может быть универсальным. Эти основания

базируются на следующих положениях.

1. Поскольку, в турбулентных потоках происходит перенос

диссипируемой энергии от крупных вихрей к мелким вихрям,

поэтому можно ожидать, что влияние характеристик

крупномасштабного турбулентного движения на мелкомасштабное

должно быть большим, а обратное влияние - значительно меньшим.

Рис.1.5 Безразмерная спектральная плотность энергии пульсаций

продольной составляющей скорости для различных течений (по [222]);

k k

– отношение волнового числа к его предельному значению, равному

масштабу Колмогорова; (1 – приливно-отливный канал; 2 – круглая струя;

3 – течение в трубе; 4 – течение с постоянным сдвигом; 5 – след за

цилиндром; 6 – турбулентность за сеткой; 7 – пограничный слой).

2. Известно, что при больших числах Re характеристики

турбулентности для разных типов течений оказываются от них мало

зависящими. Это означает, например, что, если вязкость жидкости

изменится в несколько раз (и аналогично изменится число Re), то

характеристики крупных вихрей сохранятся неизменными (тогда как

мелкомасштабная турбулентность при изменении вязкости, конечно,

сильно изменится).

3. При существенном различии спектров крупномасштабных

пульсаций для разных случаев течений спектр мелкомасштабных

(высокочастотных) пульсаций сохраняется практически

универсальным (рис.1.5 [222], см. также [215]).

Высказанные предположения подтверждаются данными работы

[119], в которой приведено прямое сравнение разных методов

описания подсеточной турбулентности. Показано, что при изменении

параметров всех использованных моделей в некоторых пределах

характеристики крупномасштабного движения получаются

практически одинаковыми для всех случаев.

2. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА

Традиционно в литературе под уравнениями Навье-Стокса

понимается система уравнений, включающая закон сохранения массы

или уравнение неразрывности, и уравнение движения, которое

следует из второго закона Ньютона при предположениях касательно

молекулярной вязкости и связи между напряжениями и

деформациями. Учет термодинамических соотношений добавляет к

системе уравнение энергии.

В совокупности уравнения описывают поля переменных

величин плотности, вектора скорости и давления; уравнение

состояния связывает давление и поле температур. Ниже полная

система уравнений движения выписывается в декартовых и

обобщенных координатах. Вывод уравнений широко представлен в

литературе (см. например Ландау [214], Лойцянский [216] и др).

2.1 Представление в декартовых координатах

Уравнения движения в дифференциальной форме с учетом

сжимаемости в декартовой системе координат в отсутствие внешних

сил могут быть представлены в виде

( ) 0

t x



 

 

 

( ) ( ) , , 1,2,3

i j i

j j

u u u p i j

t x x



 

   

  



 

( )

( ) ( )

i ij j

t j t

j j j

u q

e u h

t x x x

 

  

   



 

Здесь



- тензор напряжений,



- вектор теплого потока,

t t

e h

полная энергия и полная энтальпия соответственно;

, , , , , , ,

e h u p T

  

- внутренняя энергия, энтальпия, плотность,

компоненты скорости, давление, молекулярная вязкость и

теплопроводность, термодинамическая температура соответственно.

Система дополняется уравнением состояния.

Тензор напряжений представляется через тензор скоростей

деформаций,

k k

ij ij ij ij

k k

u u

x x

 

 

  

 

 

 

    

j i

x x

 



 

 

 

 

Формула для тензора напряжений записана в предположении

выполнения гипотезы Ньютона о линейной связи между

напряжениями сдвига и скоростями деформации. Величина



является коэффициентом второй (объемной) вязкости [214,217]. При

выполнении гипотезы Стокса для второй вязкости





тензор

напряжений представляется в виде

ij ij ij

 



 

 



 

  

Полная энергия и полная энтальпия представляются в виде

0.5 , 0.5

t i i t i i t

e e u u h h u u e p

     



Обезразмеривание уравнений Навье-Стокса проводится

следующим образом.

Длина относится к характерной длине

, плотность,

температура, компоненты скорости, молекулярная динамическая

вязкость, относятся к характерным параметрам: плотности





температуре



, скорости



, вязкости





соответственно, время

относится к характерному временному параметру



. В таком случае

давление и удельная энергии

могут быть отнесены к

динамическому давлению

 



и кинетической энергии



соответственно. Критериальные безразмерные параметры Рейнольдса

и Прандтля соответственно выразятся в виде:

U L

 















Безразмерная форма уравнений Навье-Стокса может быть

записана в символическом векторном виде следующим образом

1 2 3 1 2 3

v v v

Q E F G E F G

t x x x x x x

      

     

      

где потоки представлены в виде символических вектор-столбцов

 

 



 

 



 

1 2

1 3

u p

u u

e p u

 

 



 



 



 



1 1

, 1,2,3

i i

E i

u q

 

 

 

 



 



 

2 1

2 3

u u

u p

u u

e p u

 

 





 



 



2 2

, 1,2,3

i i

F i

u q

 

 

 

 



 



 

3 1

3 2

u u

u p

e p u

 

 



 



 



 



3 3

, 1,2,3

i i

G i

u q

 

 

 

 



 



Потоки молекулярного переноса импульса для ньютоновской среды –

компоненты тензора вязких напряжений - представляются в виде

2 1

Re 3

divu



 



 

 



 







1 2

12 21

2 1

u u

x x



 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

1 3

13 31

3 1

u u

x x



 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

2 1

Re 3

divu



 



 

 



 







2 1

Re 3

divu



 



 

 



 







Компоненты вектора потока тепла представляются в виде

 

, 1,2,3

Re Pr 1

q i

M x

 



  

 





В итоге, первое уравнение импульсов представляется в виде





     

11 12 13

1 1 2 1 3

1 2 3 1 2 3

u p u u u u

t x x x x x x



     

      

      



  

  

Второе уравнение импульсов представляется в виде





     

21 22 23

2 1 2 1 3

1 2 3 1 2 3

u u u p u u

t x x x x x x



     

      

      



  

  

Третье уравнение импульсов приобретает вид





     

3 2

31 32 33

3 1 3 2 3

1 2 3 1 2 3

u u u u u p

t x x x x x x



     

      

      



  

  

В индексной форме





 

i j ij ij ij

j j j

u u p S divu

t x x x





 

 

    

 

   







   

Уравнение энергии принимает вид





     

   

 

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 11 2 12 3 13 1 1 21 2 22 3 23 2

1 2

1 31 2 32 3 33 3

u e pu u e pu u e pu

t x x x

u u u q u u u q

x x

u u u q



  

      

   

 

        

 



   





  

     

  

2.2 Упрощенные модели на основе уравнений Навье-

Стокса

Основное упрощение уравнений Навье-Стокса заключается в

пренебрежении сжимаемостью. Кроме того, коэффициент вязкости

( )



при заданной температуре не зависит от давления, может быть

вынесен за знак производной, так как изменение его значения в

пространстве из-за зависимости от температуры на практике для

нейтральных сред весьма незначительно. Величиной коэффициента

второй вязкости во многих случаях можно пренебречь.

Изменения плотности



движущегося жидкого объема, как

правило, оказываются малыми, и ими можно пренебречь, например,

для случая капельных жидкостей. Для газов в общем случае

нестационарного движения изменения плотности можно считать

малыми, если кроме условия

u a



, выполняется условие

t l a



, где

- скорость распространения малых возмущений,

–

характерные время и расстояние, на которых скорость среды заметно

изменяется [214].

При упомянутых условиях поле скорости становится

соленоидальным,







и приходим к уравнениям движения в виде

, , 1,2,3

i i i

j i j j

u u p u

u i j

t x x x x

   

    

    





где



- коэффициент кинематической вязкости,



  

В безразмерном виде

1 1

, , 1,2,3

i i i

j i j j

u u p u

u i j

t x x x x



   

    

    



Вследствие соленоидальности нелинейный член может быть

представлен в виде





u u u u

   

   

Давление легко исключается из уравнений движения взятием

ротора. В этом случае получается уравнение переноса вихря скорости

i ijk k j

u x

 

  

, , 1,2,3

i i i i

j j

j j j j

u i j

t x x x x

  

 

   

   

    

из которого может быть определено поле скорости

1 2 3

( , , , )

u x x x t

Применением к уравнению движения операции дивергенции

получается уравнение Пуассона для поля давлений





, , 1,2,3

i j

u u

p i j

x x





   

 

Решение с точностью до постоянной представляется в виде интеграла

по объему среды [214,219]

 





i j

u u

p r

x x r r





 

  

  





 





2.3 Случай исчезающе малой молекулярной вязкости

При исчезающе малой молекулярной вязкости в несжимаемой

среде уравнения Навье-Стокса превращаются в уравнения Эйлера.







, , 1,2,3

i i

j i

u u p

u i j

t x x



  

   

  

Этот случай соответствует также условию

 

В отсутствие молекулярной вязкости условие прилипания на

границах уже не отвечает модели и заменяется условием

непротекания [213], поэтому задача с начальными и граничными

данными приобретает принципиально отличную формулировку (см.

также [223]).

Уравнения Эйлера имеют пониженный порядок в сравнении с

уравнениями Навье-Стокса и приобретают гиперболический тип в

отличие от смешанного типа уравнений Навье-Стокса, в отсутствие

диссипации становятся более жесткими, и их математическая теория

более сложна.

Поэтому для получения предельных решений уравнений Навье-

Стокса при условии

 

при сохранении физического смысла

постановки необходимо выполнять предельный переход к

исчезающей вязкости

 

именно в решениях уравнений Навье-

Стокса. Подходящий пример указан Л.Прандтлем (см. подробнее

[223]).

В двумерном случае приведенное выше уравнение переноса

вихря в отсутствие вязкости принципиально упрощается и

приобретает вид

0, 3, 1,2

i i

u i j

t x

 

 

   

 

В этом случае начальная завихренность просто переносится потоком.

В трехмерном случае появляющийся в уравнении член

, , 1,2,3

i j





 



уже не равен нулю и приводит к изменению

завихренности по направлению.

2.4 Представление уравнений в обобщенных

координатах

Уравнения Навье-Стокса в дифференциальной форме с учетом

сжимаемости в обобщенной криволинейной системе координат в

отсутствие внешних сил представляются в виде (см. например [153])





( ) 0

i i

J u



 

 







     

( )

k k k

i i i i i i ij

k k k

J u J u u J p J

   

 

   

 

   

     

  

, , 1,2,3

i k m



Здесь



- обобщенная координата,









- обратный

якобиан преобразования координат.

Общая форма уравнений Навье-Стокса в обобщенных

координатах достаточно распространена в литературе [75,204].

2.5 Спектральное преобразование уравнений движения

Система уравнений в спектральном пространстве может быть

получена преобразованием Фурье уравнений Навье-Стокса. Разные

формы спектральных уравнений можно встретить в литературе [219,

153, 141, 118].

Для упрощения используем декартову систему при условии

несжимаемости среды. Преобразование Фурье для поля скорости

принимает вид