Солодов В.Г. Моделирование турбулентных течений. Расчет больших вихрей
Подождите немного. Документ загружается.
21
Рис.1.1 Размеры вихрей (в логарифмической шкале) при высоких
числах Рейнольдса [141].
Рис.1.2 Схема энергетического каскада при высоких числах
Рейнольдса [141].
Опираясь на соображения размерности можно получить [141]
характер зависимости
от
Re /
U L
, если учесть, что из
соображений размерности, скорость диссипации имеет порядок
3
( / )
O U L
:
3 4
L / O(Re)
.
Таким образом, при фиксированном
L
и возрастании числа
Рейнольдса
Re /
U L
основного течения внутренний масштаб
турбулентности убывает пропорционально
3 4
Re
, т.е.
3 4
( Re )
O L
.
22
Аналогичным образом масштабы времени и скорости
,
u
характеризуют скорость и период движений, с которыми связана
основная доля диссипации энергии. Эти масштабы также убывают с
ростом числа Рейнольдса, но медленнее, чем
. Из определения этих
масштабов можно получить соотношения
1 4
u O( U Re )
,
1 2
O( L U Re )
Чтобы разрешить мельчайшие вихри на сетке, вычислитель
должен иметь размер сетки
3 4
Re
h
, поэтому в эксперименте или в
моделировании для разрешения турбулентности требуется
9 4
(Re)
N O
сеточных точек. Это определяет оценку числа степеней
свободы развитого турбулентного течения.
1.5 Спектральное представление однородной и
изотропной турбулентности
Применение анализа Фурье случайных полей в теории
турбулентности является плодотворным. Как замечено в [118],
представление Фурье случайной функции явно представляет
спектральный состав турбулентности, преобразует
дифференциальные операторы в мультипликаторы, отражает степени
свободы турбулентной системы.
В области с размерами
3
L
поле динамической изменяющейся
величины (например, пульсаций скорости) может быть разложено в
ряд Фурье по трехмерным волновым векторам в диапазоне
1 2 3
, ,k k k
, где
2 , 1,2,3
i i
k n L i
( )
( , ) ( , )exp( )
j j
k
u x t u k t ikx
Автокорреляционный тензор
R
ij
неудобен для
непосредственного анализа вклада различных масштабов
23
турбулентности, поэтому при качественном анализе турбулентности
используют его трехмерное преобразование Фурье по
r
.
Преобразованная переменная представляет собой трехмерную вектор-
функцию волнового числа
1 2 3
( , , )
k k k k
.
Соответствующий спектральный тензор
( )
ij
R k
в функции
волнового вектора
k
вводится как преобразование Фурье [219]
3
1
( ) ( )
8
i k r
ij ij
R k R r e d r
,
и представляет собой спектральную плотность соответствующего
тензора. Например, если
1 1
R ( ) cos
ij
r k r
, то
( )
ij
R k
является дельта-
функцией Дирака в точке
1
k
. Если
R ( )
ij
r
представлен в непрерывном
диапазоне длин волн по
r
, то
( )
ij
R k
непрерывно распределен в
пространстве волновых чисел. Можно рассматривать
( )
ij
R k dk
как
вклад спектральной плотности с центром в
k
в величину
R ( )
ij
r
.
Поэтому
( ) ( )
i k r
ij ij
R r R k e dk
.
Для тензора Рейнольдса получается упрощенное представление
(0) ( )
ij ij
R R k dk
Для несжимаемой среды тензор
( )
ij
R k
принимает простой вид
2 2
( )
( )
4
i j
ij ij
k k
E k
R k
k k
,
где
( )
E k
- скалярная спектральная функция, которая представляет
собой кинетическую энергию турбулентных пульсаций от волновых
24
векторов на сфере радиуса
k
. Функция
( )
E k
вычисляется из
спектрального тензора
( )
ij
R k
интегрированием по сфере радиуса
k
1
( ) ( ) ( )
2
ii
E k R k dS k
.
Кинетическая энергия пульсационной характеристики поля
скорости
0.5
i i
K u u
представляется в виде интеграла от
турбулентного спектра по волновым числам или спектральной
плотности. Величина
( )
E k
неотрицательна и определена на
положительной полуоси значений волнового вектора
k
.
Произведение
( )
E k dk
является вкладом в кинетическую энергию
порций энергии от каждого волнового числа
k
из диапазона
,
k k dk
пространства волновых чисел.
Таким образом, для выражения турбулентной кинетической
энергии получаем разложение кинетической энергии турбулентных
пульсаций по гармоникам:
0
( )
K E k dk
;
Соответственно, для диссипации также получаем гармоническое
представление
2
0
2 ( )
k E k dk
Величина
( )
E k
- является преобразованием Фурье половины следа
автокорреляционного тензора. Волновое число является
спектральным аналогом размера вихря. Турбулентный спектр
принято представлять в виде функции
( )
E k
.
На инерциальном интервале в соответствии со 2-й гипотезой
подобия Колмогорова
( )
E k
имеет универсальный вид, однозначно
определяемый
, независимо от вязких свойств среды. Т.е., согласно
25
гипотезе Колмогорова для больших чисел Рейнольдса существует
диапазон размеров вихрей, автомодельный по статистике и
независимый от молекулярной вязкости. Иначе говоря, существует
интервал волновых чисел
k
, на котором
( )
E k
зависит только от
и
k
. Поэтому, из соображений размерности на инерциальном интервале
1
k L
получаем
Рис.1.3 Энергетический спектр турбулентности (в логарифмических
шкалах).
2 3 5 3
( ) ( )
E k O k
.
Это знаменитый колмогоровский спектр. Для сжимаемой среды
показатель при
k
ближе к -2.
Существование инерциального интервала надежно проверено во
многих экспериментах. Константа Колмогорова оценивается как
1.5
C
. На рис. 1.3 схематически представлен типовой спектр
турбулентности.
26
1.6 Подходы к математическому моделированию
турбулентности
Прямое численное моделирование турбулентности (DNS)
означает решение нестационарных уравнений Навье-Стокса (NS) при
заданных граничных условиях и выбранном начальном состоянии
параметров среды. Значимость DNS очевидна – она позволяет лучше
понять структуру турбулентности и управление ею, дает возможность
тестировать инженерные методы расчета.
Успех реализации DNS определяется точностью применяемых
численных методов, и основные трудности связаны с трудоемкостью
реализации процедуры численного интегрирования. Оценки
необходимого разрешения области турбулентности определяются
числом степеней свободы развитого турбулентного течения.
Трудоемкость моделирования определяется необходимостью
высокого пространственного и временного разрешения
вычислительного метода. В частности, для адекватного
моделирования процесса рассеяния энергии с основными событиями:
доминированием вязкой диссипации в диапазоне
0.1 1
k
,
диаметром червеобразных (“worm”) структур
4 10
, сетка должна
разрешать колмогоровскую шкалу
. Поэтому для прямого
разрешения турбулентности в рамках NS в объеме размером
L
необходимо обеспечить разрешение
9 4
(Re )
O
степеней свободы для
представления всех масштабов (
Re /
Lu
). Отношение характерных
времен
/
L
T T
пропорционально
1 2
(Re )
O
, при этом использование
явных вычислительных алгоритмов требует линейной зависимости
временного и пространственного шагов. Для того чтобы расчеты на
основе DNS давали возможность получения средних величин,
расчеты должны продолжаться на протяжении времени
/
L U
, а шаг по
времени должен не превышать
/
U
. Следовательно, для расчета
одного варианта эволюции большинства энергетических масштабов в
кубе с размером
L
необходимо выполнить
/
L
шагов по времени, а
общее число шагов по времени и пространству имеет порядок
27
9 4 11 4
( / Re ) (Re )
O L O
. Поэтому современный уровень развития
вычислительной техники позволяет разрешать лишь некоторые
простые течения с однородной изотропной турбулентностью при
весьма умеренных числах
Re
, в инерциальной подобласти спектра и в
энергосодержащей области низких частот пульсаций. Для высоких
чисел Рейнольдса, встречающихся на практике, прямое численное
моделирование турбулентных течений пока является недоступным.
К числу важных и интересных результатов численного
моделирования турбулентности относится установление различий
между моделями двумерной(2D) и трехмерной(3D) турбулентности
[166].
Наряду с 3D моделями турбулентности на основе уравнений
Навье-Стокса, существует и достаточно развита двумерная модель
турбулентности на основе уравнений Навье-Стокса, которая в
реальности может быть реализована вблизи некоторой поверхности
так, что третья компонента скорости не зависит от третьей
координаты. В этом случае эта компонента скорости пассивно
переносится течением в двух других плоскостях и поэтому может
игнорироваться в теоретическом описании.
Примерами реальных течений, близких к описанной картине
служат течения в пленках, в быстро вращающихся областях, в жидких
металлах и ионизированной плазме под действием сильного
магнитного поля. Одним из примеров, который описывается данной
моделью, служит структура в атмосфере Юпитера – так называемое
«Большое Красное пятно».
Безусловно, 2D турбулентность является идеализированной
моделью, но теоретические представления, развитые для идеального
случая, представляются полезными в понимании свойств
турбулентности в некоторых реальных течениях и позволяют сделать
количественные предсказания.
Статистические свойства 2D турбулентности существенно
отличаются от таковых в 3D турбулентности. Сохранение
завихренности жидких частиц предотвращает прямой энергетический
каскад в сторону малых масштабов, приводя к сохранению энергии в
диапазоне малой вязкости, в отличие от трехмерного случая.
28
Оказывается, что в первом случае основной каскадный процесс
передачи энергии происходит вверх по шкале волновых чисел, т.е. в
направлении крупных вихрей, что не соответствует физике реального
течения; во втором случае идет в обратном направлении, т.е. от
крупных вихрей к более мелким вихрям [см. например 146, 166].
В реальности при возрастании числа Рейнольдса диапазон
размеров вихрей становится шире, и наименьшие вихри становятся
меньше, поэтому рост числа Рейнольдса в потоке приводит к
расширению энергетического каскада.
Отметим также некоторые другие замечания по поводу.
Численная схема прямого расчета турбулентности (DNS) должна
быть высокого порядка точности, в то время как типично
используемые схемы в СFD приложениях имеют 2-й порядок по
пространству. Для разрешения различных масштабов турбулентности
порядок точности должен быть четвертым, по некоторым источникам
– шестым [103]. Второй численный фактор, затрудняющий развитие и
внедрение DNS в практику СFD приложений, касается развития и
применения точных граничных условий.
В настоящее время наряду с прямым моделированием
турбулентности известны более простые подходы к моделированию
турбулентности, предполагающие подмену и поиск специальным
образом осредненных решений уравнений Навье-Стокса (NS),
которые уже удовлетворяют не уравнениям NS, а модифицированным
NS-подобным уравнениям, получающимся в результате процедуры
осреднения уравнений NS (рис.1.4).
Простейший альтернативный подход в моделировании
основывается на идее Рейнольдса [145] об осреднении уравнений NS
по ансамблю тождественных течений или посредством эквивалентной
в соответствии с гипотезой эргодичности [145] процедуры осреднения
по времени или по пространству.
При использовании данного подхода решаются стационарные
(RANS) или нестационарные (URANS) уравнения Навье-Стокса,
предварительно осредненные по Рейнольдсу без участия переменной
плотности, или по Фавру (FANS) с участием переменной плотности.
При этом зависимые переменные в уравнениях NS осредняются по
ансамблю или по пространству, либо на интервале времени, что
29
требует осреднения уравнений NS. В результате получаются
видоизмененные уравнения, которые аппроксимируют уравнения NS
в некотором узком интервале спектра турбулентных пульсаций.
Рис.1.4 Иерархия моделей турбулентности (по [20] с дополнениями).
(1-й порядок – модели на основе моментов 1-го порядка; 2-й порядок
– модели на основе моментов 2-го порядка; 0-, 1-,2- алгебраические,
дифференциальные модели замыкания уравнений Рейнольдса; RST,
ARS – дифференциальные и алгебраические модели рейнольдсовых
напряжений; iLES –неявные LES модели, DES, LNS, PRNS - модели
относятся к гибридным LES-URANS моделям)
30
Осредненные уравнения оказываются незамкнутыми вследствие
их нелинейности в связи с появлением моментов пульсаций
параметров течения. Для замыкания осредненных уравнений
требуется знание моментов пульсаций параметров в точке, которые
обыкновенно находятся приближенно на основе полуэмпирических
гипотез относительно турбулентности.
Принципиальным недостатком данного подхода является
действие осреднения по Рейнольдсу (Фавру) сразу по всем масштабам
турбулентных структур. Отсюда вытекает, что полуэмпирические
гипотезы должны отражать закономерности течения во всем спектре
разномасштабных вихревых структур, учитывая их разнообразие для
различных течений. Это определяет бесперспективность создания
универсальных полуэмпирических моделей турбулентности для
замыкания R(F)ANS.
Ограничения в прямом моделировании турбулентности
стимулировали развитие промежуточного между DNS и URANS
направления в исследовании турбулентных структур – моделирование
крупных вихревых структур (LES).
При LES подходе уравнения NS модифицируются так, что
именно большие вихри сохраняются в решениях уравнений NS (на
сравнительно грубой сетке), мелкие вихри осредняются
(отфильтровываются) специальным математическим осреднением, и
оценка их воздействия моделируется с помощью подсеточных
моделей для тензора сдвиговых напряжений с целью замыкания
модифицированных (фильтрованных) уравнений NS, иначе - FNS.
Таким образом, крупномасштабные структуры в течении
рассчитываются непосредственно из уравнений на используемых
сетках, в то время как малые масштабы моделируются на основании
некоторых эмпирических гипотез. Поскольку мелкомасштабные
вихри более изотропны и однородны по свойствам, их моделирование
может быть определено для широкого диапазона приложений. С
вычислительной точки зрения для моделирования мелкомасштабной
турбулентности сеточные размеры могут быть значительно более
крупными, чем колмогоровский масштаб длины (необходимый при
моделировании DNS). Это обстоятельство делает возможным