Солодов В.Г. Моделирование турбулентных течений. Расчет больших вихрей
Подождите немного. Документ загружается.
51
подробнее. Модель записана для псевдовязкости, которая связана с
кинематической турбулентной вязкостью через демпфирующую
функцию.
Уравнение переноса для вихревой кинематической
псевдовязкости
данной модели записывается в виде:
( )D
V P D T
Dt
,
где
2
1
( )
b
j j j j
V C
x x x x
- диффузионный член,
удовлетворяющий граничному условию на стенке
0
;
1 2
1
b t
P C f S
- выражение, описывающее производство
турбулентности в области и поддерживающее описание в ламинарном
подслое;
2
1w w
D C f
d
- выражение, описывающее распад турбулентности в
ламинарном подслое;
2
2
1
1 2
2
b
t t
t
C
T f U f
d
- выражение приближенного описания
переходного режима со сглаживающими функциями
1 2
,
t t
f f
,
обеспечивающими переход от ламинарного к турбулентному режиму
в пристенной области.
Вихревая вязкость
tur
получается из преобразования:
1
,
tur
f
где
3 3 3
1 1
( )
f C
- демпфирующая функция для
отношения кинематических вязкостей
lam
(рис.3.1).
Вспомогательные соотношения, записанные ниже и
замыкающие модель, включают:
1 6
6 6 6
3 3
(1 ) ( ) ,
w w w
f g C g C
6 2
2
, ( ( ) ).
w
g r C r r r S d
где
d
- расстояние до ближайшей стенки.
52
2
2 2
;
v
S S f
d
3
2 2
2
1 ; 5.0;
v v
v
f C
C
;
2 ;
ij ij
S
0.5
ij i j j i
u x u x
.
Рис.3.1 Поведение демпфирующих функций модели SА
Дальнейшими исследованиями в модель SA вносились
изменения касательно генерации турбулентности в областях больших
значений вихря скорости.
Первая модификация, направленная на уменьшение
производства турбулентности в случае вращающихся течений, дана в
работе [34] для
S
:
2 min(0, ),
ij ij ij
S S 2
ij ij ij
,
2
ij ij ij
S S S
;
0.5
ij i j j i
S u x u x
,
0.5
ij i j j i
u x u x
- тензоры
скоростей деформаций и завихренности.
В работе [164] предложена модификация
S
, также
корректирующая производство турбулентности в случае
вращающихся течений. Именно
53
2
3 2
( )
S Sf f d
,
где
2 1
1 (1 ),
f f
1 2
3
(1 )(1 )
;
v v
v
f f
f
3
3 2 2
2 2
2
; 1 ;
v v v
v
S S f f f
C
d
1 2
3 2
(1 )(1 )
; 5.0;
v v
v v
f f
f C
ij ij
S
.
Модель хорошо себя проявляет при моделировании внешних течений.
Эффективность поправок зависит от содержания задачи. Константы
модели приведены в [167].
Модели с двумя дифференциальными уравнениями на
основе кинетической энергии турбулентности с привлечением
второго параметра восходят к Колмогорову (1942, [211]). Здесь
впервые появляется частота турбулентных пульсаций
. Заметим, что
физическое содержание этого параметра некоторыми
исследователями трактуется различным образом [192,141,150].
Модель
K
Колмогорова является предшественницей обширного
семейства
K
моделей [192,150]. Колмогоров постулирует
уравнение для частоты турбулентных пульсаций
2
0
k T
k k k
u
t x x x
Здесь появляются новые коэффициенты
и
, замыкающие
модель. Уравнение отличается от уравнения для кинетической
энергии
K
отсутствием генерирующего члена. Поэтому, уравнение
характеризует взаимодействие достаточно узкого диапазона малых
масштабов без взаимодействия с основным течением. В уравнении
54
также нет и диффузионного члена, который передавал бы
диссипацию к вязкому ламинарному подслою.
Это обстоятельство явилось предметом критических
рассмотрений модели и последующих усовершенствований. В
дальнейшем генерирующий член к уравнению для
вводился
различными способами. В современном виде модель представляется
следующим образом [192]
T
K
,
* *
0
i
j ij T
j j j j
K K u K
u K
t x x x x
,
2
i
k ik T
k k k k
u
u
t x K x x x
.
Константы модели
5 / 9
,
3 / 40
,
*
0.09
,
0.5
,
*
0.5
.
Среди двухпараметрических моделей рассматривались модели,
основанные на двух уравнениях переноса, в которых наряду с
кинетической энергией пульсаций
K
вводились -
- диссипация
турбулентной кинетической энергии (Chou, 1945 [30]); характерный
масштаб длины
l
(Rotta, 1951 [148]); характерное время турбулентной
диссипации
(Zeierman, Wolfshtein, 1986 [203]). Перечисленные
параметры являются характерными турбулентными масштабами и
основанные на них модели могут удовлетворительно отражать лишь
равновесную однородную и изотропную турбулентность.
Здесь уместно напомнить, что из соображений размерности
вихревая вязкость, турбулентный масштаб, скорость диссипации,
частота турбулентных пульсаций связаны
T
K
,
1 2
l K
,
K
,
2
T
K
,
3 2
l K
.
55
Основу для наиболее популярной
K
модели заложил Chou
[30]. В дальнейшем она подвергалась различным развитиям, и
усилиями Лаундера (Launder, et.al [98-100]) приобрела современный
вид.
Для получения модельного уравнения в уравнении для
делается предположение касательно отсутствия корреляции
2 ( ) 0
i
i
k k
u
NS u
x x
.
После трудоемких алгебраических преобразований в [192] получается
основа для модельного уравнения
j
j
u
t x
2
, , , , , , , , , ,
2
i i
i k j k k i k j k i j i k i m k m i km i km
j j
u u
u u u u u u u u u u u
x x
, , , ,
2
j i m i m m j m
j j
u u u p u
x x
После ряда предположений [192,98-100,141], впрочем, не вполне
обоснованных физически,
K
модель приобретает современный вид
2
T
C K
,
i T
j ij
j j j K j
K K u K
u
t x x x x
,
2
1 2
i T
k ik
k k k k
u
u C C
t x K x K x x
.
Константы модели
56
1
1.44
C
,
2
1.92
C
,
0.09
C
,
1.0
K
,
1.3
.
Выражение для турбулентного масштаба составляет
3
2
l C K
.
Модель не описывает турбулентность и переходные процессы в
пограничном слое. Кроме того, для низкоскоростных течений модель
нуждается во введении поправок, так называемой коррекции
сжимаемости[192,118,219] .
Дальнейшее качественное развитие описанных
K
и
K
моделей вихревой вязкости получено Ментером (F.Menter, [122,123])
в предложенной им гибридной модели турбулентных напряжений
(SST).
Двухпараметрическая модель SST отражает механизм переноса
рейнольдсовых напряжений и комбинирует основные достоинства
моделей
K
[69] и
K
[191]. Главные черты этой модели:
зонально-взвешенное использование модельных коэффициентов
упомянутых моделей и наличие ограничителя роста вихревой
вязкости в местах резкого торможения потока (коррекция
сжимаемости).
Модель записывается в виде двух уравнений переноса в
терминах турбулентной кинетической энергии
K
и частоты
турбулентных пульсаций
:
*
;
i k t tij ij
i i
K K
u K S K
t x x
i t
i i
u
t x x
2 / 3
ij nn ij ij
S S S
* 2
2
1
2 1 .
i i
K
F
x x
Турбулентная вязкость определяется по формуле
57
2
/
max 1, / 0.31
t
K
F
Известно, что составляющая SST модели -
K
модель
Лаундера-Шармы [100] удовлетворительно отражает свойства
турбулентности в ядре течения, модель
K
, напротив, показывает
удовлетворительное соответствие эксперименту в логарифмической
области для течений с умеренными положительными градиентами
давления. Принципиальным усовершенствованием Ментера является
функция смешения свойств моделей
K
и
K
4
2
1
2 2
4500
min max ; ; ,
0.09
k
KK
F th
y
y CD y
20
2
2
max ;10
k
i i
K
CD
x x
.
Рис.3.2 Поведение функций смешения в модели SST
Модельные коэффициенты трансформируются по правилу
1 1 1 2
1F F
, где
, , ,
i k
i
, (рис. 3.2),
58
2
2
2
500
max 2 ;
0.09
K
F th
y
y
.
Оригинальные константы модели приведены в [85]. Модель чаще
используется для внутренних течений.
Среди других моделей вихревой вязкости выделяется
K K l
модель Rotta [149], основанная на масштабе турбулентности с
использованием двухточечного корреляционного тензора (Rotta)
( , , ) ( , ) ( , )
ij i j
R x t r u x t u x r t
Турбулентная кинетическая энергия получается из
( , , )
ij
R x t r
как
половина следа при
0
r
, т.е. уже на основе одноточечной статистики
0.5 ( , ,0)
K R x t
.
Второй параметр модели
K l
использует двухточечную статистику,
суммируя свертки корреляционного тензора по всем смещениям
r
3
( , , )
16
Kl R x t r dr
Уравнение для
K l
записывается в виде,
3
2
1 2
i
j L ij L
j j
Kl Kl
u
u C l C K
t x x
1 2
T T
j j L j L j
Kl
K l
l K
x x x x
,
уравнение для кинетической энергии сохраняет свою структуру.
В последующих работах модель
K K l
развивалась (см.
например Rodi [147]), однако широкого распространения не получила
59
в связи с отсутствием выраженных преимуществ перед другими
моделями.
В дальнейшем Zeierman и Wolfstein (1986) [203] использовали
идею двухточечности корреляционного тензора
( , , )
ij
R x t t
во времени
( , , ) ( , ) ( , )
ij i j
R x t t u x t u x t t
для представления модели
K K
.
Параметры модели
K K
вытекают из свойств
корреляционного тензора аналогично модели
K K l
0.5 ( , ,0)
K R x t
,
1
( , , )
4
K R x t t dt
Турбулентная вихревая вязкость следует из соотношения для
параметров
T
C K
.
Уравнение для
K
записывается в виде,
1 2
i
j ij
j j
K K
u
u C C K
t x x
T
j j
K
x x
уравнение для кинетической энергии сохраняется при замене
/
K
.
Константы модели
1
0.173
C
,
2
0.225
C
,
0.09
C
,
1.46
K
,
10.8
.
Подробное обсуждение этих моделей для вихревой вязкости и
моделей для рейнольдсовых напряжений можно найти в [192].
60
3.3 Осреднение уравнений Навье-Стокса по Фавру
Если плотность переменна, более целесообразно применение
осреднения полей, взвешенного по плотности (по Фавру [43,44])
1
o
o
t t
t
dt
t
,
При этом плотность, давление и тепловой поток осредняются
без взвешивания по плотности, т.е. по Рейнольдсу.
Правила и особенности осреднения приведены в гл. 1.
Осредненные по Фавру уравнения Навье-Стокса (FANS)
записываются в виде
0
i
i
u
t x
, 1,2,3
i j i ji j
i
j i j
p
u u u u u i
t x x x
,
,
t j t j ji i j i ji j
i
j j j j
T
e u h u h u u K u u u
t x x x x
R
p T
Здесь
, 0.5
F
ij i
j
u u K u u
,
0.5 0.5 0.5
t i i i i
e e u u u u e u u K
,
0.5 0.5 0.5
t i i i i
h h u u u u h u u K