Сметанина Р.Н. и другие. Теоретические основы электротехники
Подождите немного. Документ загружается.
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
61
5.5. Воздушный трансформатор
Воздушный трансформатор – это статический электромагнитный ап-
парат, состоящий из двух индуктивно связанных катушек, предназначен-
ный для преобразования величины переменного напряжения без измене-
ния частоты. Трансформатор без ферромагнитного сердечника называется
воздушным.
К первичной обмотке с параметрами R
1
, L
1
подключается источник
напряжения u
1
. Ко вторичной обмотке с параметрами R
2
, L
2
подключа-
ется нагрузка Z
H
, напряжение на ней u
2
. Если напряжение u
1
>u
2
, транс-
форматор называется понижающим, если u
1
<u
2
, – повышающим. Это
достигается разным числом витков первичной w
1
и вторичной w
2
обмо-
ток. Отношение
2
1
w
w
=k
тр
– коэффициент трансформации трансформато-
ра. Если k
тр
>1, трансформатор понижающий, если k
тр
<1 – повышающий.
Работа трансформатора основана на явлении электромагнитной индук-
ции. Передача энергии из одной цепи в другую происходит благодаря
явлению взаимоиндукции.
Схема воздушного
трансформатора
Основные уравнения воздушного
трансформатора в комплексной
форме:
⎩
⎨
⎧
=ω−ω++
=ω−ω+
,0M
,M
12222
2
1
2
1
1
1
1
jILjIRIU
UjILjIRI
где U
2
= I
2
Z
H
=I
2
R
H
.
При заданной полярности зажи-
мов обмоток трансформатора токи
направлены встречно
.
Векторная диаграмма Порядок построения векторной
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
62
воздушного трансформатора
для активной нагрузки
диаграммы
Выбираем масштаб токов m
i
= n,
А/см и масштаб напряжений
m
u
= m, В/см.
1.
Откладываем в масштабе m
i
вектор I
2
горизонтально.
Строим вектор U
2
= I
2
Z
H
, где
Z
H
= Z
H
H
ϕ
j
e . Так как в нашем случае
нагрузка активная, то ϕ
H
=0, следова-
тельно, U
2
совпадает по фазе с током
I
2
. Далее аналогично строим вектор
2
2
2
RIU
R
=
из конца вектора U
2
.
2. Строим далее
2
2
2
LjIU
L
ω
= , который опережает ток I
2
на 90
°
.
3.
Соединив конец вектора
2
L
U с началом координат, получим век-
тор напряжения взаимоиндукции
2M
1
M UjI
=
ω
−
.
4.
Строим ток I
1
, опережающим вектор U
M2
на
2
π
, т. к. включение
встречное.
5.
Далее, на основании уравнения для первичной обмотки трансфор-
матора строим векторы
1
1
1
RIU
R
=
по току I
1
и
2
2
2
LjIU
L
ω
=
, опере-
жающим I
1
на
2
π
.
6.
Из конца вектора U
L
2
строим вектор напряжения взаимоиндукции
U
M
1
= −I
2
jωМ, отстающий от тока I
2
на
2
π
.
7.
Соединив начало координат с концом вектора U
M
1
, получим сум-
марный вектор напряжения U
1
. По диаграмме можно определить сдвиг
фаз ϕ
1
между U
1
и I
1
. Аналогично строятся диаграммы для любой нагруз-
ки. Например, если нагрузка емкостная, то ϕ
н
= –90°, следовательно, U
2
будет отставать от I
2
на
2
π
. Остальной порядок и принцип построения
диаграммы аналогичен.
8.
Построение векторной диаграммы для режима холостого хода
следует начинать с тока I
1
(т. к. I
2
=0) и строить вектора напряжений на
основании уравнений трансформатора:
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
63
U
1
= R
1
I
1
+ jωL
1
I
1
;
U
2
– jωMI
1
= 0.
5.6. Эквивалентная схема
трансформатора без индуктивной связи
Применяя правило развязки индуктивных связей (§ 5.4), получим эк-
вивалентную схему трансформатора без индуктивных связей.
Докажем, что полученная
схема является эквивалентной
схеме воздушного трансформа-
тора.
Для этого составим уравне-
ния по методу контурных то-
ков, считая I
11
= I
1
, I
22
= I
2
:
1
2
11
1
M)MM( UjIjjLjRI =
ω
−
ω
+
ω
−
ω
+
;
0M)M(
1
22
H2
=
ω
−
+
ω
−
ω
+ jIRjLjZI ,
откуда получаем уравнения воздушного трансформатора, учитывая, что
U
2
=I
2
Z
H
:
1
2
1
1
1
1
M UjILjIRI
=
ω−ω+ ,
0M
1
2
2
2
2
2
=
ω
−ω++ jILjIRIU .
5.7 . Передача мощности между
индуктивно связанными катушками
Пусть известны токи
1
1
1
ψ
=
j
eII и
2
2
2
ψ
=
j
eII , то-
гда комплексная мощность каждой катушки, обу-
словленная взаимной индукцией,
+ψ−ψω−=ω==
∗
∗
)sin(MM
1212121
M1M1
IIIIjIUS
+;)cos(M
1M11212
jQPIIj
+
−
=
ψ
−
ψ
ω
;M
1M
212
M2M2
SIIjIUS −=ω==
∗
∗
P
1
= –P
2
= ωMI
1
I
2
sin(ψ
1
– ψ
2
).
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
64
В результате суммарная активная мощность двух катушек равна
P = P
1
+ P
2
= 0 ,
а реактивная мощность каждой катушки –
Q
M
=
ωMI
1
I
2
cos(ψ
1
– ψ
2
) .
При подсчете реактивной мощности потребителей нужно учитывать
мощность взаимоиндукции
Q
п
= ∑I
2
X
L
– ∑I
2
X
C
± 2Q
M
,
где (+) – согласное включение катушек;
(–) – встречное включение.
Пример 1
В цепи воздушного трансформатора
известно, что
X
1
= X
2
= 10 Ом; X
C
= 40 Ом.
Коэффициент связи катушек
k
св
= 0,3.
Показание амперметра электромагнит-
ной системы
I
A
= 1 A.
Определить показание вольтметра той
же системы.
Решение
Запишем уравнения для каждого контура с учетом взаимоиндуктивной
связи:
()
(
)
()
2
1
,0
,
M
1
2
2
1
M211
⎭
⎬
⎫
=−−
=−
jXIXXjI
UjXIjXI
C
;
1
M
21
M
св
X
X
XX
X
k
== X
M
= k
св
⋅X
1
= 3 Ом.
Из второго уравнения принимаем начальную фазу
I
2
равной 0, тогда
A1
0
2
==
o
j
IeI ;
(
)
A.2
3
61
M
2
2
1
=
⋅
=
−
=
j
j
jX
XXjI
I
C
Подставив
I
1
в (1) уравнение, имеем
2
⋅j 10 – 1⋅j 3 = U
1
; U
1
= j 17 B.
Показание вольтметра равно 17 B.
Пример 2
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
65
Показание амперметра элек-
тродинамической системы равно
10 А;
X
1
= X
2
= 10 Ом; коэффици-
ент связи катушек
k
св
= 0,5.
Определить показание вольт-
метра той же системы.
Решим задачу двумя методами:
Ом5
1св21свM
=== XkXXkX
.
1. Без развязки индуктивных связей.
Комплексная схема без
измерительных приборов
(
R
A
= 0, R
V
= ∞).
2. Сделаем развязку индуктив-
ных связей, учитывая, что ка-
тушки соединены разноимен-
ными зажимами (§ 5.4).
Составим уравнение по II закону
Кирхгофа для правого контура с уче-
том встречного включения:
VM
1
2
2
M
2
1
1
UjXIjXIjXIjXI
=
+−− ;
т. к.
I
2
= 0, то
()
B1501510
M1
1
V
jjXXjIU
=
⋅=+= .
Показание вольтметра равно 150 В.
Составим уравнение по II
закону Кирхгофа для правого
контура, т. к.
I
2
= 0, то
(
)
B150
M11V
jXXjIU =
+
=
.
Решение получилось анало-
гичным.
Пример 3
Показание амперметра
электромагнитной системы
равно 1 А;
X
1
= X
2
= 20 Ом;
X
M
= 10 Ом;
X
C
= 10 Ом;
R
1
= 10 Ом.
Определить показание
вольтметра той же системы.
Решение
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
66
Сделаем развязку индуктивных связей, катушки включены одно-
именными зажимами (§ 5.4).
Так как
X
M
= X
C
,
то
j(X
M
– X
C
) = 0;
Получаем схему
I
1
= I
2
, тогда
(
)
[
]
()
B.14,1410101
45
M111
V
o
j
ej
XXjRIU
=+=
=
−
+
=
Показание вольтметра равно 14,14
В.
Пример 4
Дано: 40406,56
45
jeE
j
+==
o
, B;
22
90
jeJ
j
−==
−
o
A;
R=X
L
=X
C
=20 Ом;
k
св
=0,5.
Определить:
а) суммарную активную вырабатываемую мощность источников
ЭДС и тока
Р
и
;
б) показание амперметра
I
A
.
Решение
1. По второму закону Кирхгофа, с учетом встречного включения ка-
тушек, определим напряжение
U
J
и ток I
2
:
MCL
J
jXIXXjJU
⋅
−
−
⋅
=
2
)(;
)(
2
CLM
jXjXRIjXJE
−
+
⋅
+
⋅−= .
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
67
Тогда при
X
L
=X
C
и
10
св
=⋅⋅=
LLM
XXkX
Ом получим
А;605,323
20
4060
20
10)2(4040
7,33
2
o
j
M
ej
j
jjj
R
jXJE
I
=+=
+
=
⋅
−
+
+
=
⋅+
=
o
3,56
2
05,36302010)23(
j
M
J
ejjjjXIU
−
=−=⋅+−=⋅−= В.
2.
Найдем комплексы полных вырабатываемых мощностей:
– источника ЭДС
)40200()23()4040(
2
jjjIES
E
+=−⋅+=⋅=
∗
ВА,
где его активная вырабатываемая мощность равна Р
Е
=200 Вт;
– источника тока
)4060(2)3020( jjjJUS
JJ
+=⋅−=⋅=
∗
ВА,
где его активная вырабатываемая мощность равна Р
J
=60 Вт.
3.
Определим искомую суммарную активную вырабатываемую
мощность источников
Р
и
= Р
Е
+ Р
J
= 200 + 60 = 260 Вт,
причем эта мощность равна активной потребляемой мощности резистора R
26020605,3
2
2
2П
=⋅=⋅= RIP Вт,
что свидетельствует о правильности проведенных расчетов.
4.
Найдем показание амперметра:
605,3
2
=
=
II
A
А.
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
68
Тема 6
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
6.1. Понятие о трехфазной цепи
Совокупность трех однофазных цепей с одинаковой частотой и оди-
наковыми ЭДС, сдвинутыми по фазе на 120°, называют
трехфазной це-
пью
.
В электроэнергетике, вследствие наибольшей экономичности и тех-
нического совершенства, применяются почти исключительно трехфаз-
ные цепи. Все звенья трехфазной цепи, начиная от генератора и кончая
двигателем, были изобретены и разработаны известным русским инже-
нером и ученым М.О. Доливо-Добровольским в 1888–1891 г.
Обмотки генератора могут быть соединены по схеме “звезда”
(схема 1) или “треугольник” (схема 2).
Мгновенные значения
фазных ЭДС
Векторная диаграмма
фазных ЭДС
Примем начальную фазу
ψ
А
= 0, т. е.
е
А
= Е
m
sinωt;
е
В
= Е
m
sin(ωt – 120°);
е
С
= Е
m
sin(ωt + 120°);
в любой момент времени
е
А
+ е
В
+ е
С
= 0.
Такой порядок чередования фаз, когда
ЭДС фазы “В” отстает от ЭДС фазы “А”
на 120°, а ЭДС фазы “С” опережает, назы-
вается
прямым.
Вектора ЭДС образуют симметричную
систему
Е
А
= Е, где Е =
2
m
E
;
Е
B
= Ее
–j120°
= a
2
Е
А
;
Е
C
= Ее
j120°
= a Е
А
;
a = е
j120°
– оператор симметричной
системы векторов;
а = –0,5 + j
2
3
;
oo
1202402 jj
eea
−
==
;
Е
А
+ Е
В
+ Е
С
= Е
А
(1 + а
2
+ а) = 0
– сумма симметричной системы векто-
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
69
ров равна 0.
6.2. Понятие о фазных и линейных величинах
В трехфазной цепи различают токи и напряжения фазные (I
ф
, U
ф
)
и линейные (
I
л
, U
л
).
Схема 1
соединение “звезда–звезда”
с нулевым проводом ( – )
Схема 2
соединение
“треугольник–треугольник” (
Δ – Δ)
Фазные токи
текут по обмоткам генератора или сопротивлениям на-
грузки.
Фазные напряжения – на выходах обмоток генератора и нагрузок
или между фазами и нулевым проводом (“землей” или “нейтралью”).
Линейные токи текут по линейным проводам от генератора к на-
грузке.
Линейные напряжения – между линейными проводами или между фа-
зами.
Фазные Линейные
Схема Фазы
токи
I
ф
напряжения Е
ф
, U
ф
токи I
л
напряжения U
л
Сх. 1 AN, BN, CN;
an, bn, cn
I
А
, I
B
, I
C
E
А
, E
B
, E
C
;
U
a
, U
b
, U
c
I
А
, I
B
, I
C
U
АB
, U
BC
, U
CA
Сх. 2 AB, BC, CA;
ab, bc, ca
I
АB
, I
BC
, I
CA
;
I
ab
, I
bc
, I
ca
E
АB
, E
BC
, E
CA
;
U
ab
, U
bc
, U
ca
I
А
, I
B
, I
C
U
АB
, U
BC
, U
CA
Для схемы 1
I
л
= I
ф
; для схемы 2 U
л
= U
ф
.
Z
пр
– сопротивление линейного провода;
N, n – нейтральные точки генератора и нагрузки;
Z
N
– сопротивление нейтрального провода;
I
N
– ток нейтрального провода;
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
70
I
N
= I
А
+ I
B
+ I
C
;
U
N
– смещение нейтрали, показывает смещение нейтральной точки
нагрузки
n по отношению к нейтральной точке генератора N, которая
находится всегда в центре тяжести равностороннего треугольника;
NNNnN
ZIU
=
ϕ
−
ϕ
=
.
Векторная диаграмма фазных ЭДС генератора
E
АB
= E
А
– E
B
= E
А
(1 – а
2
) =
=
E
А
(1 + 0,5 + j
2
3
) = Е
А
3 е
j30°
;
E
BC
= E
B
– E
C
= E
А
(а
2
– а) = Е
А
3
е
–j90°
;
E
CA
= E
C
– E
A
= E
А
(а – 1) = Е
А
3 е
j150°
.
U
АB
= E
АB
= Е
А
3
е
j30°
;
U
л
= 3 Е
ф
E
АB
= U
АB
;
U
л
= U
ф
для схемы 1 для схемы 2
6.3. Расчет трехфазной цепи
К расчету трехфазной цепи могут быть применены все методы рас-
чета однофазных цепей.
6.3.1. Симметричная цепь
Трехфазная цепь называется симметричной, если комплексные
сопротивления фаз одинаковы.
1. Соединение “звезда–звезда” ( – ).
Известно:
Z
пр
; Z
н
= Z
н
е
jϕ
н
; Е
А
= Е
А
е
jψ
А
.
Определить
I
А
, I
B
, I
C
.
Так как генератор образует симметричную систему векторов ЭДС
и нагрузка симметричная, то токи
I
А
, I
B
, I
C
тоже образуют симметрич-
ную систему, тогда
I
N
= I
А
+ I
B
+ I
C
= 0, U
N
= I
N
Z
N
= 0, ϕ
n
= ϕ
N
. Следова-
тельно, нет необходимости в нулевом проводе, т. е.
Z
N
= ∞.