Сметанина Р.Н. и другие. Теоретические основы электротехники
Подождите немного. Документ загружается.
11
2. Умножение комплексных чисел можно производить в алгебраиче-
ской или показательной форме, например:
;18,14330140405080100
410510420520)45()1020(
1.12
o
j
ejjj
jjjjjj
⋅=+=+−+=
=⋅
−⋅−⋅+⋅=+⋅−
oooooo
50)9040(904040
100250250)20()50(
jjjjj
eeeeje ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=+⋅⋅
+−−−
;
причем 1
2
−=j ;
o
90j
ej
±
=±
; j
j
−=
1
;
o
0
1
j
e= ;
o
180
1
j
e=− .
3. Деление комплексных чисел производится только в показательной
форме, например:
)( β−α
β
α
⋅=
⋅
⋅
j
j
j
e
B
A
e
B
eA
или
o
o
o
100
70
30
20
5
100
j
j
j
e
e
e
⋅=
⋅
⋅
−
.
4. Возведение в степень комплексного числа производится только
в показательной форме, например:
njnnj
eAeA
⋅αα
⋅=⋅
)( или
ooo
602302230
255)5(
jjj
eee ⋅=⋅=⋅
⋅
.
5. Извлечение из под корня комплексного числа производится только
в показательной форме, например:
n
j
n
n
j
eAeA
α
α
⋅=⋅
или
o
o
o
60
2
120
2
2
120
10100100
j
j
j
eee
−
−
−
⋅=⋅=⋅ .
Примечание
. Некоторые калькуляторы снабжены функциями пере-
вода комплексных чисел из одной формы в другую, а также функциями
деления и умножения комплексных чисел в алгебраической форме. Необ-
ходимо внимательно изучать инструкцию, прилагаемую к калькуля-
торам.
Уравнения электрического равновесия для цепей с гармоническими
источниками могут быть записаны для мгновенных значений в диффе-
ренциально-интегральной форме (см. табл. 1). Решение таких уравнений
затруднительно. Проще и наглядней можно рассчитать схему, заменив
синусоиду комплексным числом. Замена мгновенных значений ком-
плексными числами позволяет заменить дифференциально-
интегральные уравнения алгебраическими и действия над волновыми
функциями заменить действиями над комплексными числами. В этом
суть комплексного метода.
12
Заменим гармоническую функцию i(t) = I
m
sin(ωt + α) комплексным
числом и представим его на комплексной плоскости:
Мгновенное комплексное значение тока
i
= I
m
е
j(
ω
t +
α
)
= I
m
е
j
α
е
j
ω
t
= I
m
е
j
ω
t
,
где I
m
= I
m
е
j
α
– комплексная амплитуда (показательная форма);
I
m
= I
m
cosα + jI
m
sinα = a + jb – ее тригонометрическая и алгебраиче-
ская формы.
Следовательно, синусоидальной функции времени соответствует
комплексная амплитуда i(t) = J
m
(i) = I
m
sin(ωt + α) ↔ I
m
= I
m
е
jα
.
Пример.
ЭДС е(t) = 141 sin(ωt – 30°) соответствует комплексная ам-
плитуда этой ЭДС Е
m
= 141 е
–j30
°
В.
Действующие значения гармонических функций
Расчет цепи с гармоническими источниками ведут обычно не по
максимальным, а по действующим значениям, т. е. среднеквадратичным
значениям за период
ωπ=
2
T
:
при )sin()(
α+ω= tFtf
m
имеем
;
2
)(sin
1
)(
1
0
22
0
2
m
T
m
T
F
dttF
T
dttf
T
F =α+ω==
∫∫
2
m
F
F =
– действующее (или эффективное) значение;
αα
==
jj
m
Fee
F
F
2
;
F
– комплекс действующего значения.
В нашем примере комплекс действующего значения ЭДС
Е
=
2
141
е
–j30
°
= 100 е
–j30
°
В.
Иногда применяется среднее значение гармонической функции за
половину периода (Т/2):
∫
=
π
=⋅ω⋅=
2
0
cp
637,0
2
sin
2
T
m
m
m
F
F
dttF
T
F
.
13
Мгновенные значения
гармонических функций
Комплексные изображения
гармонических функций
e(t) = E
m
sin(ωt + ψ
e
),
i(t) = I
m
sin(ωt + ψ
i
),
e(t), i(t) – мгновенные значения.
Изображение гармонических
функций волновыми функциями:
E =
2
m
E
е
jψ
e
= E е
jψ
e
,
I
=
2
m
I
е
jψ
i
= I е
jψ
i
,
E
, I – комплексы действующих значений;
1−=j
, j
2
= –1.
Изображение гармонических функций ком-
плексными числами на комплексной плоско-
сти (векторами E,
I):
ϕ = ψ
e
– ψ
i
;
0 ≤ ϕ ≤ ±
2
π
;
где ϕ – разность фаз (сдвиг фаз) напряжения и тока.
Таким образом, если нужно сложить два тока: i(t) = i
1
(t) + i
2
(t), то
вместо сложения волновых функций достаточно сложить два комплекс-
ных числа, заменив синусоиды комплексными числами.
Например: при заданных токах
A)60sin(10)(
1
o
+ω= tti
и
A)30sin(8)(
2
o
−ω= tti необходимо рассчитать ток )()()(
21
tititi += .
1. Необходимо мгновенные значения токов перевести в комплекс-
ную форму
66,8510)(
60
1
1
jeIti
j
m
+==→
o
;
493,68)(
30
2
2
jeIti
j
m
−==→
−
o
.
2. Рассчитываем комплексную амплитуду искомого тока
.A8,1266,493,11493,666,85
34.21
21
o
j
mmm
ejjjIII =+=−++=+=
3. Переходим к функции времени
.A)34,21sin(8,12)(8,12
34.21 o
o
+ω=→= ttieI
j
m
Сложению комплексных чисел соответствует сложение векторов на
комплексной плоскости, длина которых соответствует одному масшта-
бу, например, m
I
= 4 A/см:
14
Зная ток i(t), можно вычислить его значение в любой момент време-
ни, например при t= 0:
.A65,434,21sin8,12)0( ==
o
i
Для расчета цепи с гармоническими источниками изображается схе-
ма замещения в комплексной форме, где каждому элементу соответст-
вует комплексное изображение: i ↔ I
, e ↔ E, u ↔ U, пассивные элемен-
ты ↔
.
2.2. Закон Ома в комплексной форме
Если известны на входе пассивного двухполюсника ЭДС и ток:
e(t) = E
m
sin(ωt + ψ
e
), i(t) = I
m
sin(ωt + ψ
i
),
тогда их комплексы действующих значений будут равны
E
= E е
j
ψ
e
; I = I е
j
ψ
i
.
Отношение комплексного напряжения (ЭДС) к ком-
плексному току называют комплексным сопротивлением:
Z
=
I
E
=
i
e
j
j
I
e
Ee
ψ
ψ
=
I
E
е
j
(
ψ
e
–
ψ
i
)
= Z е
j
ϕ
;
ϕ
=
j
ZeZ
– комплексное сопротивление пассивного двухполюсника;
YE
Z
E
I ==
, где
Z
Y
1
=
– комплексная проводимость.
Это закон Ома в комплексной форме.
Z – модуль комплексного сопротивления,
ϕ – аргумент комплексного сопротивления, равный углу сдвига фаз
между напряжением (ЭДС) и током.
15
2.3. Законы Кирхгофа в комплексной форме
2.3.1. Первый закон Кирхгофа (для узла или сечения)
Алгебраическая сумма токов в узле (сечении) равна нулю
Для мгновенных значений В комплексной форме
–i
1
– i
2
+ i
3
= 0,
0
=±
∑
k
i
;
–I
1
– I
2
+ I
3
= 0,
0
=±
∑
k
I
;
“+” – токи, выходящие из узла;
“–” – токи, входящие в узел.
2.3.2. Второй закон Кирхгофа (для замкнутого контура)
В контуре алгебраическая сумма ЭДС и напряжений на зажимах
источников тока равна алгебраической сумме падений напряже-
ний на пассивных элементах.
Для мгновенных значений В комплексной форме
∑∑∑
±+±=±
Jkkk
ueu
;
∑∑∑
±+±=±
Jk
k
kk
UEIZ
;
Z
k
– комплексное сопротивление ветви.
Для записи уравнений по II закону Кирхгофа необходимо расставить
стрелки токов (произвольно) и выбрать направление обхода конту
р
а, и
если стрелки ЭДС, U
J
или тока совпадают с направлением обхода, то
эти величины входят в уравнение со знаком “+”, не совпадают – со зна-
ком “–”.
16
Пример
для мгновенных значений в комплексной форме
–i
1
R + L
d
t
di
2
+
∫
dti
C
3
1
= e(t) – u
J
(t).
–Z
1
I
1
+ Z
2
I
2
+ Z
3
I
3
= E – U
J
.
2.4. Эквивалентные преобразования электрических цепей
Преобразование считается
эквивалентным
, если оно не изменяет
токи и напряжения в непреобразованной части цепи.
2.4.1. Последовательное соединение
Сопротивления соединены последовательно, когда по ним течет
один и тот же ток:
Z
э
= Z
1
+ Z
2
+ Z
3
;
∑
=
k
ZZ
э
.
При последовательном соединении сопротивления суммируются.
2.4.2. Параллельное соединение
Сопротивления соединены параллельно, когда к ним приложено одно
и то же напряжение, т. е. они подключены к одной паре узлов.
При параллельном соединении суммируются проводимости:
Y
э
= Y
1
+ Y
2
+ Y
3
Y
э
=
Σ
Y
k
Y
k
= 1/Z
k
.
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
17
Частные случаи
а) параллельно соединены две ветви
21
21
э
ZZ
ZZ
Z
+
= .
Зная ток I, подходящий к двум параллельным ветвям,
можно найти токи в этих ветвях.
Правило распределения токов в параллельных ветвях:
21
1
2
21
2
1
ZZ
Z
II
ZZ
Z
II
+
=
+
=
;
;
б) если параллельно соединены n одинаковых ветвей с сопротивления-
ми Z
, то
n
Z
Z =
э
;
в)
Z
э
= 0, т. е. сопротивление Z замкнуто накоротко, через
него ток не пойдет и его можно из схемы исключить.
Пример 1
R
1
= R
2
= 400 Ом;
R
3
= 20 Ом;
R
4
= 60 Ом
Решение
Участок "b–b" – закоротка, поэтому узлы
имеют одинаковые потенциалы, тогда
R
э
=
21
21
RR
RR
+
+
43
43
RR
RR
+
=
2
40
+
80
6020
⋅
= 35 Ом.
Определить
R
э
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
18
Пример 2
Все сопротивления
одинаковы: по 20 Ом
Решение
Сопротивление
R
5
закорочено, определим
R
э
:
R
э
=
R
1
+
67
67
RR
RR
+
+
432
423
)(
RRR
RRR
++
+
=
= 20 + 10 +
60
4020
⋅
= 43,3 Ом.
Определить
R
э
2.4.3. Преобразование пассивного треугольника сопротивлений
в эквивалентную звезду сопротивлений и обратное
преобразование
Кроме последовательных и параллельных соединений, в схеме могут
быть и другие соединения – треугольник и звезда. Для приведения таких
схем к более простым, содержащим последовательные и параллельные
соединения, приходится прибегать к замене треугольника сопротивле-
ний в эквивалентную звезду или к обратному преобразованию.
Треугольником
называют такое соединение, когда три сопротивления
образуют замкнутый контур, а в местах соединения имеются узлы.
Звездой
называют такое соединение, когда три конца сопротивлений
соединены в общий узел, а три начала имеют разные потенциалы (нача-
ла и концы – условные понятия).
→
←
Z
12
=
Z
1
+
Z
2
+
3
21
Z
ZZ
;
Z
23
=
Z
2
+
Z
3
+
1
23
Z
ZZ
;
Z
31
=
Z
3
+
Z
1
+
2
31
Z
ZZ
;
Z
1
=
233112
3112
ZZZ
ZZ
++
⋅
;
Z
2
=
233112
2312
ZZZ
ZZ
++
⋅
;
Z
3
=
233112
3123
ZZZ
ZZ
++
⋅
.
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
19
В случае, когда все сопротивления заменяемой схемы одинаковы (та-
кая схема называется
симметричной звездой
или
симметричным тре-
угольником
), выражения для эквивалентных сопротивлений упрощаются.
Если
Z
12
=Z
23
=Z
31
=Z
Δ
, а Z
1
=Z
2
=Z
3
=Z , то Z
Δ
=3 Z , Z
3
Δ
=
Z
.
2.4.4. Расчет цепи с одним источником
Расчет цепи с одним источником ЭДС или тока может быть проведен
с использованием правил преобразования и законов Ома и Кирхгофа.
Цепь с источником ЭДС Цепь с источником тока
Дано: E, Z
1
, Z
2
, Z
3
, Z
4
Дано: J, Z
1
, Z
2
, Z
3
.
Рассчитать: I
1
, I
2
, I
3
Рассчитать: U
J
, I
2
, I
3
.
1. Рассчитываем Z
э
()
432
432
1
ZZZ
ZZZ
ZZ
э
++
+⋅
+=
.
1. Рассчитываем Z
э
32
32
1э
ZZ
ZZ
ZZ
+
⋅
+= .
2. Рассчитываем ток источника ЭДС по
закону Ома
э
1
Z
E
I =
2. Рассчитываем напряжение источника
тока по закону Ома
JZU
J
⋅=
э
3. По правилу распределения токов
в параллельных ветвях (§ 2.4.2) находим
токи
432
43
12
ZZZ
ZZ
II
++
+
⋅= ;
432
2
13
ZZZ
Z
II
++
⋅=
3. По правилу распределения токов
в параллельных ветвях (§ 2.4.2)
находим токи
32
3
2
ZZ
Z
JI
+
⋅= ;
32
2
3
ZZ
Z
JI
+
⋅= .
4. По законам Кирхгофа делаем
проверку
321
III += ;
2211
IZIZE ⋅+⋅=
4. По законам Кирхгофа делаем
проверку
32
IIJ += ;
221
IZJZU
J
⋅+⋅=
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
20
Пример
Дано:
Е =
220 В;
R
1
=
10 Ом;
R
2
=
20 Ом;
R
3
= R
4
= R
5
=
30 Ом.
Определить показания приборов:
вольтметра
U
V
и амперметра
I
A
.
Решение
Следует иметь в виду, что наличие
приборов не влияет на токораспреде-
ление цепи. Расчетную схему следует
для наглядности рисовать без измери-
тельных приборов, учитывая, что внутреннее сопротивление ампермет-
ра мало и может быть принято равным нулю, а внутреннее сопротивле-
ние вольтметра велико и обычно принимается равным бесконечности,
т. е.
R
A
=
0 и
R
V
=
∞
. Показание вольтметра
U
V
как напряжение на сопро-
тивлении
R
4
находится по второму закону Кирхгофа для контура
acba
,
причем это напряжение обозначается стрелкой против тока
I
A
и учиты-
вается при составлении уравнения как ЭДС:
U
V
= R
2
I
2
– R
1
I
1
.
Показание амперметра
I
A
, как ток в сопротивлении
R
4
определяется
по закону Ома
4
R
U
I
V
A
=
.
Для определения токов
I
1
и
I
2
необходимо преобразовать, например,
треугольник
bcd
в звезду: т. к.
R
Δ
= R
3
= R
4
= R
5
=
30 Ом, то
R = R
b
= R
c
=
= R
d
= R
3
/
3
=
10 Ом.
В результате получаем преобра-
зованную схему, в которой проведем
следующие расчеты:
1. Определяем эквивалентное со-
противление
=
+++
+
⋅+
+=
cb
cb
d
RRRR
RRRR
RR
21
21
э
)()(
22
10201010
)1020()1010(
10
=
+++
+⋅+
+=
Ом.
2. Определяем ток источника ЭДС
10
22
220
э
===
R
E
I
А.
3. Определяем токи в параллельных ветвях по правилу их распреде-
ления: