Сметанина Р.Н. и другие. Теоретические основы электротехники

31

5. Определим комплекс тока

I

R

по правилу распределения токов

в параллельных ветвях:

A.55

2,28

20

09,7

2020

20

09,7

180

45

90

135

−==⋅=

=

+

⋅=

+

⋅=

o

j

L

R

e

j

e

jXR

jX

II

6. Определим показания приборов:

а) амперметра I

A

=I

R

=|I

R

|= 5 A;

б) вольтметра U

V

=|U

V

|=|RI

R

|=|–100|=100 B.

7. Запишем мгновенное значение входного тока:

)135100sin(209,7)(

o

+= tti , А.

32

Тема 3

МЕТОДЫ РАСЧЕТА

ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

3.1. Классификация основных методов расчета

Рассчитать электрическую цепь – это значит определить токи в вет-

вях и напряжение на зажимах источников тока по заданным ЭДС, токам

источников тока и сопротивлениям ветвей.

Для расчета сложной цепи с несколькими источниками ЭДС и токов

применимы следующие методы:

1. Метод уравнений Кирхгофа.

2. Метод контурных токов.

3. Метод узловых потенциалов.

4. Метод наложения.

5. Метод эквивалентного генератора.

Первый метод является базисным, универсальным, остальные осно-

ваны на первом, т. е. на законах Кирхгофа.

Для расчета цепи с гармоническим или постоянным источником сле-

дует изобразить соответствующую схему замещения с учетом вышеиз-

ложенных положений (§ 1.3, табл. 1).

Элементы

Гармонический

источник

Z

R

=

R

Z

L

=

jX

L

Z

С

= –

jX

С

Постоянный

источник

закоротка

разрыв

Дальнейшие расчеты приведены для цепи с гармоническими источ-

никами. Для

расчета

цепи

с постоянными источниками в полученных

33

уравнениях следует

заменить Z на R, комплексные

обозначения – на

дей-

ствующие для постоянного тока.

Электрическая схема (а)

Параметры схемы:

e

1

= E

m

1

sin(ωt + ψ

1

);

e

2

= E

m

2

sin(ωt + ψ

2

);

i = J

m

sin(ωt + ψ);

R

1

, R

3

, R

5

, L

1

, C

2

, C

5

.

__________________________

Определить токи ветвей и на-

пряжение на зажимах источника

тока.

Комплексная схема замещения (б)

Комплексные параметры:

E

1

=

E

1

е

jψ

1

; Z

1

=

R

1

+

jωL

1

=

R

1

+

jX

L

1

;

E

2

=

E

2

е

jψ

2

; Z

2

=

–j

2

ω

1

С

=

–jX

C

2

;

J

= J е

jψ

; Z

3

= R

3

; Z

4

= 0;

Z

5

= R

5

– j

5

ω

1

С

= R

5

–jX

C

5

.

Определить: I

1

, I

2

, I

3

, I

4

, I

5

, U

J

.

3.2. Метод уравнений Кирхгофа

Сущность метода

Составляется система линейно независимых уравнений электриче-

ского равновесия на основании I и II законов Кирхгофа, которая разре-

шается относительно неизвестных токов в ветвях.

Порядок расчета

1. Определяется количество уравнений N

в

= к

1

+ к

2

и составляются

уравнения:

а) по первому закону Кирхгофа: к

1

= N

у

– 1,

б) по второму закону Кирхгофа: к

2

= N

в

– N

у

+1 = N

в

– к

1

,

где N

в

– количество ветвей; N

у

– количество узлов.

2. Решается полученная система уравнений, определяются ком-

плексные значения токов и напряжений на зажимах источников токов.

3. Составляется баланс мощностей.

34

Уравнения для схемы (б)

1. к

1

= 4 – 1 = 3;

к

2

= 6 – 3 = 3;

N

в

= 6;

N

у

= 4;

узлы: (1) I

1

+ J – I

5

= 0;

(2) –I

1

+ I

2

+ I

3

= 0;

(3) –I

3

– I

4

+ I

5

= 0;

контуры: (I) Z

1

I

1

+ Z

3

I

3

+ Z

5

I

5

= E

1

;

(II) Z

3

I

3

– Z

2

I

2

= –E

4

;

(III) Z

5

I

5

= E

4

+ U

J

.

2. Решая систему уравнений, получаем I

1

, I

2

, I

3

, I

4

, I

5

, U

J

.

3. Для контроля результатов расчета составим баланс активных и ре-

активных мощностей:

S

и

= Е

1

∗

I

1

+ Е

4

∗

I

4

+ U

J

∗

J

= P

1

+ jQ

1

+ P

4

+ jQ

4

+ P

J

+ jQ

J

=

= (P

1

+ P

4

+ P

J

) +j(Q

1

+ Q

4

+Q

J

) = P

и

+ jQ

и

;

P

п

=

2

1

IR

1

+

2

3

IR

3

+

2

5

I R

5

;

Q

п

=

2

1

I

X

L

1

–

2

I

X

C

2

–

2

5

I

X

C

5

;

P

и

= P

п

; Q

и

= Q

п

.

3.3. Метод контурных токов

Сущность метода

В расчет вводятся контурные токи, которые протекают по независи-

мым контурам. Составляется система к

2

= N

в

– N

у

+ 1 уравнений для лю-

бого “к” контура по алгоритму (1):

kkmmkmkkkk

EIZIZ =+∑+

, (1)

где Z

kk

= ∑ Z

k

– собственное сопротивление “k” контура;

Z

km

– общее сопротивление ветви между “k ” и “m” контурами;

“+” – если контурные токи через эту ветвь текут в одном направлении;

“–” – если противоположно;

I

кк

– контурный ток “k” контура;

I

mm

– контурный ток соседнего “m” контура;

Е

kk

– контурная ЭДС “k” контура, равна алгебраической сумме всех

ЭДС “к” контура и напряжений на зажимах источников тока;

Е

kk

= ∑ ±Е

k

+ ∑ ±U

Jk

;

“+” (Е

k

, U

Jk

) – если их направления совпадают с направлением кон-

турного тока;

“–” – если противоположно.

35

Порядок расчета

1.

Выбираются направления контурных токов для независимых (к

2

)

контуров.

2.

Составляется система уравнений по алгоритму (1).

3.

Решается полученная система уравнений, определяются контурные

токи.

4.

По контурным токам определяются действительные токи ветвей,

как алгебраическая сумма контурных токов, проходящих через эту

ветвь. Причем контурные токи, совпадающие по направлению с дейст-

вительными, записываются с “+”, противоположные – с “–”.

Примечание.

Контурные токи выбирать так, чтобы через ис-

точник тока проходил только один контурный ток, равный по величине

и направлению току источника тока.

Контурные уравнения для схемы

(

б

)

1.

Количество независимых контуров к

2

= 3, направление контурных

токов указано на схеме с учетом примечания.

2.

Составляем систему трех уравнений по алгоритму (1)

I

33

= J,

контуры:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−=−−

−=++

−=+++

.0

;)(

III

II

I

5

422115

42232113

5

122311531

JZEUIIZ

EIZZIZ

JZEIZIZZZ

J

3.

Решив полученную систему уравнений, определим контурные то-

ки I

11

, I

22

и U

J

.

4.

По контурным токам определим действительные токи ветвей:

I

1

= I

11

; I

4

= I

33

– I

22

= J – I

22

;

I

2

= –I

22

; I

5

= I

11

+ I

33

; = I

11

+ J.

I

3

= I

11

+ I

22

;

3.4. Метод узловых потенциалов

Сущность метода

Неизвестными принимаются потенциалы узлов (ϕ). Потенциал од-

ного узла принимается равным нулю (базисный), а потенциалы осталь-

ных узлов определяются. Составляется система узловых уравнений

к

1

= N

у

– 1 для любого “k” узла по алгоритму

kk

m

km

k

kk

IYY =ϕ∑−ϕ

, (2)

36

где Y

kk

= ∑ Y

k

– собственная узловая проводимость “k” узла, равна сумме

проводимостей ветвей, присоединных к данному узлу; Y

km

– общая про-

водимость ветвей, соединяющих “k” и “m” узлы; I

kk

– узловой ток “k”

узла;

I

кк

= ∑ ±E

к

Y

к

+ ∑ ±J

к

,

“+” – если Е

k

или J

k

направлены к узлу “k”;

“–” – если от узла.

Порядок расчета

1.

Выбирается базисный узел (ϕ = 0), причем если в схеме есть ветвь

с идеальной ЭДС (сопротивление которой равно нулю), то за базисный

следует выбрать один из узлов этой ветви, например:

особая ветвь

если принять ϕ

1

= 0, то ϕ

2

= Е;

если ϕ

2

= 0, то ϕ

1

= – Е.

2.

Для остальных к

1

= N

у

– 1 – N

ов

узлов составляется система урав-

нений по алгоритму (2). N

ов

– количество особых ветвей.

3.

Решая полученную систему уравнений, определяют неизвестные

потенциалы.

4.

По известным потенциалам определяют токи по обобщенному закону

Ома:

k

nm

k

Z

E

I

±ϕ−ϕ

,

(3)

где +ϕ

m

– высший потенциал (из которого ток “вытекает”);

–ϕ

n

– низший потенциал;

+E

k

– если E

k

совпадает по направления с током I

k

;

–E

k

– если против тока;

Z

k

– сопротивление “k” ветви.

Узловые уравнения для схемы

(

б

)

1.

Так как в схеме есть “особая” ветвь, то примем ϕ

4

= 0, тогда

ϕ

3

= E

4

, к

1

= N

у

– 2 = 4– 2 = 2 (т. к. ϕ

3

известен).

2.

Составляем систему двух уравнений по алгоритму (2):

узлы:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=ϕ−ϕ−ϕ

22

3

23

1

21

2

22

11

3

13

2

12

1

11

,

2

1

IYYY

37

или

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=ϕ−ϕ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+++ϕ−

−−=ϕ−ϕ−ϕ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

1

3

2

321

1

3

5

2

1

51

11111

,

1111

Z

E

ZZZZZ

J

Z

E

ZZZZ

(проводимость ветви с источником тока равна нулю).

3.

Решая полученную систему уравнений, определяем ϕ

1

, ϕ

2

.

4.

Определяем токи по найденным потенциалам по уравнению (3):

I

1

=

1

21

Z

E+ϕ−ϕ

; I

3

=

3

32

Z

ϕ−ϕ

;

I

2

=

2

Z

ϕ

; I

5

=

5

13

Z

ϕ−ϕ

.

Ток ветви, в которой отсутствует сопротивление, определяется

по первому закону Кирхгофа

I

4

= I

5

– I

3

.

3.5. Метод наложения

Сущность метода

На основании принципа независимости действия источников в ли-

нейной цепи, ток ветви можно рассматривать как алгебраическую сум-

му частичных токов, вызванных отдельными источниками:

n

kkkk

IIII ++

′′

+

′

= K

, (4)

где n – количество источников в схеме.

Порядок расчета

1.

Схема разбивается на “n” подсхем, в каждой из которых действует

один источник, остальные исключаются: источники ЭДС – замыкают

накоротко, ветвь с источником тока отключается.

2.

Полученные подсхемы рассчитываются любым методом.

3.

Определяются действительные токи ветвей по уравнению (4).

Пример

В схеме (б) определим I

1

методом наложения:

'"

1

"

1

'

11

IIII ++=

.

Необходимо составить 3 подсхемы.

38

1. Е

4

= 0; J = 0.

Ток через источник можно рассчитать по за-

кону Ома:

экв

1

Z

E

I =

'

,

где Z

экв

= Z

1

+ Z

5

+

32

ZZ

+

.

2. Е

1

= 0; J = 0.

Определим

"

4

I

по закону Ома:

экв

4

Z

E

I =

"

,

где Z

экв

= Z

2

+

531

513

ZZZ

++

+

)(

.

Ток

"

1

I определим по правилу параллельных

ветвей

"

1

I =

"

4

I

531

3

ZZZ

Z

++

.

3. Е

1

= 0; Е

2

= 0.

Определим

'''

1

I по правилу параллельных ветвей:

'''

1

I

= – J

.

5

32

1

5

Z

ZZ

Z

+

4. Определяем I

1

=

'

1

I

+

''

1

I

+

'''

1

I

.

3.6. Метод эквивалентного генератора

Сущность метода

Если требуется определить ток в одной ветви, то всю остальную

цепь можно заменить эквивалентным генератором с параметрами E

г

и Z

г

(или J

г

и Z

г

) по теореме об эквивалентном генераторе.

39

А – активная цепь

а)

НГ

Г

Н

Z

E

I

+

=

– формула Тевенена – Гельмгольца;

б)

НГ

Г

н

ZZ

ZJ

I

+

=

– формула Поливанова – Нортона.

Порядок расчета

1.

Выбрать формулу а) или б).

2.

Если:

а), то разомкнуть ветвь

ab

, опреде-

лить любым методом

U

ab

xx

.

б), то замкнуть накоротко ветвь

ab

и любым методом определить

I

кз

.

3.

Определить

Z

г

относительно точек

а

и

b

, отсоединив

Z

н

, при этом

все внутренние источники исключаются (источники ЭДС замыкают на-

коротко, источники тока – отключаются).

4.

Определить ток по формуле а) или б).

Пример определения тока

I

1

для схемы (б).

1. Выбираем формулу а):

НГ

Г

Н

ZZ

E

I

+

=

,

Е

г

=

U

1хx

.

2. Размыкаем ветвь и ставим стрелку

U

1xx

против тока. Составляем

уравнение по второму закону Кирхгофа, причем

U

хx

учитываем как

ЭДС.

40

Для внешнего контура

U

1хx

–

Е

1

= –

Z

5

I

5хx

–

Z

3

I

3хx

;

U

1хx

=

Е

1

–

Z

5

I

5хx

–

Z

3

I

3хx

.

Определим

I

3x

по закону Ома:

I

3х

= –

32

4

ZZ

E

+

;

I

5xx

=

J

.

3. Определяем

Z

Г

=

32

ZZ

+

Z

5

.

4. Определяем

I

1

=

Г

1

ZZ

U

xx

+

.

Выводы по методам расчета

1.

Метод законов Кирхгофа универсален, но громоздок в сложных

схемах.

2.

Метод контурных токов универсален, прост, эффективен для це-

пей с малым числом контуров, когда к

2

< к

1

.

3.

Метод узловых потенциалов – эффективен с малым числом узлов,

к

1

< к

2

.

4.

Метод наложения – частный, применим для простых схем с ма-

лым количеством источников.

5.

Метод эквивалентного генератора – эффективен при расчете од-

ного параметра.

3.7. Векторные диаграммы

Для наглядного суждения о токах и напряжениях на различных уча-

стках схемы строятся лучевые диаграммы токов и топографические диа-

граммы напряжений.

Лучевая диаграмма

– все векторы токов строятся из одной точки,

помещенной в начало координат комплексной плоскости. На диаграмме

наглядно демонстрируется первый закон Кирхгофа для любого узла.

Сметанина Р.Н. и другие. Теоретические основы электротехники

Подождите немного. Документ загружается.