Сметанина Р.Н. и другие. Теоретические основы электротехники
Подождите немного. Документ загружается.
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
101
8.1.2. По наличию источников внутри четырехполюсника
Пассивные
Нет внутри источников тока
или напряжения (линия передач,
трансформаторы).
Пассивные – обратимые,
выполняется принцип взаимности.
Активные
Содержат источники тока или
напряжения (усилители на транзисто-
рах, операционные усилители).
Необратимые – принцип взаимности
не выполняется.
8.2. Основные уравнения пассивных четырехполюсников
Для исследования четырехполюсника необходимо установить зависи-
мость между напряжениями и токами на входных и выходных зажимах.
Если заданы U
2
, I
2
, то можно определить U
1
, I
1
по уравнениям типа
“А”, которые называются основными уравнениями четырехполюсника.
.
,
222
2
211
2
12
2
11
1
IAUAI
UAUAU
+=
+
=
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
2
1
1
I
U
A
I
U
матричная форма;
(A
) =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2221
1211
AA
AA
– матрица коэффициентов четырехполюсника;
[A
11
], [A
22
] – безразмерные; [A
12
] = [Ом], [A
21
] = [См].
Существует другая форма записи уравнений типа “А”:
U
1
=А U
2
+B I
2
,
I
1
=С U
2
+D I
2
,
где
(А
) =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
DC
BA
.
Для коэффициентов (А) справедливо соотношение
1;1
21122211
=
−
=
− CBDAAAAA
.
Если четырехполюсник симметричен, для него при замене входных
и выходных зажимов (обратное включение) режим работы всей схемы
не меняется. Для симметричного четырехполюсника A
11
= A
22
, A = D;
()
(
)
1;1
2
2112
2
11
=−=− CBAAAA
.
Всего можно записать шесть различных по форме, но математически
равносильных уравнений:
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
102
Тип
уравнения
Форма
уравнения
Матричная
запись
Обозначение входных
и выходных величин
“А”
U
1
= A
11
U
2
+ A
12
I
2
,
I
1
= A
21
U
2
+ A
22
I
2
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
2
1
1
I
U
A
I
U
“Y”
I
1
= Y
11
U
1
+ Y
12
U
2
,
I
2
= Y
21
U
1
+ Y
22
U
2
,
⏐Y
12
⏐ = ⏐Y
21
⏐
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
2
1
U
U
Y
I
I
“Z”
U
1
= Z
11
I
1
+ Z
12
I
2
,
U
2
= Z
21
I
1
+ Z
22
I
2
,
⏐Z
12
⏐ = ⏐Z
21
⏐
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
2
1
I
I
Z
U
U
“H”
U
1
= H
11
I
1
+ H
12
U
2
,
I
2
= H
21
I
1
+ H
22
U
2
,
⏐H
12
⏐ = ⏐H
21
⏐
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
2
1
U
I
H
I
U
При обратном направлении I
2
(к точке 2)
H
21
= -H
12
“G”
I
1
= G
11
U
1
+ G
12
I
2
,
U
2
= G
21
U
1
+ G
22
I
2
⏐G
12
⏐ = ⏐G
21
⏐
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
1
2
1
I
U
G
U
I
“B”
U
2
= B
11
U
1
+ B
12
I
1
,
I
2
= B
21
U
1
+ B
22
I
1
B
12
= A
22
; B
22
= A
12
;
B
21
= A
21
; B
22
= A
11
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
1
1
2
2
I
U
B
I
U
обратное включение
Размерность коэффициентов следует из самой записи уравнений.
8.3. Определение матричных
коэффициентов четырехполюсников
Матричные коэффициенты могут быть определены:
1. Составлением уравнений по законам Кирхгофа или другими мето-
дами (контурных токов, узловых потенциалов). Полученные уравнения
приводятся в соответствие заданному типу уравнений. Сравнивая коэф-
фициенты при одноименных параметрах, определяют искомые матрич-
ные коэффициенты, выраженные через известные сопротивления схемы
четырехполюсника.
2. Из уравнений четырехполюсника данного типа для режимов холо-
стого хода (х.х.) и короткого замыкания (к.з.) (прямых и обратных),
в том числе экспериментально.
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
103
Пример
Z
1
= j20 Ом,
Z
0
= –j10 Ом,
Z
2
= 10 Ом.
Определить элементы матрицы (Н
).
Для вычисления коэффициентов матрицы (Н
) воспользуемся вторым
методом:
U
1
= H
11
I
1
+ H
12
U
2
,
I
2
= H
21
I
1
+ H
22
U
2
.
1. Режим короткого замыкания, U
2
= 0:
а) из уравнений “Н” б) из схемы
U
1
= H
11
I
1
;
U
1
= I
1
;
01
01
ZZ
ZZ
+
I
2
= H
21
I
1
;
I
2
= I
1
.
01
1
ZZ
Z
+
Сравнив полученные уравнения, имеем
()
;20
10
1020
01
01
11
j
j
jj
ZZ
ZZ
H
−=
−
=
+
= .2
10
20
01
1
21
==
+
=
j
j
ZZ
Z
H
2. Режим обратного холостого хода, I
1
= 0:
U
1
= H
12
U
2
; U
1
= ;
Z
01
0
2
ZZ
U
+
I
2
= H
22
U
2
; I
2
=
(
)
()
,
201
021
2
э
2
ZZZ
ZZZU
Z
U
+
++
=
откуда имеем
H
12
=
01
0
ZZ
Z
+
= H
21
= 2;
H
22
=
()
()
1010
1010
201
021
⋅
+
=
+
++
j
j
ZZZ
ZZZ
= 0,141 е
–j45°
= (0,1 – j0,1) См;
()
()
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
+
++
=
1,01,02
220
201
021
01
1
01
1
01
01
j
j
ZZZ
ZZZ
ZZ
Z
ZZ
Z
ZZ
ZZ
H .
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
104
8.4. Матрица (А)
для Т- и П-образных схем четырехполюсника
Аналогично можно определить коэффициенты матрицы (А) для схем
“Т” и “П” четырехполюсников и получить уравнения, связывающие па-
раметры схемы с коэффициентами четырехполюсников.
Эквивалентная
схема
Связь коэффициентов четырехполюсника
с параметрами схемы
“Т”-образная схема
А
11
= 1 + Z
1
Y
0
;
А
12
= Z
1
+ Z
2
+ Z
1
Z
2
Y
0
;
А
21
= Y
0
;
А
22
= 1 + Z
2
Y
0
Y
0
= A
21
;
21
11
1
1
A
A
Z
−
=
;
12
22
2
1
A
A
Z
−
=
“
П”-образная схема
А
11
= 1 + Y
2
Z
0
;
А
12
= Z
0
;
А
21
= Y
1
+ Y
2
+ Y
1
Y
2
Z
0
;
А
22
= 1 + Y
1
Z
0
Z
0
= A
12
;
;
1
12
22
1
A
A
Y
−
=
12
11
2
1
A
A
Y
−
=
8.5. Опытное определение
коэффициентов четырехполюсников
Коэффициенты (постоянные) четырехполюсника могут быть опре-
делены экспериментально из опытов холостого хода и короткого замы-
кания.
Наиболее часто используются уравнения типа “А”, поэтому опреде-
лим А
11
, А
12
, А
21
, А
22
.
Уравнения
четырехполюсника
Х.Х. (Z
н
= ∞)
I
2
= 0
К.З. (Z
н
= 0)
U
2
= 0
“А”
U
1
= A
11
U
2
+ A
12
I
2
,
I
1
= A
21
U
2
+ A
22
I
2
Z
1х
=
21
11
x1
x1
A
A
I
U
= (1) Z
1к
=
22
12
к1
к1
A
A
I
U
= (2)
ОХХ, I
1
= 0 ОКЗ, U
1
= 0
“Д”
U
2
= А
22
U
1
+ А
12
I
1
,
I
2
= А
21
U
1
+ А
11
I
1
Z
2х
=
21
22
x2
x2
A
A
I
U
= (3)
Z
2к
=
11
12
к2
к2
A
A
I
U
= (4)
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
105
Здесь Z
1к
, Z
1х
– комплексные сопротивления четырехполюсника
в режимах короткого замыкания и холостого хода со стороны первич-
ных зажимов; Z
2к
, Z
2х
– со стороны вторичных зажимов при обратном
включении.
Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4) с использованием соот-
ношения А
11
А
22
– А
12
А
21
= 1, получим
;
к2x2
x1
x2
x1
11
ZZ
Z
U
U
A
−
==
;
к211
к2
к1
12
ZA
I
U
A ==
;
x1
11
x2
x1
21
Z
A
U
I
A
== .
x221
к2
к1
22
ZA
I
I
A ==
Таким образом, для определения четырех коэффициентов достаточ-
но провести три опыта, определить три сопротивления: Z
1х
, Z
2х
, Z
2к
.
Если четырехполюсник симметричен, достаточно провести два опы-
та, определить Z
1х
= Z
2х
и Z
1к
= Z
2к
.
Для контроля правильности расчетов использовать соотношение
А
11
А
22
– А
12
А
21
= 1.
8.6. Характеристические (вторичные) параметры
четырехполюсника (режим согласованной нагрузки)
Если включить такое Z
н
, которое обеспечивает на входе четырехпо-
люсника такое же сопротивление Z
вх
= Z
н
, то это сопротивление назы-
вают характеристическим (повторным, волновым) сопротивлением
симметричного четырехполюсника Z
с
.
Если Z
н
= Z
с
= Z
вх
, такой режим называют согласованным:
c
2
2
1
1
Z
I
U
I
U
== .
В этом режиме уравнения типа “А” примут вид:
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
,
,
c121121
с
12
11
21
ZAAII
Z
A
AUU
↓
(
)
()
⎩
⎨
⎧
+=
+=
,
,
21121121
211211
21
AAAII
AAAUU
→
←
Z
с
=
21
12
A
A
= Z
с
е
jϕ
С
,
2
1
U
U
=
211211
AAA + = е
Г
,
2
1
I
I
=
211211
AAA + = е
Г
,
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
106
Г
= =
2
1
ln
U
U
ln(
211211
AAA + ),
Г
= A + jB,
где Г
– постоянная передачи, характеризует изменение напряжения
и тока при согласованной нагрузке как по значению, так и по фазе.
[A] = [Непер, Нп] – коэффициент затухания; [B] = [рад] – коэффициент
фазы.
Характеристическое сопротивление и постоянную передачи называ-
ют вторичными параметрами четырехполюсника:
21
2
1
;ln
uu
B
U
U
A ψ−ψ==
.
Уравнения симметричного четырехполюсника для согласованного
режима примут вид
⎩
⎨
⎧
=
=
.
,
21
21
Г
Г
eII
eUU
Если Z
н
≠ Z
с
, то уравнения симметричного четырехполюсника могут
быть выражены через вторичные параметры Z
с
и Г; тогда получим урав-
нение четырехполюсника с гиперболическими функциями:
U
1
= U
2
chГ + I
2
Z
c
shГ,
I
1
=
c
2
Z
U
shГ
+ I
2
chГ,
где
А
11
=А
22
= chГ;
А
12
= Z
c
shГ;
А
12
= shГ/Z
c
.
Входное сопротивление симметричного пассивного четырехполюсника
ΓZZ
ΓZZ
Z
I
U
Z
th
th
нc
cн
c
2
1
вх
+
+
== ;
при коротком замыкании (Z
н
= 0)
ΓZZ th
cк
=
при холостом ходе (Z
н
= ∞)
ΓZZ cth
cх
=
,
из последних выражений определим вторичные параметры:
.th;
х
к
хкc
Z
Z
ΓZZZ =⋅=
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
107
Пример
Для симметричного четырехполюсника
с заданными параметрами L=1 мГн;
C=0,417 мкФ;
ω
4
103
⋅
=
р/с выполнить:
1. Составить уравнения четырехполюс-
ника типа “А”.
2. Проверить правильность вычисления
коэффициентов этих уравнений.
3. Вычислить постоянную (меру) передачи Г
, коэффициенты затуха-
ния А и фазы В.
4. Вычислить характеристическое сопротивление Z
c
.
5. При U
2
=100 B для режима согласованной нагрузки, когда Z
H
=Z
c
,
рассчитать U
1
и I
1
, используя уравнения четырехполюсника типа “А”.
6. Для режима согласованной нагрузки вычислить кпд четырехпо-
люсника по формуле
A
e
2−
=η и по результатам вычислений напряжений
и токов.
Решение
1. Определим комплексные сопротивления “П”-образной схемы че-
тырехполюсника и рассчитаем коэффициенты уравнений типа “А”:
30101103
34
0
jjLjZ =⋅⋅⋅=ω=
−
Ом;
80
10417,0103
11
64
21
jj
C
jZZ −=
⋅⋅⋅
−=
ω
−==
−
Ом;
1
21
1
Z
YY == ;
625,0375,01
80
30
11
022211
=−=
−
+=⋅+==
j
j
ZYAA
; 30
012
jZA == Ом;
0203,0
)80()80(
30
80
1
80
1
0212121
j
jj
j
jj
ZYYYYA =
−⋅−
+
−
+
−
=⋅⋅++=
См;
проверка –
1609,0391,00203,030)625,0(
2
21122211
=+=⋅−=⋅−⋅ jjAAAA
,
т. е. коэффициенты рассчитаны верно.
2. Вычислим постоянную передачи Г
и запишем коэффициенты за-
тухания А и фазы В:
=+=⋅+=⋅+= )78,0625,0ln()0203,030625,0ln()ln(
211211
jjjAAAГ
oo
o
3,5103,511ln)1ln(
3,51
jje
j
+=+== ;
тогда А = 0 и В =
o
3,51 .
3. Найдем характеристическое сопротивление Z
c
:
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
108
44,38
0203,0
30
21
12
c
===
j
j
A
A
Z Ом.
4. Вычислим U
1
и I
1
для режима согласованной нагрузки, когда
Z
H
=Z
c
=38,44 Ом и U
2
=100 B:
6,2
44,38
100
H
2
2
===
Z
U
I А;
o
3,51
212
2
11
1
100785,626,230100625,0
j
ejjIAUAU =+=⋅+⋅=⋅+⋅=
В;
o
3,51
222
2
211
6,203,2625,16,2625,01000203,0
j
ejjIAUAI =+=⋅+⋅=⋅+⋅=
А;
проверка –
01ln
6,2
6,2
ln
100
100
lnlnlnA
2
1
2
1
======
I
I
U
U
,
ooo
3,5103,51B
2121
=−=ψ−ψ=ψ−ψ=
IIUU
,
т. е. расчеты проведены верно.
5. Вычислим КПД реактивного четырехполюсника в режиме согла-
сованной нагрузки:
а) по формуле 1
022
===η
⋅
−
−
ee
A
;
б) по результатам вычислений напряжений и токов
1
260
260
)3,513,51cos(6,2100
)00cos(6,2100
)cos(
)cos(
1111
2222
1
2
==
−⋅⋅
−⋅⋅
=
ψ−ψ⋅⋅
ψ−ψ⋅⋅
==η
oo
oo
IU
IU
IU
IU
P
P
,
т. е. расчеты проведены верно.
8.7. Электрические фильтры. Классификация
Электрическим фильтром называют четырехполюсники, которые
пропускают без искажения к приемнику из всего спектра частот источ-
ника один или несколько диапазонов частот.
Диапазон частот, пропускаемых фильтром, называется полосой про-
пускания или прозрачности. Остальная область частот, подавляемая
фильтром, называется его полосой задерживания или затухания.
Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возник-
новением в них резонансных режимов – напряжений и токов.
Теория фильтров основана на теории четырехполюсников.
Классификация фильтров
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
109
По пропускаемому
спектру частот
По способу
соединения
По характеру
элементов
1. Фильтры нижних частот (ФНЧ)
с полосой прозрачности 0 < ω < ω
2
.
2. Фильтры верхних частот (ФВЧ)
ω
1
< ω < ∞.
3. Полосовые фильтры (ПФ)
с полосой прозрачности ω
1
< ω < ω
2
.
4. Заграждающие фильтры (ЗФ)
0 < ω < ω
1
и ω
2
< ω < ∞
1. Т- и П-образные.
2. Г-образные.
3. Мостовые и др.
1. Реактивные – из
индуктивных и емко-
стных элементов.
2. Безиндуктивные –
из элементов R и С.
3. Активные – на
операционных усили-
телях и др.
Ограничимся рассмотрением фильтров нижних и верхних частот ти-
па “к”, состоящих из реактивных элементов, в виде симметричных
Т- и П-образных схем, работающих в согласованном режиме, для кото-
рых произведение продольного сопротивления на поперечное не зави-
сит от частоты; к – номинальное характеристическое сопротивление
фильтра.
8.8. Фильтры нижних частот
Фильтры нижних частот (ФНЧ) пропускают без искажения сигналы
в диапазоне частот 0 ≤ ω ≤ ω
с
, ω
с
– частота среза.
Т-схема П-схема
Z
= jωL; Y = jωC; к =
Y
Z
=
CL = ρ – не зависит от частоты;
Z
cт
=
2
0
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
ω
−к ; Z
cп
=
2
0
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
ω
−к ; ω
0
=
LC
1
;
A
11
= ch(A + jB) = chA cosB + jshA sinB.
Для
“Т” и “П” схем A
11
= 1 + Z Y = 1 – ω
2
LC = A
11
– вещественное, тогда
BAAA cosch
11
11
⋅
=
=
;
0sinsh
=
⋅
B
A
.
1. Зона прозрачности 2. Зона затухания
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
110
А = 0
A
11
= cosB; –1 ≤ A
11
≤ 1;
B = arccosA
11
; B > 0.
Пределы полосы прозрачности
1 – (ω
1
)
2
LC = 1; ω
1
= 0;
1 – ω
2
LC = –1; ω
2
= ω
с
=
LC
1
А > 0
sinB = 0; B = π;
chA = –A
11
;
A = Arch(–A
11
)
Графики зависимостей А(ω), В(ω), Z
cт
(ω), Z
cп
(ω)
ω/ω
0
A B
Z
cт
Z
cп
0 0 0
к к
1 0
π
0
∞
>> 1
∞ π jωL 1/jωC
I – зона прозрачности;
II – зона затухания.
8.9. Фильтры верхних частот
Фильтры верхних частот (ФВЧ) пропускают без искажения сигналы
в диапазоне частот ω
1
≤ ω ≤ ∞.
Т-схема П-схема
Z
=
Cjω
1
; Y =
Ljω
1
; к =
Y
Z
=
CL
= ρ;
Z
cт
=
2
0
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
ω
−к ; Z
cп
=
2
0
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
ω
−к .
1. Зона прозрачности 2. Зона затухания