Сметанина Р.Н. и другие. Теоретические основы электротехники

Подождите немного. Документ загружается.

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-

ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-

сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.

Ток в неразветвленной части

схемы по величине может быть

меньше, чем токи в ветвях схемы.

При

= 0 и R

≈ 0 ток I может ока-

заться ничтожно малым по сравне-

нию с токами

и I

. В идеализиро-

ванном режиме, когда

= R

= 0,

входной ток

I равен нулю и вход-

ное сопротивление схемы равно

бесконечности:

∞=

−

)(

, т. к. X

= X

Резонансная частота

= ω

−ρ

Возможны 3 случая:

возможен.

резонанс

0или0

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

ρ<

= R

, ω

= ω

= R

= ρ, резонанс при любой

частоте.

Резонанса можно добиться путем изменения ω, L, C или путем изме-

нения

и R

Сводная таблица основных величин,

характеризующих резонанс напряжений и токов

Тип

резонанса

Условие Входной ток

напряжений

) = 0;

= R; X = 0

максимальный

CL /

токов

) = 0;

= G; B = 0

минимальный

CL /

−ρ

, I

– напряжение и ток на одном из реактивных элементов.

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-

ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-

сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.

Резонансные цепи очень широко применяются в электротехнике

и представляют неотъемлемую часть всякого радиотехнического уст-

ройства.

Способность резонансного контура пропускать или задерживать

электрические колебания только определенной частоты (резонансной

или близкой к ней) используется в электрических фильтрах.

Использование резонанса токов позволяет при малой мощности ис-

точника получить большие токи в параллельных ветвях.

Резонанс напряжений – при малом напряжении источника получить

большие напряжения на реактивных элементах. И напротив, в цепях

сильного тока это явление недопустимо, называется

перенапряжением и

является аварийным.

Резонанс токов в цепях сильного тока используется на предприятиях

для повышения cos ϕ электроустановок (см. пример 4).

Пример 1

Определить индуктивность, при которой

в цепи с параметрами

R=500 Ом; С=2 мкФ на

частоте ω=10

рад/с наступит резонанс.

Определить добротность контура.

Решение

Преобразуем цепь, заменив параллельно соединенные двухполюс-

ники эквивалентными последовательными элементами.

jXR

−

)(

500500

−

)(

(

)

250250 j− Ом,

где

= 500

210

101

⋅

Ом

Следовательно,

=250 Ом; X

CЭ

=250 Ом. Условие резонанса для по-

следовательного контура

= X

CЭ

, отсюда 25,0

250

Гн.

Добротность контура

250

===

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-

ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-

сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.

Пример 2

В режиме резонанса в контуре с добротно-

стью

q=3 напряжение на емкости U

= 30 B.

Определить входное напряжение и на-

пряжение на катушке с параметрами

R, X

Решение

Построим векторную диаграмму.

Так как добротность контура

q = 3, сле-

довательно,

; B10

. Из диа-

граммы следует, что напряжение на катушке

равно геометрической сумме напряжений

, тогда

B6,311030

2222

=+=+=

UUU .

Ответ:

U = 10 B, U

=31,6 В.

Пример 3

Известно, что в цепи резонанс и

R = X

= 10 Ом. Показание вольтметра

электромагнитной системы

= 50 B.

Рассчитать входной ток, входное на-

пряжение, напряжение на емкости, ак-

тивную мощность и сопротивление

Решение

Построим векторную диаграмму,

начав с вектора

, построив его

по вещественной оси. Затем построим

токи

и I

относительно U

соответст-

венно характеру сопротивлений вет-

вей, равные по модулю, т. к.

= R .

Ток входной

I равен геометрической сумме этих токов: I = I

+ I

Так как в цепи резонанс, то входное напряжение совпадает по фазе с

током, поэтому вектор

U строим из точки a по направлению тока I. За-

тем из точки

b проводим вектор U

, отстающий от тока I на

до точки

с.

Полученные треугольники токов и напряжений дают соотношения меж-

ду искомыми величинами:

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-

ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-

сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.

A5===

; A252 ==

II ;

225

===

; Ом5

225

===

;

Вт25022525 =⋅==UIP .

Пример 4

У электродвигателя при напря-

жении сети

U = 220 B, ω = 314 p/сек

и cosϕ=0,4 мощность

P = 1,76 кВт.

Рассчитать ток двигателя.

Вычислить емкость конденса-

тора, при включении которой cosϕ

повысится до 1.

Определить ток сети при

включении такой емкости.

Решение

У двигателя основной элемент – обмотка, т. е. катушка с параметра-

ми

R, L, cosϕ=0,4. Для повышения cosϕ двигателя до 1 следует парал-

лельно включить емкость, которая обеспечит резонанс токов в контуре

R, L, С.

Ответ:

= 20 А; С = 265 мкФ;

сети

= 8 А.

Векторная диаграмма

– ток двигателя;

ад

– активный ток двигателя;

рд

– реактивный ток двигателя;

= I

рд

= =

⋅

ϕ 4,0220

760,1

cos

20 А.

Ток сети I

сети

= I

ад

cosϕ = 8 А.

А33,18820

222

ад

дрд

=−=−= III .

По условию резонанса токов

= I

рд

=18,33 А, тогда

= 12

3318

220

Ом;

265

31412

⋅

мкФ.

Следовательно, при включении конденсатора потребляемый ток из

сети равен 8 А, а без конденсатора – 20 А.

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-

ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-

сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.

Пример 5

В цепи резонанс, L = 40 мГн;

С = 1 мкФ; U = 240 В.

Определить показание амперметра

электродинамической системы.

Решение

Так как в цепи резонанс токов в идеальном контуре LC, сопротивле-

ние которого равно бесконечности (см. § 4.3), следовательно, входной

ток, а значит и токи в ветвях с резисторами

, I

равны нулю. Тогда ток

амперметра

(или I

), т. к. I

= I

. Для вычисления тока I

нужно

определить напряжение, приложенное к контуру

LC. Оно определяется

по второму закону Кирхгофа:

RIUU

⋅

−

; UU

= , тогда

A2,1

200

240

===

, где ρ – характеристическое сопротивле-

ние контура.

Ом200

101

1040

⋅

==ρ

−

. Показание амперметра

равно 1,2 А.

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-

ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-

сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.

Тема 5

ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ

5.1. Понятие о согласном и встречном включении

Если, при наличии в цепи катушек, магнитный поток одной из них

пронизывает витки другой и наоборот, говорят о взаимоиндуктивной

связи двух катушек.

Степень связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи

св

где М – взаимная индуктивность катушек L

, L

М = ψ

= ψ

Потокосцепление каждой катушки состоит из двух составляющих:

потокосцепления самоиндукции (ψ

, ψ

), вызванного своим током,

и потокосцепления взаимоиндукции, вызванного током другой катушки

(ψ

, ψ

). Если потоки самоиндукции и взаимоиндукции направлены

в одну сторону (суммируются), говорят о согласном включении кату-

шек, если противоположно (вычитаются), – то о встречном включении.

Тогда, согласно закону электромагнитной индукции, напряжения на

зажимах катушек будут состоять из двух составляющих: самоиндукции

и взаимоиндукции U

Потокосцепление Напряжение на катушках

катушек мгновенное значение комплексное значение

= ψ

± ψ

± Mi

;

= ψ

± ψ

± Mi

= L

± M

;

= L

± M

= jωL

± jωMI

± U

;

= jωL

± jωMI

± U

= jωМI

= jх

= Z

;

= jωМI

= Z

где U

, U

– напряжения взаимоиндукции;

= jX

– сопротивление взаимоиндукции.

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-

ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-

сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.

Для определения знака, с которым входит в уравнение ЭДС взаимо-

индукции, необходимо разметить зажимы ветвей, содержащих индук-

тивные связи. Для этого вводится понятие одноименных зажимов.

Одноименными считают такие зажимы, при втекании через которые

выбранных положительных токов магнитные потоки самоиндукции

и взаимоиндукции складываются. На схеме одноименные зажимы обозна-

чаются (•) или (

), а наличие взаимоиндуктивной связи помечают стрел-

кой, и тогда вводится понятие согласного и встречного включения.

Согласное включение Встречное включение

или

Токи одинаково ориентированы

относительно одноименных

зажимов

(+U

M1,2

)

или

Токи по-разному ориентированы

относительно одноименных зажимов

(–U

M1,2

)

5.2. Расчет цепей со взаимной индуктивностью.

Последовательное и параллельное соединения

Цепь со взаимной индуктивностью рассчитывается на основании за-

конов Кирхгофа с учетом включения катушек.

1. Последовательное соединение катушек

= R

I + jωL

I ± jωMI +

+ R

I + jωL

I ± jωMI;

= I[R

+ R

+ jω(L

+ L

± 2M)] = IZ

;

посл

Z = R

+ R

+ jω(L

+ L

± 2M);

= L

+ L

± 2M ;

согласное включение

= jωMI;

= jωLI

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-

ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-

сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.

(+) – согласное включение,

(–) – встречное включение,

(•) – согласное включение,

(

) – встречное включение

встречное включение

2. Параллельное соединение катушек

Уравнения Кирхгофа

с учетом включения катушек:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

±=

;

1M22

2M11

IZIZU

III

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ω=

ω+=

;

111

LjRZ

Решая систему, находим I

, I

, I:

парал

Z =

M21

2ZZZ

ZZZ

±+

−

;

(–) – согласное включение;

(+) – встречное включение.

Если Z

= 0, то получим известную

формулу

пар

Z =

Векторные диаграммы

= jωMI

;

= jωMI

;

согласное включение

= –jωMI

;

= –jωMI

;

встречное включение

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-

ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-

сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.

При построении векторных диаграмм следует учитывать, что вектор

взаимоиндукции при согласном включении опережает вызвавший его

ток на π/2, а при встречном отстает от него на π/2.

5.3. Разветвленная цепь с взаимной индуктивностью

Уравнения для мгновенных значений Комплексные уравнения

встречное включение катушек

1. –i

+ i

– i

=0.

∫

dti

+ R

+ L

–

– M

+ R

= e

3. –R

– L

+ M

–

– L

+ M

–

∫

dti

= –e

1. –I

+ I

– I

=0.

2. –jX

+ R

+ jX

–

– jX

+ R

= E

3. –R

– jX

+ jX

–

–jX

+jX

=–E

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует

помнить, что знак напряжения самоиндукции

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

L зависит от направ-

ления тока и направления обхода контура, а знак напряжения взаимоин-

дукции

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

M – от способа включения: при согласном включении он

входит в уравнение с тем же знаком, что и напряжение самоиндукции, а

при встречном – с противоположным.

Цепь со взаимной индуктивностью может быть рассчитана и мето-

дом контурных токов по алгоритму, рассмотренному в §3.3 (1). Только к

взаимному сопротивлению добавляется сопротивление +Z

, если кон-

турные токи одинаково ориентированы относительно одноименных за-

Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-

ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-

сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.

жимов; –Z

, – если по-разному. Контурные токи следует выбирать так,

чтобы через катушку проходил только один (свой) контурный ток:

mmkmkkkk

EIZZIZ

∑

)(

Для нашей схемы контурные уравнения примут вид

122M11121

)()(

112

EIjXjXRIjXjXRR

СCL

−

−++ ;

3122111M1

)()(

3311

EEIjXjXjXRIjXjXR

CLСС

−=

−

− .

5.4. Развязка индуктивных связей

Анализ и расчет электрических цепей в ряде случаев упрощается,

если часть схемы, содержащую индуктивные связи, заменить эквива-

лентной без индуктивных связей. Этот прием называют эквивалентной

заменой, устранением, или развязкой индуктивных связей.

Расчет схемы без индуктивных связей может быть проведен любым

известным способом.

При развязке индуктивных связей направление токов не имеет зна-

чения. Важно, как они подсоединены к общему узлу – одноименными

или разноименными зажимами.

Правило развязки

При развязке к индуктивностям добавляется mМ, а в общую ветвь –

(±М). Верхние знаки – если катушки соединены одноименными зажи-

мами. Если общая ветвь (общий узел) отсутствует, то ее нужно создать

(пример 2).

Индуктивно связанные катушки Без индуктивных связей

Пример 1.

Разноименными зажимами

Пример 2. Одноименными зажимами

(“а–с” – новая ветвь)