Сметанина Р.Н. и другие. Теоретические основы электротехники
Подождите немного. Документ загружается.
Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Постоянный и синусоидаль-
ный токи в линейных цепях: учебное пособие / Р.Н. Сметанина, Г.В. Но-
сов, Ю.Н. Исаев. – 3-е изд., испр. – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 118 с.
21
6
50
30
10
21
2
1
=⋅=
+++
+
⋅=
cb
c
RRRR
RR
II
А;
4
50
20
10
21
1
2
=⋅=
+++
+
⋅=
cb
b
RRRR
RR
II
А.
4. Определяем показание вольтметра
U
V
= R
2
I
2
– R
1
I
1
=
20610420
=⋅−⋅
В.
5. Определяем показание амперметра
66,0
30
20
4
===
R
U
I
V
A
А.
Ответ:
U
V
=
20 B;
I
A
=
0,66 A.
2.5. Пассивные элементы
R
,
L
,
C
в цепи с гармоническим источником
Ток в проводниках неразрывно связан с магнитным и электрическим
полями. Кроме того, часть электромагнитной энергии в проводниках,
а иногда и в окружающей среде преобразуется в тепло. Для того чтобы
упростить рассмотрение процессов, электрическую цепь заменяют
идеализированной схемой, каждый элемент которой связан только с од-
ним из видов энергии. Элементы, в которых наблюдается только необ-
ратимое преобразование электромагнитной энергии в тепловую, харак-
теризуются активным сопротивлением
R
или активной проводимо-
стью
G
. Элементы, связанные только с магнитным полем и не имеющие
активного сопротивления, характеризуются индуктивностью
L
или вза-
имной индуктивностью
M
.
Элементы, связанные только с электрическим полем, характеризу-
ются емкостью
С
, которая в цепи переменного тока не является местом
разрыва. При изменении напряжения, приложенного к конденсатору,
меняется заряд
q
на его обкладках, что приводит к прохождению тока
через конденсатор:
d
t
du
C
d
t
dq
i
C
==
.
Пока мы ограничимся рассмотрением идеализированной цепи, в ко-
торой элементы
R
,
L
,
C
сосредоточены каждый в отдельном месте и не
влияют друг на друга. Такие цепи называются
цепями с сосредоточен-
ными параметрами
.
22
1. Резистивный элемент
Уравнения
для мгновенных значений
Уравнения для действующих
значений в комплексной форме
i
=
I
m
sin(
ωt
+
ψ
i
)
↔
I
=
I
е
j
ψ
i
;
I
=
2
m
I
;
u
=
u
R
;
iRu
R
=
,
u
=
I
m
R
sin(
ωt
+
ψ
i
) =
=
U
m
sin(
ωt
+
ψ
i
),
mm
RIU =
,
или
RI
U
=
,
где
2
m
U
U = .
комплексная форма
U
=
U
е
j
ψ
i
,
Z
R
=
I
U
=
I
U
е
j
(
ψ
i
-
ψ
i
)
=
I
U
,
Z
R
= R ,
I
=
U
/
R
,
ϕ
= 0 .
Закон
Ома
справедлив
для
мгновенных, максимальных
и
действующих значений
Закон Ома для резистивного
элемента в комплексной форме
Волновые диаграммы Векторные диаграммы
На активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе:
ϕ
= 0 .
Мощность
Мгновенная мощность
p
=
u i
=
U
m
I
m
sin
2
ωt
=
U
I
(1 – cos2
ωt
).
Среднее значение мгновенной мощности за период называют
актив-
ной мощностью
P
=
∫
T
dtp
T
0
1
=
UI
cos
ϕ
;
P
=
UI
cos
ϕ
;
т. к.
ϕ
= 0, то для резистора
P = UI = I
2
R .
23
2. Индуктивный элемент
Уравнения для
мгновенных значений
Уравнения для действующих
значений в комплексной форме
i
=
I
m
sin(
ωt
+
ψ
i
)
↔
I
=
I
е
j
ψ
I
;
I=
2
m
I
;
u
=
u
L
=
L
d
t
di
=
=
LωI
m
sin(
ωt
+
ψ
i
+ 90°)
=
=
U
Lm
sin(
ωt
+
ψ
i
+ 90°),
mLm
ILU ω=
,
или
U
L
=
LωI
= X
L
I
U
=
U
L
,
U
L
=
U
L
e
j
(
ψ
i
+ 90°)
,
Z
L
=
L
L
I
U
=
=
i
i
j
L
j
L
eI
eU
ψ
)90ψ(
o
+
=
=
X
L
e
j
90°
=
jX
L
=
jωL
,
U
L
=
jX
L
I
– закон Ома для максимальных
и действующих значений;
X
L
=
Lω
– индуктивное сопротивление
– закон Ома в комплексной форме;
Z
L
=
jX
L
– комплексное сопротивление
Волновые диаграммы Векторные диаграммы
На индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90° (ток отста-
ет):
ϕ
= +90°
Мощность
Мгновенная мощность
p
=
u
L
i
=
U
L
I
sin2
ωt
.
Среднее значение активной мощности за период равно 0:
P
=
U
L
I
cos90° = 0.
24
Величина запасенной энергии за
Т
/4
W
L
=
∫
4
0
/T
L
dtiu
=
2
2
m
LI
.
Реактивная мощность
Q
L
=
U
L
I
sin90° =
U
L
I
=
X
L
I
2
, [
Q
L
] = [ВАр].
3. Емкостной элемент
Уравнения
для мгновенных значений
Уравнения для действующих
значений в комплексной форме
i
=
I
m
sin(
ωt
+
ψ
i
)
↔
I
=
I
е
j
ψ
i
;
u
=
u
С
=
∫
dti
С
1
=
=
C
I
m
ω
sin(
ωt
+
ψ
i
– 90°) =
=
U
Cm
sin(
ωt
+
ψ
i
–90°)
↔
U
C
=
U
C
e
j
(
ψ
i
– 90°)
;
U
=
U
C
C
I
U
m
Cm
ω
=
,
или
IX
C
I
U
CC
==
ω
– закон Ома для максимальных
и действующих значений;
Z
C
=
I
U
C
=
I
U
C
e
j
– 90°
= –
jX
C
,
U
C
=
–
jX
C
I
– закон Ома в комплексной форме;
C
X
C
ω
1
=
– емкостное сопротивление
Z
C
=
–
jX
C
– комплексное сопротивление
Волновые диаграммы Векторные диаграммы
На емкостном элементе напряжение отстает от тока на 90° (ток опережает):
ϕ =
–90°
25
Мощность
Мгновенная мощность
p
=
u
С
i
=
U
С
I
sin2
ωt
.
Среднее значение активной мощности за период равно 0:
P
=
U
С
I
cos90° = 0.
Величина запасенной энергии за
Т
/4:
W
С
=
∫
4/
0
T
С
dtiu
=
2
2
Cm
CU
.
Реактивная мощность
(
)
2
90sin
IXIUIUQ
CCCC
−=−=−=
o
,
[
Q
С
] = [ВАр].
2.6. Последовательное соединение
R
,
L
,
C
Элементы соединены
последовательно
, когда по ним проходит
один и тот же ток:
e
=
E
m
sin(
ωt
+
ψ
e
).
Уравнение по II закону Кирхгофа для мгновенных
значений
u
R
+
u
L
+
u
C
=
e
,
или
Ri
+
L
d
t
di
+
∫
dti
C
1
=
e
.
Заменим полученное дифференциально-интегральное уравнение ал-
гебраическим комплексным.
Комплексная схема замещения
Е
=
2
m
E
е
j
ψ
е
;
Z
R
=
R
;
Z
L
=
jX
L
; Z
C
= –
jX
C
;
U
R
+
U
L
+
U
C
=
E
;
RI
+
jX
L
I
–
jX
C
I
=
E
;
(
R
+
jX
)
I
=
E
;
X
=
X
L
–
X
C
– реактивное сопротивление;
X
может быть 0;
Z
E
I =
– Закон Ома в комплексной форме;
Z =
R
+
jX
=
z
е
j
ϕ
– комплексное сопротивление цепи;
Z
=
R
+ Z
L
+ Z
C
=
R
+
jX
L
–
jX
C
– при последовательном соедине-
нии комплексные сопротивления суммируются.
26
Векторная диаграмма Треугольник сопротивлений
Z
=
22
X
R
+
,
ϕ
= arctg
R
X
.
Топографическая диаграмма напряжений
построена с учетом харак-
тера элементов (§ 2.5). Вектор
Е
равен геометрической сумме векторов
U
R
,
U
L
,
U
C
.
2.7. Параллельное соединение
R
,
L
,
C
Элементы соединены
параллельно
, когда к ним приложено одно
и то же напряжение.
e
=
E
m
sin(
ωt
+
ψ
e
).
Уравнение по I закону Кирхгофа для мгновен-
ных значений –
i
=
i
R
+
i
L
+
i
C
.
Комплексная схема замещения
Е
=
Е
е
j
ψ
е
;
Z
L
=
jX
L
;
Z
C
= –
jX
C
;
I
=
I
R
+
I
L
+
I
C
=
R
E
+
L
jX
E
+
C
jX
E
−
=
=
E
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
++
CL
jXjXR
111
=
E
(
G
–
jB
L
+
jB
C
) =
E
Y
;
I
=
Y E
– Закон Ома;
Y = G – jB
=
Y
e
-j
ϕ
;
B = B
L
– B
C
;
,
1
;
1
;
1
L
L
C
C
B
X
B
X
G
R
===
где
G
– активная,
B
– реактивная проводимости;
Y
=
G
–
jB
L
+
jB
C
–
при параллельном соединении суммируются комплексные проводимо-
сти.
27
Векторная диаграмма Треугольник проводимостей
Y
=
22
BG +
,
ϕ
= arctg
G
B
Лучевая диаграмма токов
построена с учетом характера элементов
(§ 2.5). Ток
I
равен векторной сумме токов
I
R
,
I
L
,
I
C
.
Комплексная проводимость ветви
Y
=
Z
1
=
jXR +
1
=
))((
jXRjXR
jXR
−+
−
=
2222
X
R
X
j
X
R
R
+
−
+
=
G
–
jB
;
2
Z
R
G =
;
2
Z
X
B =
.
2.8. Баланс мощностей
в цепи с гармоническими источниками
Электрические машины и аппараты конструктивно рассчитываются
для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому
их номинальной мощностью, от которой зависят размеры и стоимость
машины, считают не активную мощность, зависящую от угла сдвига
фаз, а так называемую полную мощность
S
=
UI
=
ZI
2
, [BA] – вольт-
ампер.
Полная мощность
S
– максимальная мощность, которая может быть
отдана генератором при заданных действующих значениях напряжения
и тока. Отношение активной мощности к полной
ϕ=
cos
S
P
показывает
степень использования электрической установки и называется
коэффи-
циентом мощности
. Реактивная мощность
Q
=
UI
sin
ϕ
=
U
x
I
=
XI
2
не
определяет собой ни совершаемой работы, ни передаваемой энергии за
единицу времени, т. к. реактивные элементы цепи (
L
и
C
) энергии не по-
глощают и средняя мощность их равна нулю.
Полная, активная и реактивная мощности связаны треугольником
мощностей:
28
22
QPS +=
;
R
Q
arctg
=ϕ
При расчете электрических цепей необходимо убедиться в правиль-
ности полученных значений токов, для этого необходимо рассчитать
полную мощность источников и мощности потребителей и составить
баланс мощностей.
Комплексная мощность источника
∗
= IES
и
;
Е
=
Е
е
j
ψ
1
;
I
=
I
е
j
ψ
2
=
I
‘
+ jI
“
;
∗
I
=
I
е
–
j
ψ
2
=
I
‘
– jI
“
– сопряженный комплекс тока.
Комплексная мощность
S
и
=
Е
∗
I
=
EI
е
j
(
ψ
1
–
ψ
2
)
=
EI
е
j
ϕ
=
EI
cos
ϕ
+
jEI
sin
ϕ
=
P
и
+
jQ
и
.
Если в схеме несколько источников напряжения и тока, то их ком-
плексная мощность
S
и
=
∑
±Е
k
∗
I
+
∑
±U
Jk
∗
J
=
P
и
+
jQ
и
;
P
и
=
∑
P
и
k
;
Q
и
=
∑
Q
и
k
;
“+” – если на схеме стрелки тока и полярности источников совпада-
ют;
“–” – если противоположны.
Активная
P
п
и реактивная
Q
п
мощности потребителей
P
п
=
∑
RI
k
,
2
;
Q
п
=
±X
k
I
k
,
2
;
“+” – индуктивное сопротивление;
“–” – емкостное сопротивление;
I
k
– действующие значения токов.
На основании закона сохранения энергии
P
и
=
P
п
;
Q
и
=
Q
п
.
В этом заключается
баланс мощностей
. Он составляется для кон-
троля правильности расчета.
29
2.9. Понятие об активных и реактивных,
действительных и мнимых составляющих токов и напряжений
Активные и реактивные, действительные и мнимые составляющие
токов и напряжений используются при построении векторных диаграмм
и анализе электрических цепей при гармонических источниках.
Каждый вектор может быть
представлен на комплексной
плоскости в виде действительной
и мнимой составляющих.
Векторы напряжения и тока могут быть
представлены в виде активных и реак-
тивных составляющих.
u
j
eUjUUU
ψ
⋅=+=
"'
;
i
j
eIjIII
ψ
⋅=+=
"'
.
pa
UUU +=
;
pa
III +=
;
причем
iu
ψ−ψ=ϕ
.
Действительные составляющие
напряжения и тока:
u
UU ψ⋅=
cos
'
;
i
II ψ⋅= cos
'
.
Активные составляющие напряжения
и тока:
i
j
a
a
eUU
ψ
⋅= ;
ϕ⋅=
cos
UU
a
;
u
j
a
a
eII
ψ
⋅=
; ϕ⋅= cosII
a
.
Мнимые составляющие
напряжения и тока:
u
UU ψ⋅= sin
"
;
i
II ψ⋅= sin
"
.
Реактивные составляющие напряжения
и тока:
)90(
o
±ψ
⋅=
i
j
p
p
eUU
;
ϕ⋅= sinUU
p
;
)90(
o
±ψ
⋅=
u
j
p
p
eII
;
ϕ⋅=
sin
II
p
.
Действующие значения
напряжения и тока:
() ()
2
"
2
'
UUU +=
;
() ()
2
"
2
'
III +=
.
Действующие значения
напряжения и тока:
()
()
22
pa
UUU
+=
;
()
()
22
pa
III
+=
.
Начальные фазы напряжения и тока:
'
"
arctg
U
U
u
=ψ
;
'
"
arctg
I
I
i
=ψ
.
Разность фаз напряжения и тока:
a
p
a
p
I
I
U
U
arctgarctg
==ϕ
.
30
Пример
Дано:
)90sin(141)(
o
+ω= tte
, В;
R=
20 Ом;
L=
0,2 Гн;
C=
500 мкФ;
=ω
100 1/с
.
Определить:
а) показания приборов;
б) записать мгновенное значение входного
тока
i
(
t
)
.
Решение
1.
Вычислим сопротивления катушки индуктивности и конденсатора
гармоническому (синусоидальному) току:
202,0100
=⋅=ω= LX
L
Ом;
20
10500100
11
6
=
⋅⋅
=
ω
=
−
C
X
C
Ом.
2. Изобразим расчетную комплексную схему без измерительных
приборов, в которой представим ЭДС:
100100
2
141
2
9090
jeee
E
E
jj
j
m
e
====
ψ
oo
В.
3. Рассчитаем комплекс входного сопротивления:
=
+
⋅
+−=
+
⋅
+−=
2020
2020
20
j
j
j
jXR
jXR
jXZ
L
L
C
Э
Ом.1,141010101020
1,1420
2,28
400
20
45
45
45
90
o
o
o
o
j
j
j
j
ejjj
ej
e
e
j
−
=−=++−=
=+−=+−=
4. Рассчитаем по закону Ома комплекс входного тока:
o
o
o
135
45
90
09,7
1,14
100
j
j
j
э
e
e
e
Z
E
I ===
−
А.