Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Поскольку в соответствии со свойством ортогональности сферических,

функций

||Р

(8тЯ)йсо = 0

окончательно получаем

Зная значение нормального распределения силы тяжести [формула (У.17)],

можно определить, насколько отличается от него действительное значение,

полученное из наблюдений. Отклонения действительной силы тяжести от нор-

мального значения называются аномалиями силы тяжести, играющими важную-

роль в теории фигуры Земли, разведке полезных ископаемых, геофизике.

В частности, через аномалии силы тяжести выражают все элементы, характе-

ризующие фигуру Земли и определяющие положение точек физической поверх-

ности Земли относительно принятой фигуры относимости (уровенного эллип-

соида).

§ 24. СВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ

Между формой уровенного эллипсоида вращения (характеризуемой сжа-

тием а), угловой скоростью его вращения со и значениями силы тяжести на

полюсе у

и экваторе у

существует строгая математическая зависимость, уста-

новленная итальянским ученым Пицетти. Формула Пицетти имеет вид

а —

= ю

аЬ

Зе'

2е'

—3(1 + е'

)агс1е^ '

(З+е'

) атс1§е'—Зе'

где ё — ]/а

—Ь

/Ъ — второй эксцентриситет эллипсоида.

Представив агс1# ё рядом

е'

е''

агс*

*' =

—з" + Т—Т

и удерживая при последующих преобразованиях малые второго порядка»

найдем

а —

а&

+ е'

Используя известные соотношения

Ь = а( 1—ОБ); 7

= 7

(1+Р); Е'

= 2а,

будем иметь

Обозначив, по-прежнему, отношение центробежной силы на экваторе

к силе тяжести на экваторе через

9 = (У .22)

Уе

120'

•окончательно получим

I О о Ч

ос

+ р =

д ц-ад.

(У.23)

•Это есть вторая формула Клеро с точностью до величин второго порядка.

Формула (У.23) вместе с формулами (У.17) и (У.18) составляют теорему

Клеро с точностью до величин второго порядка малости. Впервые соотношения

подобного типа были получены французским ученым Клеро, исходя из некото-

рых предположений о внутреннем строении Земли, и лишь с точностью до

малых первого порядка.

Для определения параметра д необходимо знать три величины: а, а и у

Угловая скорость вращения м определяется из астрономических наблюдений

по формуле

где Т — сидерический период обращения планеты вокруг своей оси, выражен-

ный в секундах среднего времени. Для Земли угловая скорость вращения изве-

стна с очень высокой степенью точности:

Большая полуось а эллипсоида определяется, как правило, из совместной

обработки спутниковых и астрономо-геодезических данных, экваториальная

постоянная у

— из наблюдений силы тяжести. Но, как показывает анализ

формулы (У.22), значения а и у

мало влияют на точность определения д,

поскольку этот параметр является величиной первого порядка малости. По-

этому при вычислении параметра д можно принимать приближенные значения

а и у

(обеспечить в них четыре значащих цифры). Для Земли параметр д можно

считать величиной известной

Формула (У.23) связывает сжатие эллипсоида а с коэффициентом

нормаль-

ной формулы (У.17). Используя эту зависимость, можно, задавшись значением

сжатия а, вычислить соответствующий этому значению коэффициент нормаль-

ной формулы р, и, наоборот, определив коэффициент р, вычислить соответ-

ствующее значение сжатия а. Для геодезии вторая формула Клеро (У.23)

представляет большой интерес, так как позволяет определить сжатие а эллип-

соида

Однако для этого, как уже говорилось выше, коэффициент р должен быть

предварительно определен. Для определения коэффициента р используют

наблюдения силы тяжести, которые производят как на суше, так и на поверх-

ности океанов и морей. Естественно, что сжатие а, полученное по результатам

гравиметрических определений, лучше характеризует фигуру Земли в целом,

чем сжатие, выводимое по результатам градусных измерений, покрывающих

лишь материковую часть Земли, т. е. примерно

/з всей ее поверхности. В даль-

нейшем будет показано, что наиболее быстро и точно сжатие определяется из

анализа вековых возмущений орбит ИСЗ.

(У. 24)

= 7,2921151467.10"

рад/с.

—

0,003468.

а (У.25)

Ш'

Приведем без выводов наиболее важные соотношения между параметрами

уровенного эллипсоида вращения.

Значение нормального потенциала 17

на поверхности уровенного эллип-

соида вращения определяется формулой

Заметим, что в соответствии с теоремой Стокса для определения нормаль-

ного потенциала V по формуле (У.26) необходимо знать четыре параметра:

а, а, М и со.

Поскольку масса М эллипсоида и экваториальная постоянная у

связаны

соотношением

/М = а*у

(1 - а) + -§- со V (1 - А „ _

.) ,

(

у.27)

формулу для 17

можно представить в виде

Для определения разности (С—А) главных моментов инерции эллипсоида

вращения применяется формула

(С

- А) = /Ма

(2а -

)

- ю

+ -Ц-а

,, . (У.29)

§ 25. ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТ

НОРМАЛЬНОЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Рассмотрим вопрос о вычислении значений нормальной силы тяжести

в какой-либо точке уровенной поверхности нормального потенциала, проходя-

щей выше или ниже отсчетной поверхности II = 11

Высоты точек над поверхностью уровенного эллипсоида, отложенные по

нормали к его поверхности, называются геодезическими высотами. Допустим,

что требуется вычислить значение нормальной силы тяжести в точке, геодези-

ческая высота Н которой известна. Считая, что высота Н по сравнению с боль-

шой полуосью эллипсоида является малой величиной порядка квадрата сжа-

тия, можно воспользоваться разложением величины у в ряд Тейлора по аргу-

менту Н, ограничиваясь первыми членами разложения

где п — направление внешней нормали.

Введя обозначения

получим

Т-&-*. <

у = у

-к

Н +

Н*.

(У.32)

Ввиду малости коэффициента К

вторым поправочным членом в больший^

стве случаев можно пренебречь.

122

Величина йу/йп называется вертикальным градиентом нормальной силы

тяжести, она характеризует изменение нормальной силы тяжести по высоте.

Вычислим величину вертикального градиента йу/йп в точке, находящейся

на самом эллипсоиде. Для этого следует применить формулу (ГУ.17) к случаю

нормального поля. Расположим оси координат следующим образом: ось г

совместим с направлением нормальной силы тяжести (с направлением внутрен-

ней нормали к эллипсоиду), ось х направим по касательной к меридиану на

север, а ось у по касательной к параллели на восток. В таком случае р* и р^

следует рассматривать в качестве радиусов кривизны меридиана М и первого

вертикала N эллипсоида. Согласно обозначениям, принятым в высшей гео-

дезии,

=м=

а(1

е2)

р =ЛГ= п—,

(1—

62 81112

В)'

где е — эксцентриситет эллипсоида. После этого формулу (ГУ.17) можно напи-

сать в виде

ду _ _ ду__ _ дЧ7__

дп дх

После подстановки значений М и N получим

ду Уо (2 — е

— е

вш2 В)

г-

„ . „

„ „

= —

. гт У 1 — е

зт

# — 2ю

дп а

— е2)

Если удерживать только члены порядка е

, то

ду

дп

= - -^-(2 +

- »

зт

В) (1 - А

зт

В) — 2ю

= _ -1°. (2 + е

- 2е

зт

В) - 2со

(У.ЗЗ)

Выразим с той же степенью приближения эксцентриситет через сжатие:

= 2а, со

— через величину д = о)

а/у

, а у

в соответствии с (У.17) и (У.23),

удерживая малые первого порядка,

Тогда

7о

= 7

[1+(4?-

)

з1п25

= _ + [1

+а

_2а81П

5]-

Или, после подстановки зт

В = (1—соз 223)/2, в более удобной форме

-т

в+

тО

соз 2В

123'

Подставив численные значения величин, входящих в полученное выра-

жение, получим

-Ц- = —0,30855 (1 + 0,00071 соз 2В) мгл/м. (У.34)

Вертикальный градиент слабо зависит от широты, что видно из табл. 3.

Таблица 3

в°

й.

0 0,30877

30° 0,30867 60

0,30845

5 30877

30863

30842

30876

40 30860 70 30840

30874

30856

30838

20 30872

50 30852 80

30836

30870

30849

30835

30867

30845

30835

При малых значениях высот вторым членом формулы (У.34) можно пре-

небречь и считать

-|1 = —0,3086 мгл/м. (У.35)

Отличие этого приближенного значения вертикального градиента от зна-

чения, даваемого формулой (У.34), максимально может составить 0,00025 мгл/м,

что даст ошибку при вычислении 7 на высоте Н = 1 км около 0,25 мгл.

Поэтому в большинстве случаев можно положить

— У

— 0,3086#, (У.36)

где Н должно быть выражено в метрах.

Формулу (У.35) можно получить более простым путем. Пренебрегая ма-

лыми первого порядка, приравняем нормальную силу тяжести силе притяже-

ния шара на его поверхности. Тогда в соответствии с (1.55)

(У.37)

Откуда получим

ДУ ДУО 2/АГ ^ 2У

(У 38)

дп дП № В

После подстановки численных значений в системе С08 получим (У.35).

Вычислим значение коэффициента к

. На основании (У.38)

д2у _ 6/М _ бур

если заменить 7

через у

, получим

К (У.39)

Для высоты, выраженной в километрах, и поправки к

в миллигалах

=0,0723.

124'

§ 26. КРИВИЗНА СИЛОВОЙ ЛИНИИ

НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ

Определим модуль вектора кривизны силовой линии нормального поля

через горизонтальные градиенты нормальной силы тяжести. В соответствии

с 1У.13

Л 1_ / дт дт \

р уо \ дх дх ' ду дг )'

Направим ось ъ по нормали к эллипсоиду внутрь, а оси х и у соответственно

на север и на восток. Тогда

йу=N003 В ЛЬ]

(У

40)

дт _ ду

_ дуо дт _ ду

__ ду

дхдх ~ дх

М дБ ' ду дх ду ~ ДГсов В дЬ '

Дифференцируя (У.17) (членом второго порядка, содержащим р

можно пре-

небречь) по В и по Ь, получим

п затем

зт 2 В,

(У.41)

(У.42)

или, пренебрегая малыми второго порядка,

где Я — средний радиус Земли.

Отсюда следует, что кривизна силовой линии нормального поля изме*

няется только с изменением широты. Сле-

довательно, силовая линия — плоская кри-

вая, лежащая в плоскости меридиана. На

рис. 32 силовая линия изображена дугой

ЛЛ

. Приняв В = 6370 км, р = 0,005302

{по Гельмерту), получим, что радиус кри-

визны силовой линии нормального поля

р = 1 200 000 км. При таком значении

радиуса кривизны отрезок силовой линии

практически не отличается от отрезка

нормали к уровенному эллипсоиду, т. е.

можно считать, что ^ АА

= Н. В сле-

дующем разделе это положение будет до-

казано. Рис. 32

§ 27. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

В теории фигуры Земли уровенный эллипсоид II — 17

рассматривается

в качестве отсчетной поверхности, относительно которой определяется физи-

ческая поверхность Земли.

Семейства уровенных поверхностей и силовых линий нормального потен-

циала можно использовать в качестве координатных плоскостей и линий,

125'

полностью определяющих положение любой точки земной поверхности в про-

странстве.

Уравнение семейства уровенных поверхностей нормального потенциала

имеет вид II = сопзЪ. Поскольку одна из постоянных V

известна (У.28), то

для определения уровенной поверхности, проходящей через точку А, находя-

щуюся на некоторой высоте Н от поверхности эллипсоида, достаточно вычис-

лить разность нормальных потенциалов 17

—17

. Долготой Ь

определяется

меридиональное сечение поверхности V = 17

, а положение самой точки А

на этой кривой определяется углом Вп, который образует касательная к сило-

вой линии в точке А с плоскостью экватора (см. рис. 32). Будем называть

этот угол нормальной широтой. Величины II

—/7

, В

и Ь полностью опреде-

ляют положение точки в пространстве и могут рассматриваться в качестве

координат.

Однако в геодезии превышение точек над отсчетной поверхностью принято

определять не через разность нормальных потенциалов 11

—Г/

, а с помощью

геодезических высот. Покажем, что эти величины непосредственно связаны

друг с другом и что, зная разность I]

-~Т]

, можно определить геодезическую

высоту и, наоборот (при условии, что широта В

известна). Однако, строго

говоря, через разность потенциалов Х]

—определяется не геодезическая

высота Н, а отрезок силовой линии нормального поля Н

= АА

(см. рис. 32).

На основании (1.41) имеем

—На

АА

= Н

= ° (У.43)

Ут

где у

— значение нормальной силы тяжести в точке, находящейся в середине

•отрезка АА

. На основании (У.17) и (У.ЗО) напишем

Ут

(1 + Р зш

- р

зш

+ (У.44)

Таким образом, разность потенциалов Т]

—17

и отрезок Н

взаимно

связаны

Ъа-Ъо = ~ [?.(1 + Р зш

-р

зш" 2В

) +

-Ц-•

= -у

. (У.45)

Докажем, что в полученном соотношении отрезок силовой линии Н

может

быть практически с пренебрегаемой погрешностью заменен геодезической вы-

сотой Н. Из рассмотрения рис. 32 следует, что разность В

—В

нормальных

широт точек А и А

равна углу между касательными к силовой линии в этих

точках. Если считать, что силовая линия на отрезке АА

имеет постоянный

радиус кривизны (СА = СА

= р), то угол между касательными будет равен

углу между радиусами, проведенными из центра кривизны С силовой линии

в точки А и А

Тогда Н

как дуга окружности радиуса р, определится из соотношения

(У.46)

•а отрезок Н из прямоугольного треугольника СБА

(В

-В

>В

— В

Следовательно,

р 3!

Подставив из (У.42) значение р и из (У.46) значение В

—В^, найдем

Даже при Н

= 10 км разность Н

—Н будет меньше 0,01 мм. Поэтому"

в дальнейшем не будем делать различия между геодезической высотой Н и соот-

ветствующим отрезком Н

силовой линии нормального поля. Таким образом,

координатами точки могут быть как величины И а—Чо, В

, Ь, так и величины

Н, В

, Ь.

В высшей геодезии вместо нормальной употребляется геодезическая

широта. Геодезической широтой называется угол, который образует с плос-

костью экватора нормаль к эллипсоиду, проведенная в данной точке А.

Выведем формулу для перехода от нормальной широты к широте геодези-

ческой.

Очевидно, что искомую разность можно представить в виде

-В = (В

-В

)~(В-В

Заменив в (У.46) Н

через Н, получим в секундах дуги

— В

= —^ .„ .

" " рзт1

Подставим значение 1/р из (У.42)

-В

= вш2Д.

" "

Л 81П

Остается определить (В—В

). Из рис. 32 видно, что

х = А

—

СВ =

—

р соз

Д В,

где А В = В

—В

. Далее

Но А В = Н/р, поэтому

-ЩГ-

После подстановки значения 1/р из (У.42) получим

Эта разность пренебрегаемо мала, так как даже при Н = 8 км В—В

= 0,0008" зт 2В. Поэтому окончательно можно принять

-В= _

.. зт 2В. (У.47)

" Д

81П 1"

Если подставить сюда значения постоянных и Н пункта, выраженную

в километрах, получим

— В

—

0,П1"Н зт 2В, (У.48)

127

§ 28. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО ПОЛЯ

Из семи параметров а, а, /М, со, II

, у

, (3, определяющих нормальный

потенциал Земли, независимыми являются только четыре параметра, так как

три остальных связаны между собой соотношениями (У.23), (У.27) и (У.28)

и могут быть вычислены.

За уровенный эллипсоид может быть принят как общий земной эллипсоид,

так и любой референц-эллипсоид. Следует учитывать, что эти эллипсоиды

отличаются друг от друга не только размерами и формой, но и способом ориен-

тирования в теле Земли. Общий земной эллипсоид ориентируется таким обра-

зом, что его центр масс совмещается с центром масс Земли, а малая ось совпадает

с осью вращения Земли. Референц-

эллипсоид ориентируется путем

установления исходных геодезиче-

ских дат и потому его центр масс

не совпадает с центром масс Земли,

а малая ось параллельна оси вра-

щения Земли. Вследствие этого

центробежные потенциалы Земли

и общего земного эллипсоида будут

в точности совпадать, тогда как

центробежный потенциал референц-

эллипсоида, строго говоря, будет

отличаться от центробежного по-

тенциала Земли. Однако по данным

наблюдений установлено, что рас-

стояние между осями вращения Земли и любого из референц-эллипсоидов

невелико и является величиной второго порядка малости по сравнению

с радиусом Земли.

Покажем, что при таких расстояниях между осями разностью центробеж-

ных потенциалов Земли и референц-эллипсоида можно пренебречь.

Пусть О — центр массы референц-эллипсоида, а О' — центр массы Земли.

Построим в точке О' прямоугольную систему координат (х', у', г') так, чтобы

ось г' совпадала с осью вращения Земли, а оси х' и у' лежали бы в плоскости

экватора, и параллельную ей систему координат (х, у, г) с началом координат

в точке О (рис. 33). Положим, что координаты центра масс эллипсоида отно-

сительно центра масс Земли будут х, у, г. Вычислим центробежные потенциалы

Земли и референц-эллипсоида в текущей точке М

Рис. 33

"Поскольку

х' = х-\-х

•128

У'=У + У,

разности центробежных потенциалов можно представить

^Э -

С/э

= "I

{XX

+ уу) + (X

+ У%

Положим, что расстояние между центрами масс О ж О' будет Д« — вели-

чина второго порядка малости. Пренебрегая квадратами этой величины и пола-

гая х = у — А в, можно приближенно представить разность потенциалов на

экваторе

С/

-С/

= а

ДД5,

откуда относительная ошибка

-Ц

_ 2Лз

~ Я '

Если за уровенный эллипсоид принимается референц-эллипсоид, естест-

венно, принять за параметры, определяющие нормальное поле его большую

полуось а и сжатие а. Коэффициент р в этом случае будет определяться через

принятое сжатие а по формуле (У.23).

Третьим независимым параметром является угловая скорость ю, которая

всегда принимается равной угловой скорости вращения Земли.

В качестве четвертого независимого параметра необходимо взять одну из

величин: /М, у

, II

, например экваториальную постоянную у

. В этом случае

величины /М и 17

должны вычислять по формулам (У.27) и (У.28). Если же

за четвертый независимый параметр принимается величина /М, которая может

быть найдена по результатам наблюдений за движением искусственных спут-

ников, то тогда зависящие от нее величины II

и у

определяются формулами

(У.26) и (У.27).

Параметры уровенного эллипсоида практически нетрудно подобрать та-

кими, чтобы потенциал силы тяжести II

на его поверхности был достаточно

близок к потенциалу Земли на уровне моря Ш

(близко настолько, чтобы

отношение (17

—И

)/1Ф

было порядка 2—3 X Ю

-5

). Если бы было точно

известно значение И

, тогда можно было бы изменить на известную величину

либо массу, либо полуось уровенного эллипсоида с целью получить потенциал

на его поверхности, равный

Но как заметил О. М. Остач [4], можно принять II

= IV

и в том случае,

если значение IV

неизвестно, благодаря тому, что аномалии силы тяжести

в очень слабой степени зависят от параметра 17

. В самом деле, переход от

уровенного эллипсоида 17

=/=

к уровенному эллипсоиду 17

== осущест-

вляется путем изменения большой полуоси а на величину А а, нормальные же

формулы силы тяжести для двух эллипсоидов с полуосями а и а -+- Да совпа-

дают с очень высокой степенью, если значение у

у них одно и то же.

Действительно, в этом случае сжатие первого эллипсоида будет отличаться

1т сжатия второго на величину

9 Заказ 1379 129