Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли

Подождите немного. Документ загружается.

Поэтому потенциал силы тяжести для первого случая будет IV' = V' +

+ (о

/2 (х

+ у

) и для второго Ш" = V" + со

/2 (ж

+ V

)»

Рассмотрим разность Т = IV'—IV", равную разности потенциалов сил

тяготения

Т — V' V" (1У.36)

и потому обладающую всеми свойствами, которыми обладает потенциал тяго-

тения.

Следовательно, функция Т вне поверхности а должна быть гармонической

(поскольку в этой области нет притягивающих масс) и регулярной на беско-

нечности.

На уровенной поверхности а потенциалы V/' и IV" должны удовлетворять

условию И

' = С

, IV" = С

(где С

и С

— некоторые постоянные), поскольку

поверхность с является уровенной для обоих потенциалов.

Применим к функции Т формулу Грина (II.7), положив в ней V = V —\Т

т а

где т — внешнее относительное поверхности а пространство.

Учитывая (1У.36), а также что на поверхности а:

Т =

Сх

— С

= С (где С = сопз!), получим

т а

Согласно теореме Гаусса (11.28)

И Лп

Поскольку как при первом, так и при втором распределениях масс общая

масса тела М остается неизменной, то

но интеграл Дирихле может быть равен нулю только в том случае, если каждый

из его элементов обратится в нуль. Отсюда следует, что во всем внешнем про-

странстве

и, как следствие (1У.36),

дТ дТ _дТ _ в

дх ду дг

а также

дУ

дх

дх '

ду

' ду >

дт,

дх '

дЩ

дТУ

дЩ

дУУ

д1У

дх дх '

ду

- ду '

дг

(IV.37)

Интегрируя, находим

! — = С0П81,

110'

но на бесконечности Т обращается в нуль, поэтому сопз1; = 0. Таким образом,

во всем внешнем пространстве, а также на поверхности о, = \У

', кроме

того, выполняются равенства (IV.37), что и доказывает теорему Стокса.

Теорема Стокса может быть распространена и на физическую поверхность

планеты, не являющуюся уровенной, только в этом случае необходимо знать

на ее поверхности приращения потенциала силы тяжести относительно какого-

либо начального пункта.

Теорема Стокса устанавливает принципиальную возможность определе-

ния внешнего потенциала силы тяжести, а вместе с тем и самой силы тяжести

независимо от плотности, однако она не отвечает на вопрос: как может быть

решена эта задача для данной конкретной уровенной поверхности. Нахожде-

ние потенциальной функции IV по данным условиям составляет так называемую

проблему Стокса. Поскольку потенциал (7 центробежной силы выражается

независимо от формы уровенной поверхности и масс простой формулой () =

= <о

/2 (ж

+ г/

), проблема Стокса сводится к нахождению потенциальной

функции притяжения V. Эта функция V должна удовлетворять условиям:

1. Во всем внешнем пространстве удовлетворять уравнению Лапласа.

2. Быть регулярной на бесконечности.

3. Быть всюду непрерывной и конечной, а также иметь непрерывные

и конечные первые производные.

4. Принимать на уровенной поверхности а вид

V =

СОП81

-Щ-(а?-\- у\

так как

М1

должно быть величиной постоянной на поверхности. Все эти условия

однозначно определяют искомую функцию V, а следовательно, и И

Проблема Стокса, являясь непреодолимо трудной для произвольной уро-

венной поверхности сг, решена для тех поверхностей, которые могут представ-

лять интерес при исследовании фигуры планет, а именно: для эллипсоида

вращения и трехосного эллипсоида.

Стоксом решена и обратная задача, состоящая в определении формы внеш-

ней уровенной поверхности а силы тяжести и внешнего потенциала ТУ, при

условии, если известны угловая скорость вращения, значения силы тяжести

п потенциала на поверхности сг. Решение получено Стоксом в предполо-

жении, что искомый внешний потенциал IV настолько близок к некоторому

вспомогательному потенциалу II, что квадратами величин Т = IV — II можно

пренебречь. Этот вспомогательный потенциал II, называемый нормальным,

должен быть предварительно задан. Например, если под нормальным потен-

циалом II понимать потенциал эллипсоида вращения, внешняя поверхность

которого является уровенной (такой эллипсоид называется уровенным эллип-

соидом), то потенциал II может быть найден в результате решения проблемы

Стокса для эллипсоида вращения. Таким образом, в задаче Стокса определению

подлежат лишь малые величины Т = \7—11. Эту задачу Стоке свел к третьей

краевой задаче теории потенциала. Поверхность уровенного эллипсоида II =

= 11

Стоке использовал в качестве отсчетной поверхности (поверхности отно-

спмости), относительно которой определяется положение точек на геоиде.

Строго говоря, для определения потенциала Земли и формы геоида нельзя

использовать задачу Стокса, так как, во-первых, геоид не удовлетворяет усло-

виям теоремы Стокса: он не является внешней уровенной поверхностью, и,

во-вторых, измерения силы тяжести производят на физической поверхности

Земли, а не на геоиде. Однако Стоке и его последователи рассчитывали, что

111'

с этими отступлениями от теории можно успешно справиться, если ввести в

измеренную силу тяжести небольшие поправки — редукции. В соответствии

с этим необходимо было решить сложные проблемы «регуляризации» Земли

и редуцирования силы тяжести. Первая проблема состояла в том, чтобы путем

введения поправок в измеренное значение силы тяжести получить такое грави-

тационное поле Земли, которое соответствовало бы условиям теоремы Стокса.

Иначе говоря, проблема состояла в том, чтобы путем вычислительных операций

убрать все массы материков и островов, возвышающиеся над геоидом, и раз-

местить их ниже поверхности геоида, для чего требовалось вычислить влияние

притяжения этих масс на значение силы тяжести в каждой точке, где она изме-

рялась. Исправленная этими поправками сила тяжести затем подлежала пере-

носу (редуцированию) на геоид регуляризированной Земли. Однако указанные

выше проблемы оказалось невозможно решить принципиально строго без

детального знания закона, по которому изменяется плотность между геоидом

и физической поверхностью Земли.

Задача, непосредственно интересующая геодезию, по определению фигуры

Земли и ее внешнего потенциала принципиально строго была поставлена и ре-

шена М. С. Молоденским (1945 г.). Им же были исследованы условия суще-

ствования полученного решения и вопрос об его единственности. ЗадачаМ. С. Мо-

лоденского может быть сформулирована так: если тело, обладающее общей

массой М, вращается с постоянной угловой скоростью со около неизменной

оси, то его внешний потенциал и форма могут быть однозначно определены,

если известны: М, © и, кроме того, в каждой точке поверхности тела прираще-

ние потенциала силы тяжести относительно единого начала, значение силы

тяжести и приближенные геоцентрические координаты гравиметрических пунк-

тов. Вместо М может быть дан потенциал Ш

в начальной точке, или расстоя-

ние между двумя удаленными точками.

Решение задачи было получено М. С. Молоденским в предположении, что

внешний потенциал IV достаточно близок к известному нормальному потен-

циалу 17 (за нормальный потенциал принимается потенциал уровенного эллип-

соида). Как и в задаче Стокса, определению подлежат небольшие величины

Т — IV—17. Решение имеет вид интегрального уравнения относительно Т.

Поверхность уровенного эллипсоида 17 = 17

в теории М. С. Молоденского

используется в качестве отсчетной, относительно которой определяется поло-

жение точек физической поверхности Земли.

В настоящее время широкое развитие получили новые методы решения

геодезических задач, в основе которых лежит использование наблюдений

искусственных спутников Земли (ИСЗ) и других космических объектов. В част-

ности, используя результаты наблюдений спутников, можно определить пара-

метры, характеризующие внешнее гравитационное поле Земли.

Известно, что движение искусственного спутника в поле тяготения Земли

подчиняется основному закону динамики Ньютона, который в прямоугольной

системе координат имеет вид

д*х __ дУ '

д^2,

~~дх

дц __ дУ ,

д(2

—

ду

д*г _ дУ

д& ~~

дт.

где V — потенциал силы притяжения.

(1У.38)

112'

Рассматривая эти уравнения, заметим, что ускорение спутника равно

градиенту потенциала и что, следовательно, измеряя ускорение, можно опре-

делить потенциал.

Таким образом, этот способ в принципе позволяет производить прямое

измерение потенциала V в точках траектории спутника вместо того, чтобы

выводить его из решения трудной граничной задачи. Однако такая прямая

процедура определения потенциала не является практичной по двум причинам.

Во-первых, ускорение, обусловленное главным образом членом потен-

циала /А/Ур, соответствующим шару с симметричным распределением плот-

ностей и компоненты, интересующие нас, которые соответствуют сжатию

Земли и другим более мелким отклонениям от сферической симметрии, не пре-

вышают одной тысячной главного члена, поэтому их трудно точно опреде-

лить. Во-вторых, имеются ускорения, обусловленные влиянием внешних

факторов, главными из которых являются: гравитационное действие Солнца

и Луны, сопротивление атмосферы и световое давление, которое Солнце оказывает

на спутники. Эти ускорения искажают данные наблюдений и с трудом подда-

ются точному учету.

Оказалось целесообразным при определении потенциала использовать

отклонения от Кеплерова эллипса или так называемые возмущения, наблюдае-

мые в движении спутника вокруг Земли. Некоторые из этих отклонений уве-

личиваются постоянно со временем или изменяются с периодом многих недель „

и вследствие этого поддаются точному измерению при помощи сравнительно

простых наблюдений, которые можно производить в течение длительного вре-

мени. Поэтому компоненты потенциала, вызывающие эти отклонения, могут

быть определены довольно точно. Другие компоненты вызывают отклонения,

изменяющиеся с суточным или меньшим периодами, определение их связано

с большими трудностями и характеризуется сравнительно невысокой точ-

ностью.

Таким образом, отклонение фактических положений и скоростей ИСЗ от

расчетных используется для подбора более подходящей для описания движе-

ния ИСЗ модели гравитационного поля Земли, при этом приходится ограничи-

ваться определением ограниченного числа коэффициентов главных членов

разложения потенциала в ряд по сферическим функциям, оказывающих на

движение используемых ИСЗ, ощутимое влияние. (Более подробно эти вопросы

рассматриваются в гл. XI и XII.)

Коэффициенты членов этого ряда могут быть получены и по результатам

наблюдений силы тяжести на Земле. Однако недостаточная плотность, а в ряде

случаев точность мировой гравиметрической съемки ограничивает в настоящее

время возможности этого способа. Наилучшие результаты получаются при

совместном использовании гравиметрических и спутниковых данных, поскольку

по наблюдениям искусственных спутников наиболее надежно определяются

общие особенности гравитационного поля Земли, распространяющиеся на боль-

шие площади (низкие гармоники разложения по сферическим функциям),

а измерения силы тяжести позволяют лучше представить его детали (высокие

гармоники).

8 Заказ 1379

Глава V

НОРМАЛЬНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

§ 23. НОРМАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ЗЕМЛИ.

НОРМАЛЬНАЯ СИЛА ТЯЖЕСТИ

Потенциал II, достаточно близко представляющий потенциал IV силы

Xпяжести реальной Земли, называется нормальным потенциалом. Он имеет

^вспомогательное значение и используется лишь для того, чтобы вместо вычи-

сления полного значения потенциала IV Земли можно было бы ограничиться

определением малых его отклонений от нормального II.

Нормальное силовое ноле значительно проще действительного гравита-

ционного поля Земли, его уровенные поверхности и силовые линии исполь-

зуются в качестве координатных, при помощи которых определяется положение

точек физической поверхности Земли.

Нормальный потенциал Земли может быть получен различными методами.

Остановимся лишь на двух.

Один метод основан на представлении потенциала силы тяжести рядом

шаровых функций. Так, например, можно приближенное значение потенциала

IV' (1У.35) принять за нормальный потенциал II.

Определим, какую форму в этом случае будет иметь нормальная Земля,

т. е. Земля, потенциал которой II = IV'. Если потенциальную функцию силы

тяжести IV' приравнять постоянной И

'^ то получим уравнение некоторой

поверхности в виде

ПА

-С)

Рг (со8 0) +

со^

п2 0 =

{УЛ)

Определим эту постоянную таким образом, чтобы получить уровенную

поверхность, отклонения которой от поверхности моря были бы небольшими.

Для этого, положив в (У.1) 0 = я/2, р = а, после некоторых преобразований

получим значение постоянной

щ = (У.2)

подставим ее значение в (У.1) и найдем

414'

При последующих преобразованиях будем пренебрегать величинами вто-

рого и последующих порядков малости, так как выражение для потенциала

V получено с учетом малых первого порядка.

Введем в рассмотрение величину д, понимая под этим отношение центро-

бежной силы на экваторе к силе тяжести 6

на экваторе

(В 2а

Эта величина имеет тот же порядок малости, что и сжатие Земли а. По-

этому, с учетом вышесказанного,, можно при вычислении д заменить силу

тяжести 0

на экваторе силой притяжения шара массы М на точку земного,

экватора, т. е. положить

№

Тогда получим

0)2

* №'•

Введем это значение д в (У.З); кроме того, в поправочных членах поло-

жим р = а. Тогда

удерживая малые первого порядка,, найдем

+^г (}

С082 6

'-Т ) + Т ^

отсюда

Мы получили уравнение сфероида Клеро,. который может рассматриваться-

в качестве нормальной Земли. Можно доказать, что с точностью до малых

величин первого порядка сфероид Клеро совпадает с эллипсоидом вращения,,

большая полуось которого а, а сжатие

3 (С-А

)

а = •

2Ма2

2 "

Выразим разность главных моментов инерции Земля (С—А

) через сжа-

тие а

3 (С-А

) д

гу6>

2Ма2 —

2 '

или

(С

— Л

) = /Ма

2а—ю

. (У.7>

Подставив это соотношение в формулу (У.2), после небольших преобразо-

ваний получим

Эта формула определяет значение, которое приближенный потенциал

принимает на поверхности сфероида Клеро с параметрами: а (большая полу-

ось), а (сжатие), М (масса) и ю (угловая скорость вращения).

8* ' 115

Найдем величину силы тяжести О

на поверхности сфероида Клеро. Для

этого нужно взять производную от приближенного потенциала ТУ по направ-

лению внешней нормали п. Однако, учитывая, что угол между направлением

радиус-вектора р и нормалью к поверхности сфероида п невелик [угол (п, р)

можно рассматривать, как разность между геоцентрической и геодезической

широтой, которая не превосходит 11'], можно считать, что

Представим приближенный потенциал в виде

НЛ^С1 (4

С082

_ 4.) + т.

р2 0

и после дифференцирования найдем

0.--Ф-+ ^^ -

Здесь под р в главном члене следует понимать значение радиус-вектора

эллипсоида, определяемое формулой (У.4), а в остальных членах, которые

являются малыми первого порядка, положим р = а. Тогда

«.-^[Ч^П^НН'Гх

Удерживая малые первого порядка, после преобразования получаем

а с учетом (У.6)

= 1+а-4<7 + (4<7~4

С082

]•

(

)

Следует упростить полученную формулу. Для этого вычислим значение

на полюсе О

и на экваторе О

сфероида Клеро. Полагая в (У.9), 9 = 0,

получим

=1§-Ц + д]. (У-Ю)

При 9 = л/2

= |д]и (У.И)

+ ?

Следовательно,

отсюда

*р

Ой

I 3

+ «—2"

= С, (а-1+4?),

бр—6

416'

Введем обозначение

Ор — Се о

Величина р представляет собой относительный избыток силы тяжести на

полюсе по сравнению с экватором. Очевидно, что

3 /5 \

1 + 08 -—

+ с^ с032 9

+ «—I?

отсюда с точностью до малых первого порядка найдем

= С,(1 + Рсо8*6)

или после замены 0 географической широтой ф

= СД 1 + р8ш

). (У.13)

Формулы (У.12) и (У.13) составляют теорему Клеро. Первая из них опре-

деляет сжатие земного сфероида через д и коэффициент р. Вторая дает закон

нормального распределения силы тяжести на поверхности сфероида.

Для определения массы сфероида Клеро воспользуемся формулой (У.11).

Получим

/М=<3>»[1-а+-§-?]. ' (У.14)

Выпишем теперь все формулы, связывающие параметры сфероида Клеро

(У.13)

(У.12)

(У.8)

(У.14)

Из семи параметров, определяющих нормальный потенциал (II = И

(О

, а, /М, а, р, со), достаточно знать только четыре, ибо, используя напи-

санные выше формулы, можно получить остальные. Так, если за основные пара-

метры, определяющие нормальный потенциал (И — \У), принять С

, а, а и со,

то параметры р, 1Уо и /М вычисляются по формулам (У.12), (У.8) и (У.14).

Однако формулы, полученные выше, уже в конце прошлого века перестали

удовлетворять геодезию из-за недостаточно хорошего приближения к усло-

виям реальной Земли.

Для решения задачи Молоденского определение нормального потенциала

Земли основано на решении проблемы Стокса для эллипсоида вращения.

Образуем отношение

_Со

= ЯД1+р8т

а+р =-|-я,

/М = б>»(1-а+ -§-?).

117'

Эта проблема может быть сформулирована следующим образом. Дается:

общая масса М тела, его угловая скорость вращения со и форма внешней уро-

венной поверхности, заданная уравнением

хЪ + у* , 22

а2 ' 62

где а и Ь — соответственно большая и малая полуоси уровенного эллипсоида.

Требуется определить потенциал II заданного уровенного эллипсоида.

Параметры эллипсоида: М, со, а и а должны быть выбраны таким образом,,

чтобы отступления потенциала II эллипсоида от потенциала IV силы тяжести

реальной Земли были бы настолько малыми, чтобы квадратами этих отступле-

ний можно было пренебречь. Плотность б такого эллипсоида может быть не-

известна, однако это не означает, что она может быть вполне произвольной.

Распределение масс внутри данного эллипсоида должно быть таким, чтобы

направление силы тяжести у в каждой точке поверхности эллипсоида совпа-

дало с направлением нормали к этой поверхности.

В результате решения проблемы Стокса находится потенциал II уровен-

ного эллипсоида, который и принимается за нормальный.

Нормальная сила тяжести у определяется через потенциал II в соответ-

ствии с (1У.9):

т---ё-

Значение нормальной силы тяжести у

на поверхности эллипсоида будем

обозначать:

/ аи \

иг).-

где индекс 0 означает, что значение нормальной производной должно быть

взято на поверхности эллипсоида.

В 1929 г. итальянским геодезистом Сомильяна была получена формула

для уо> которая в конечной форме выражает точный закон изменения силы

тяжести на поверхности уровенного эллипсоида

ау

С082 Д+бурЗШЗВ ,у

/а2

С032

5+62

81112

В '

где В — геодезическая широта; у

— нормальная сила тяжести на экваторе

эллипсоида; у

— нормальная сила тяжести на полюсе эллипсоида.

Но в таком виде формула неудобна для вычислений. Следует разложить

правую часть (У.15) в ряд и получить более удобную, но уже приближенную

формулу. Разложение может быть выполнено с любой степенью точности.

Введем величины

Ур-Уе •

а-

Уе

а — Ь

(V. 16)

где р — относительный избыток силы тяжести на полюсе по сравнению с эква-

тором; а — сжатие эллипсоида.

Будем иметь

Тр

= 7е(1 + Р), 6 = а(1-а),

118'

подставив эти выражения в (У.15), получим

_ соз2в+(1+р) (1 — <х)8щ2 В _ с082д+(1 — а+р — сф) вщ2/? _

Уо

—

Уе

с08

2 В+

(1 —

а)2

81112

в ^" Ус082

(1 — 2а

+ «2)

81П2

В ~~

= ТД1 + (Р-а-сф)зт

Я][1 + (—2а + а

)зт

Я]~

Раскрывая вторую скобку по биному Ньютона и сохраняя малые величины

второго порядка (за величины первого порядка малости будем принимать здесь

и далее величины порядка 1/300, равные сжатию Земли а), получим

То

= ТД1 +

(Р

—

— «Р)

е1п2 в

\ [} +

а з1п2 в

—

а2 в1п2

В + а

зт

В]

и далее

То = Т

(1 + Р вт» В - р! зт

2В), (У.17)

где

Рх^ + ^Р- (У.18)

Формулу (У.17) называют первой формулой Клеро с членами второго

порядка.

В настоящее время характеристики гравитационного поля Земли часто

представляются в виде разложения в ряд по сферическим функциям. Поэтому

имеет смысл представить формулу (У.17) нормальной силы тяжести в виде

суммы сферических функций. Для этого выразим в1п

В и зт

2В через соот-

ветствующие многочлены Лежандра

зт

2В = - Р

(зт В) + Р

(зт В) .

Тогда формула (У.17) после некоторых преобразований будет

То

[ 1 + •хР ~Рг+ (т

IР

—1г РО <

з1п

+ 1Г РЛ

(81П

5)] .

Введя обозначения

Ло = Т,(-|-Р ~ё"Р0

Л 32 „

-35-

РЛ

получим

7о = Ло + Ло^

(51п5) + Л

(зтБ). (У.20)

В некоторых случаях требуется знать среднее значение нормальной силы

тяжести для всей поверхности Земли. Его можно получить, если интегриро-

вать формулу (У.20) по всей сфере и результат разделить на поверхность сферы

(принимая радиус сферы В = 1)

(У. 19)

119'