Сербо В.Г., Хриплович И.Б. Конспект лекций по квантовой механике
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
В.Г Сербо и И.Б. Хриплович
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Учебное пособие
Новосибирск
1999
.
Пособие предназначено для студентов 3-го курса физического фа-
культета. Содержание соответствует курсу “Квантовая механика”.
Печатается по решению методической комиссии физического фа-
культета.
Пособие подготовлено при содействии Федеральной целевой про-
граммы “Государственная поддержка интеграции высшего образо-
вания и фундаментальной науки на 1997–2000 годы”, проект N
o
.
Рецензент — профессор Мильштейн Александр Ильич.
c
Новосибирский государственный
университет. 1999
Предисл ови е к серии
3
Оглавление
§1. Предисловие .................................................7
§2. Первыеквантовомеханические понятия .....................7
§3. Соотношениенеопределенностей. Оценки ..................9
§4. Координатное и импульсное представления. Операторы
физическихвеличин .......................................11
§5. Оператор Гамильтона. Уравнение Шр
¨
едингера ............14
§6. Эрмитовыоператоры .......................................17
§7. Линейный осциллятор U
x mω x ......................18
Уровни энергии и волновые функции
Операторы рождения и уничтожения
§8. Временн
´
ое уравнение Шр
¨
едингера .........................22
§9. Одномерноерассеяние ..................................... 24
§10. Коммутаторы. Снова соотношение неопределенностей.
УравнениеЭренфеста. Теоремаовириале ................26
§11. Операторсдвига. ТеоремаБлоха ..........................30
§12. Квазиклассическое приближение . .. .. .. .. . . .. .. . .. .. . . . . . 32
§13. Квазистационарные состояния. α-распад .................37
§14. Моментимпульса ..........................................40
§15. Центральноеполе .........................................44
§16. Атомводорода .............................................47
§17. Стационарнаятеориявозмущений ........................51
Поляризуемость
Силы Ван-дер-Ваальса
§18. Стационарная теория возмущений при наличии
вырождения ................................................54
Двухуровневая система
Эффект Штарка для атома водорода при n
§19. Уравнение Шр
¨
едингера для частицы в электромагнитном
поле ........................................................57
§20. Постановка задачи рассеяния. Амплитуда рассеяния . . . . .58
§21. Борновское приближение. Формула Резерфорда. Атомный
формфактор ................................................60
§22. Фазовая теориярассеяния .................................64
Понятие о неупругом сечении
Оптическая теорема
Упругое рассеяние медленных частиц
4
Дифракционное рассеяние быстрых частиц на черном шаре
Упругое рассеяние быстрых частиц на идеально отражаю-
щем
шаре
Резонансное рассеяние
§23. Гайзенберговскоепредставление .........................70
§24. ОпытШтерна-Герлаха. Спин ..............................72
§25. МатрицыПаули. УравнениеПаули ........................74
§26. Сложениемоментов .......................................76
§27. Правила отбора для матричных элементов скалярных и
векторных операторов .. . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
§28. Усреднениевекторногооператора ........................81
§29. Тождественностьчастиц ..................................83
§30. УравнениеКлейна–Фока–Гордона ........................84
§31. УравнениеДирака .........................................86
Свободное движение дираковской частицы
Рождение электрон-позитронных пар постоянным внешним
эл е кт р и ч ес к и м п ол ем
Гамильтонова форма уравнения Дирака
Сходство и различие уравнений Дирака и Клейна–Фока–Гордона
Ультрарелятивистский предел уравнения Дирака
§32. Релятивистский электрон в кулоновом поле. Тонкая
структура ..................................................96
§33. Атомвмагнитномполе ....................................99
§34. Атомгелия ...............................................101
§35. Вариационный принцип . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
§36. МетодТомаса–Ферми ....................................105
§37. ТаблицаМенделеева .....................................106
§38. Разныетипысвязиватомах ..............................106
Случай LS связи
Случай jj связи
Пример: конфигурация p
§39. Сверхтонкаяструктура(СТС) ............................111
§40. Изотопическийсдвиг .....................................113
§41. Нестационарнаятеориявозмущений .....................114
§42. Фотоэффект ..............................................116
§43. Квантованиеэлектромагнитногополя ...................119
§44. Испусканиеипоглощениесвета .........................124
5
Спонтанное и вынужденное излучение
Угловое распределение и интенсивность спонтанного
дипольного излучении
Правила отбора
Поглощение света
§45. Лэмбовский сдвиг ........................................127
§46. Рассеяниесвета .......................................... 130
§47. Молекулы ................................................ 131
§48. ПРИЛОЖЕНИЕ: о формализме квантовой механики . . . . 132
Основные положения
Вектора состояний и волновые функции
Операторы. Связь представлений
6
§1. Предисловие
Пособие содержит краткий конспект лекций по квантовой механи-
ке для студентов 3-го курса физического факультета НГУ и набор
задач, которые обычно решаются на семинарах. В нем приведе-
ны основные законы квантовой механики и необходимые формулы.
Данное пособие не заменяет собой лекции и семинары, оно лишь
поможет в усвоении предмета.
Принятые сокращения:
КМ — Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, М.: Нау-
ка, 1989.
ГКК — Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по кван-
товой механике, М.: Наука, 1981.
§2. Первые квантовомеханические понятия
Квантовая природа света
Излучение абсолютно черного тела. Рассматривается спектральный
состав электромагнитного излучения, находящегося в равновесии
со стенками полости, поддерживаемыми при постоянной темпера-
туре. Моделируя стенки полости набором осцилляторов (заряжен-
ных частиц, удерживаемых линейными силами вблизи положения
равновесия), Планк (1900 г.) сумел объяснить экспериментально
наблюдаемый спектр излучения, предположив, что осцилляторы по-
глощают и испускают энергию порциями:
E
n
hω n ,
где
h , ·
−
эрг·с.
Фотоэффект γ
A → e A
0
, его основные законы, наличие “крас-
ной границы”. Уравнение Эйнштейна (1905 г.)
hω m
e
v I,
где I — работа выхода, фотоны.
Эффект Комптона γ
e → γ e (рис.1). Покажите, что из предпо-
ложения
E
γ
hω ,
γ
h
7
Рис. 1: Кинематика эффект а Комптона
и из законов сохранения
hω E hω
0
E
0
, h h
00
следует , что наблюдавшееся Комптоном (1924 г.) изменение длины
волны рентгеновского излучения при рассеянии на первоначально
неподвижном электроне равно
λ
0
−λ πλ
e
θ
γ
,λ
π
k
,λ
0
π
k
0
.
Здесь
λ
e
h
m
e
c
, ·
−
— комптоновская длина волны электрона.
Понятие о нелинейном фотоэффекте и нелинейном эффекте Комп-
то на .
Волновые свойства частиц
Опыты Резерфорда по рассеянию α-частиц (1911 г.), планетарная
модель атома: R
∼
−
÷
−
см, a ∼
−
см. Стабильность
и стандартность атомов, противоречия с классической физикой.
Гипотеза де Бройля о волновых свойствах частиц (1923 г.)
ω
E
h
,
h
,
ее экспериментальное подтверждение.
Дифракция электронов, нейтронов, атомов и т.д. Вероятностная
интерпретация квадрата модуля волновой функции |ψ
,t | .
8
Плоская волна
ψ
x, t A
kx−ωt
,
фазовая скорость
u
ω
k
E
p
.
Волновой пакет, близкий к монохроматической волне:
ψ
x, t
Z
k
k
k
x− k
dk A k
kx−ωt
A k
k x−ω t
f x, t , .
f x, t
Z
k
−
k
dq
qx−qvt
k
x − vt k
x − vt k
,
где
v
∂ω
∂k
|
k
∂E
∂p
|
p
— групповая скорость. Расплывание пакета.
§3. Соотношение неопределенностей. Оценки
В монохроматической плоской волне p , x ∞ и E ,
t ∞. Из формулы (2.1) видно, что в пакете при фиксированном t
амплитуда f
x, t заметно отлична от нуля в области размером x
>
∼
/ k,тоесть
p· x
>
∼h.
Разброс частот
ω ∼ ∂ω/∂k k и при фиксированном x из (2.1)
видно, что f
x, t заметно отлична от нуля в интервале времен t
>
∼
/ ω,тоесть
E· t
>
∼h.
Оценим, используя
x · p
>
∼ h, энергию основного состояния
гармонического осциллятора:
E
p
m
mω x
.
Из
x ∼ x и p ∼ p получаем
E ∼
p
m
mω x
>
∼
h
m x
mω x .
9
Минимум функции E x соответствует
x ∼
v
u
u
t
h
mω
,
что дает E
∼ hω (точное значение E hω).
Покажите, что энергия основного состояния атома водорода
E
∼−
me
h
− , .
ВОПРОСЫ
3.1. Покажите, что при лобовом соударении лазерного фотона
(энергия
hω) с ультрарелятивистским электроном (энергия E m
e
c ),
энергия рассеянного назад фотона равна
hω
0
x
x
E, x
hωE
m
e
c
.
Найдите
hω
0
для hω , эВ (инфракрасный лазер на неодимовом
стекле), E
ГэВ (ускоритель SLAC, опыты по нелинейному эф-
фекту Комптона, 1996 г.) и
hω , эВ, E ГэВ (ускоритель
ВЭПП-4М, опыты по расщеплению фотона в поле ядра, 1997 г.).
3.2. Полагая, что для дифракции на кристаллической решетке по-
лезно иметь частицы с λ ∼
−
см, найти энергию фотона, электро-
на и нейтрона с данной длиной волны.
3.3. Оценить энергию электрона, необходимую для изучения стро-
ения атома, атомного ядра, протона.
3.4. Ультрахолодными называются нейтроны, скорость которых
v
<
∼ м/с. Найти их длину волны и температуру.
3.5. Найти |ψ
x, t | ,если
A
k A
−k−k/k
,
для частиц с законом дисперсии ω
ck (электромагнитные волны в
пустоте) и
ω
hk
m
(нерелятивистская свободная частица массы m).
10