Сербо В.Г., Хриплович И.Б. Конспект лекций по квантовой механике

Подождите немного. Документ загружается.

В импульсном представлении, учитывающем в явном виде веще-

ственность векторного потенциала,

∗

−

амплитуды t удовлетворяют осцилляторному уравнению

,ω

c| |,. .

Итак, в каждой моде, то есть для каждого , имеем гармонический

осциллятор, так что

t ∝

− ω

∗

t ∝

. .

Разложение по плоским волнам (43.1) позволяет говорить об элек-

тромагнитном поле как о бесконечном наборе осцилляторов, часто-

ты которых ω

пробегают непрерывный ряд значений. При кванто-

вании этих осцилляторов возникает квантованное электромагнит-

ное поле. Для придания большей наглядности процедуре кванто-

вания, удобно перейти к дискретному набору осцилляторов. Для

этого рассмотрим поле в конечном объеме V

L L L иисполь-

зуем условие периодичности поля на границах объема. При этом

компоненты волнового вектора (и частоты) становятся дискретны-

ми k

πn

,гдеn

— целые (положительные и отрицательные)

числа. В итоге вместо разложения в интеграл Фурье (43.1) возника-

ет разложение в ряд Фурье

∗

−

, .

где новые амплитуды t удовлетворяют тем же соотношениям

. − . , что и раньше. Разложение, подобное (43.4), можно

написать и для полей E

,t и ,t , причем амплитуды этих полей

в силу уравнений

−

∂

∂t

∇×

связаны с амплитудами векторного потенциала

, × . .

Из-за условия div ,t или · ,вектор лежит в плос-

кости, ортогональной волновому вектору

,тоестьимеетлишьдве

121

независимые компоненты. Две степени свободы осциллятора соот-

ветствуют поперечности свободных электромагнитных волн в ваку-

уме. Введем два вектора поляризации ε

, λ , (комплексные

в базисе циркулярных поляризаций), они удовлетворяют условиям

поперечности:

·ε

, ортогональности: ε

∗

·ε

λλ

иполноты:

∗

−

(здесь i, j означает компоненты вектора поляризации; справа стоит

единичный тензор в плоскости, ортогональной вектору

). Разло-

жим вектор

t по векторам поляризации

t C

tε

и выберем нормировочный множитель C в виде

πhc

Тогда легко показать, что энергия каждой моды колебаний с задан-

ной поляризацией λ равна

hω

∗

а импульс моды равен

/k E

/c.

Действительно, при использовании разложения

πhc

t ε

∗

t ε

∗

−

выражение для энергии электромагнитного поля

d r

сводится к сумме осцилляторных энергий

а выражение для полного импульса поля

d r

E ×

πc

122

сводится к сумме соответствующих импульсов для каждой моды ко-

лебаний

Напомним, что для обычного линейного осциллятора гамильто-

ниан

mω x

в переменных

mωx p

√

mhω

∗

mωx − p

√

mhω

имеет вид H

hωa

∗

a. При квантовании осциллятора (см. §7) за-

висящие от времени классические величины a

t и a

∗

t становят-

ся операторами уничтожения

a и рождения a кванта с энергией hω

(при этом сами операторы в обычном шредингеровском представле-

нии не зависят от времени, а временная зависимость определяется

волновыми функциями). Классичесий гамильтониан H становтся

оператором Шредингера

H hω aa aa.

При использовании перестановочных соотношений

a, a опе-

ратор

H приводится к виду

H hω n/, n a a,

где

n — оператор числа квантов, собственные значения которого

суть целые числа n

, , ,...

Аналогично, при квантовании электромагнитного поля величины

∗

t и a

t становятся операторами рождения a

и уничтожения

кванта, соответствующего фотону с энергией hω

,импульсомh

и поляризацией λ , а векторный потенциал (43.7) становится не за-

висящим от времени оператором

πhc



∗

−



. .

Поля E ,t и ,t также становятся операторами

πhc



− a

∗

−



, .

123

πhc



− a

∗

−



а выражения для энергии (43.8) и импульса электромагнитного поля

становятся суммами операторов Шредингера и операторов импуль-

са для о т д ел ь н ы х фо т о н о в :

, H

hω





При использовании перестановочных соотношений

λλ

оператор H

приводится к виду

hω

/, n

где

— оператор числа квантов, собственные значения которого

суть целые числа n

, , ,...

Пусть |n

,ti— состояние поля, содержащее n

фотонов с энер-

гией

hω

,импульсомh и поляризацией λ ка ж д ы й . Та к как

,ti

√

,ti

√

− ,ti

−ω

то из (43.9) или (43.10) видно, что при действии оператора

или

оператора

E на начальное состояние поля может происходить из-

лучение или поглощение одного фотона. Таким образом, матрич-

ные элементы опратора

равны:

при излучении фотона

,t| |n

,ti

√

πhc

∗

−

, .

при поглощении фотона

− ,t| |n

,ti

− ω

124

√

πhc

. .

Обратим внимание на то, что излучение может происходить и то-

гда, когда начальное состояние поля не содержит фотонов, то есть

при n

. Это так называемое спонтанное излучение.

Вторичное квантование применимо и к нерелятивистскому урав-

нению Шредингера. Но там это лишь удобный технический прием,

позволяющий автоматически учесть тождественность частиц. Фер-

мионы квантуются с помощью антикоммутаторов. Но вторичное

квантование принципиально важно в релятивистских задачах, где

частицы реально рождаются и аннигилируют.

Пример

Линейно поляризованный свет проходит через оптически актив-

ную среду, вращающ ую его плоскость поляризации. Оценим мини-

мальное число квантов, необходимое для регистрации малого угла

поворота ϕ плоскости поляризации.

Уго л ϕ совпадает (с точностью до множителя 1/2) с разностью фаз

циркулярных составляющих линейно поляризованной волны, кото-

рая возникает при прохождении волны через среду. Эта разность

должна быть не меньше неопределенности

ϕ. Величиной, канони-

ческисопряженнойуглуϕ, является действие, равное

hN ,гдеN—

число квантов. Поэтому неопределенность

ϕ связана с неопреде-

ленностью числа квантов

N соотношением ϕ · N

∼ .Учиты-

вая, что

N ∼

√

N,получаем

∼

Полученному результату можно придать такую интерпретацию.

Пусть волна распространяется вдоль оси z, а начальная поляриза-

ция направлена вдоль оси x. В этом случае амплитуда электриче-

ского поля E

∝

√

hωN . При повороте плоскости поляризации на

малый угол ϕ появляется y составляющая электрического поля. Ми-

нимальное значение ее амплитуды, соответствующее регистрации

одного фотона, равно E

∝

√

hω. Поэтому оценка для угла поворота

такова: ϕ ∼E

∼ /

√

N. Отсюда следует та же оценка для N.

125

§44. Испускание и поглощение света

Спонтанное и вынужденное излучение

Пу с ть атом из со стоя ни я ψ

переходит в состояние ψ

и излучает фо-

тон с энергией

hω E

− E

,импульсомh и поляризацией ε

.Для

системы атом

электромагнитное поле это есть переход из началь-

ного состояния ψ

i в конечное состояние ψ

i под дей-

ствием возмущения

V −

, .

где оператор ∝ определен в (43.9). Так как в нашем случае

kr ∼

∼



то зависимостью векторного потенциала от

можно пренебречь: ≈

, после чего матричный элемент оператора возмущения V при-

нимает вид

ωt

−

fi fi

ωt

, .

где

определен в (43.11). Пусть далее H — гамильтониан атома,

то гд а

hψ

|H − H|ψ

i −ω

, .

что позволяет представить (42.2) как матричный элемент возмуще-

ния

V −e E , .

где оператор электрического поля E определен в (43.10). До сих

пор мы рассматривали взаимодействие одного электрона. Обобще-

ние на случай более сложного атома очевидно, достаточно заменить

на дипольный момент системы:

→

a a

. .

Это так называемое дипольное приближение.

Используя (44.2), получим вероятность излучения атомом фотона

втелесныйуголd

в единицу времени в виде

| δ hω E

− E

V d k

Vω

πh c

| d

126

или (после подстановки (43.6) и (44.3), (44.5)) в виде

πhc

· ε

∗

| n

(при этом вспомогательная величина — объем V исчез из конечного

результата). В выражении n

первое слагаемое, число квантов

в падающей волне, описывает индуцированное излучение; второе

слагаемое, 1, описывает спонтанное излучение, имеющее место и в

отсутствие падающей волны. Ясно, что работает лишь поляризация,

Рис. 15: Векторы, описыающи е излучение

лежащая в той же плоскости, что и векторы и

(см. рис. 15).

Угловое распределение и интенсивность спонтанного дипольно-

го излучении

После суммирования по поляризациям фотона (для этого удобно ис-

пользовать формулу (43.1)) получим угловое распределение излу-

ченных фотонов

πhc



. .

Если

∝ , , ,то

∝ θ,

где θ — полярный угол вылета фотона. Это распределение соответ-

ствует классическому излучению заряженной частицей, колеблю-

щейся вдоль оси z.

Если

∝ , ± , ,то

∝ θ,

127

что соответствует классическому излучению заряженной частицей,

вращающейся в плоскости xy.

Интенсивность излучения I получается умножением полной ве-

роятности излучения на

hω:

hωw

| . .

Простая полуклассическая оценка такова. Классическая интен-

сивность дипольного излучения составляет

I ∼

∼

ω r

Соответственно, число квантов, испущенных в единицу времени, то

есть вероятность испускания кванта в единицу времени, равно

hω

∼ e

r ∼ α

r .

Поскольку ω|

|/c ∼ α, то для ширины уровня hw

получаем

оценку

∼ α hω .

Оценка для времени жизни такова

∼

α ω

Правила отбора

Правила отбора для электрического дипольного, или E

,перехо-

да определяются матричным элементом hf|

|ii: четность меняется;

J ± , ; запрещен 0-0 переход; для одноэлектронных конфигу-

раций запрещен по четности переход с

l .

Правила отбора по m: E

вызывает переходы с m , E

x,y

или E

–переходыс m ± .

В сл едующ ем п оря дке п о v/c возникают магнитные дипольные

и электрические квадрупольные E переходы. Оператор М1 пе-

рехода равен (ср. (44.4), (44.5))

V −µ −

Его амплитуда в µ/

ea ∼ α раз меньше, чем у Е1. Правила отбора

для М1 переходов: не меняются четность и радиальные квантовые

128

числа; J ± , ; 0-0 переход запрещен. В одноэлектронных кон-

фигурациях переход происходит лишь между компонентами тонкой

структуры (например, p

−p

Поглощение света

Рассмотрим процесс, обратный излучению, — поглощение света.

Пу с ть а том и з со стоя ни я ψ

переходит в состояние ψ

и поглощает

фотон с энергией

hω E

− E

,импульсомh и поляризацией ε

Для системы атом

электромагнитное поле это есть переход из на-

чального состояния ψ

i в конечное состояние ψ

− i под

действием возмущения (44.1). Повторяя далее выкладки, аналогич-

ные случаю излучения, мы получим, что квадрат матричного эле-

мента возмущения |V

| , а с ним и полная вероятность поглощения

света в единицу времени w

f→i

, отличаются от соответствующих ве-

личин для излучения лишь заменой множителя n

на множитель

.Витоге

f→i

i→f

§45. Лэмбовский сдвиг

Нетрудно убедиться в том, что операторы электрического и маг-

нитного полей не коммутируют с операторами чисел заполнения и

энергии поля. Поэтому в вакууме электромагнитного поля, то есть в

состоянии с наименьшей энергией и нулевыми числами заполнения,

поля не равны нулю, а флуктуируют вокруг нуля. Иными словами,

для этого состояния средние значения полей E и

равны нулю, а

средние значения квадратов полей отличны от нуля. Нулевое коле-

бание поля с частотой ω имеет энергию

hω/ , но эта же энергия мо-

жет быть выражена через фурье-амплитуду E

электрического поля

hω |E

V ,

где V — объем, в котором заключено поле.

Электрон в атоме водорода взаимодействует не только с куло-

новым полем ядра, определяемым потенциальной энергией U

−e /r, но и с нулевыми флуктуациями вакуума, что приводит к на-

блюдаемым эффектам. Пусть ρ — малая флуктуация координаты

129

электрона, вызванная вакуумным электрическим полем. Среднее по

вакууму от кулонового потенциала равно

ρ i U hρ i∇U hρ

i∇

∇

hρ i , hρ

i δ

hρ i.

Итак, флуктуационная поправка (с учетом того, что

U r πe δ )

составляет

δU

hρ i U r

eδhρ i.

Из уравнения движения m

ρ eE для фурье-компоненты флукту-

ационного смещения следует:

−

mω

С учетом (45.1) получаем

mω

m ω V

Для нахождения hρ

i умножим величину квадрата отклонения ρ

соответствующего одной моде, на число осцилляторов Vd

k/ π и

просуммируем по всем осцилляторам (при этом из ответа исчезнет

объем поля V )

hρ

Vd k

dω

В качестве пределов логарифмического интеграла выбираем ω

∼

, так как ниже электрон нельзя считать свободным, и ω ∼ mc /h,

так как выше электрон нельзя считать нерелятивистским. В резуль-

тате, оператор возмущения равен

δU

δ .

Поправка к энергии (в этом приближении она возникает лишь для

s-состояния) составляет

δE

|ψ

α n

130