Сербо В.Г., Хриплович И.Б. Конспект лекций по квантовой механике

Подождите немного. Документ загружается.

Уровень s

сдвигается вверх на

δE

π α

Таким образом, снимается последнее вырождение в атоме водоро-

да. Вклад аномального магнитного момента электрона, ≈

α/ π µ ,

в обсуждаемый сдвиг уровней, ∼

α/ π α ∼ α /π , примерно на

порядок меньше. Более точный расчет, проводимый в квантовой

электродинамике, дает для смещения уровня

величину

δE

−

а для расщепления уровней

и p

величину E

− E

, ± , МГц в полном согласии с экспериментальным значе-

нием

, ± , МГц.

В водородоподобных ионах лэмбовский сдвиг растет как Z

. Один

множитель Z возникает от неэкранированного кулонового потенци-

ала ядра и Z

—от|ψ | .

ВОПРОСЫ

45.1. а) Излучение при переходе

pm → s для атома водорода.

Определить dw/d

, w, τ , , поляризацию излученного фотона (зада-

ча 14.1 ГКК).

б) Как изменится этот ответ при наличии нескольких фотонов с

частотой, равной частоте перехода, в начальном состоянии электро-

магнитного поля?

45.2. В начальном состоянии атома n 

, n − l  n.Найти

приближенные правила отбора по n ипоlдля электромагнитных

переходов.

45.3. Излучение линейного осциллятора (задача 14.2 ГКК).

45.4. Возможные дипольные переходы между уровнями n

(α-линия серии Бальмера) с учетом их тонкой структуры (по

Дираку и по Клейну-Фоку-Гордону).

45.5. В начальном состоянии ns

атом поляризован. Как выгля-

дит угловая зависимость вероятности излучения, просуммирован-

ной по поляризациям фотона и конечного состояния атома?

131

45.6. Оценки вероятностей переходов между компонентами СТС

основного состояния атома водорода (задача 14.9 ГКК).

45.7. Атом водорода находится в постоянном однородном маг-

нитном поле

. Рассмотреть переходы p

→ s

γ.Каковы

поляризации и частоты фотонов, летящих: а) вдоль поля, б) пер-

пендикулярно полю, если энергия взаимодействия с полем мала или

велика по сравнению с интервалами тонкой структуры? Каковы от-

носительные интенсивности спектральных линий?

45.8. Радиационный переворот спина нейтрона в магнитном поле

(задача 14.7 ГКК).

45.7. Найти угловое распределение фотонов в распадах поляри-

зованных частиц:

ω J

P −

→ π

−

γ,

A → π

−

γ.

45.8. Найти с логарифмической точностью (то есть считая

/α 

) поправку к кулоновому взаимодействию двух частиц, обусловлен-

ную флуктуациями вакуума электромагнитного поля. Рассмотреть

следующие случаи:

а) позитроний;

б) электроны в атоме гелия;

в) поправка первого порядка по m/M в атоме водорода.

§46. Рассеяние света

Это процесс второго порядка: система поглощает (или испускает)

фотон, переходя в другое состояние, а затем эта система фотон ис-

пускает (или поглощает). Соответственно, сумма этих двух ампли-

туд упругого рассеяния для дипольных квантов равна по порядку

величины







πhc











E − E

hω

E − E

−hω





∼

πhωe a

E hω E − hω

Энергетическая плотность конечных состояний

k dkd

π d hω

∼

π hc

132

Учет стандартного множителя π/h и множителя c

−

от потока фо-

тонов дает следующую оценку для сечения рассеяния:

σ ∼ πa

ωa

α hω

E hω E − hω

В случае малых частот

hω  E получаем рэлеевское сечение

σ ∼ πa

В случае больших частот

hω  E получаем томсоновское сече-

ние

σ ∼ πa

ωa

α hω

hω

∼ πr

где r

e / mc — классический радиус электрона.

В резонансном случае,

hω E E

−E , нужно учесть ширину

промежуточного состояния:

→ E

− , ∼ α hω .

Тогд а

σ ∼ πa

hω

∼ π

∼ πλ .

Это характерное резонансное сечение.

ВОПРОС

46.1. Упругое и неупругое рассеяние фотонов сферическим рота-

тором (задача 14.14 ГКК).

§47. Молекулы

Малость отношения масс электрона и ядра m/M обеспечивает при-

менимость адиабатического приближения, рассмотрения движения

электронов при фиксированных координатах ядер

. Энергия элек-

тронов E параметрически зависит от

, что позволяет рассматри-

ват ь E

как потенциал для ядер.

Соотношение электронных, колебательных и вращательных ча-

стот

ω ω ∼

133

служит количественным оправданием адиабатического приближе-

ния. (См.: КМ §78.)

ВОПРОС

47.1. Найти прямым вариационным методом потенциальную кри-

вую U

R иона H . В качестве пробной функции выбрать

, C

−

где

−r/β

πβ

β — вариационный параметр и ±

/ — координаты ядер.

Рассмотреть также потенциальную кривую U

R для пробной функ-

ции

, C

−

− ψ

§48. ПРИЛОЖЕНИЕ: о формализме квантовой меха-

ники

Основные положения

Дадим краткий перечень основных положений:

а) состоянию физической системы сопоставляется вектор состоя-

ния |

i из гильбертова пространства;

b) физической величине сопоставляется линейный эрмитов опе-

ратор

c) физическая величина F может принимать только собственные

значения f оператора

d) математическое ожидание значений величины F в состоянии

определяется диагональным матричным элементом h |F | i;

e) закон эволюции системы определяется оператором Гамильтона

H согласно уравнению

∂

∂t

i H | i.

134

Вектора состояний и волновые функции

В екто р с о с тоян ия |

i≡|fiсопоставляется системе, состояние ко-

торой задано классическими параметрами f

f ,f , ..., f

, кото-

рые можно измерять одновременно.

Примеры:

i≡|i— вектор состояния частицы с определенным импуль-

сом

;

i≡|i— вектор состояния частицы, локализованной в точке .

Все возможные векторы состояний образуют линейное простран-

ство, в котором определено скалярное произведение векторов со-

стояний |

i и | i, которое обозначается как h | i h | i

∗

,гдеh |

— вектор, сопряженный |

В пространстве векторов состояний можно выбрать полный на-

бор независимых ортонормированных векторов |fiтаких, что hf|f

. Этот набор образует базис векторного пространства. Выбор ба-

зиса неоднозначен. В квантовой механике выбор базиса называется

выбором представления.

Волновые функции. Любой вектор состояния |

i задается своими

проекциями hf|

i на базис |fi:

|fihf| i

|fiψ f .

Проекция hf|

i≡ψf , рассматриваемая при различных f, называ-

ется волновой функцией данного состояния в f-представлении.

Если система находится в состоянии |

i, которое является соб-

ственным вектором оператора

F,тоесть

| f|

то при измерении величины F будет получено значение, равное f с

вероятностью единица. Среднее значение F по произвольному со-

стоянию |

i равно

|F | i

h |fihf|F |f

ihf

| i

f |ψ f | ,

то есть при измерении величины F в состоянии |

i бу дет п олуч е-

но одно из собственных значений f оператора

F с вероятностью

|ψ

f | . Отсюда видно, что |ψ f | — это вероятность найти значе-

ние f. Волновую функцию ψ

f называют также амплитудой веро-

ятности.

135

Преобразование волновой функции к другому представлению

hg|fiψ f ,

где волновая функция hg|fi

g ψ

∗

f определяет связь двух

базисов

Пример: волновая функция частицы с определенным импульсом

в координатном представлении

| i ψ

πh

Тогда для любой волновой функции с учетом h

| i h | i

∗

имеем

h | i

h | ih | i

− /h

πh

ψ d r

ψ h | i

h | ih | i

πh

ψ d p.

Операторы. Связь представлений

Если определенно преобразование, переводящее вектор состояния

i в ве ктор со стоя ни я | i, то говорят, что задан оператор G это го

преобразования |

i G| i.

Матрица оператора. Действие оператора

G на базисный вектор

состояния |fi задается матрицей G

|G |fi:

G|fi

ihf

|G |fi

Для произвольного вектора состояния

G| i

|fihf|G | i

|fihf|G |f

ihf

| i

|fiG

ψ f

Таким образом, оператор

|fiG

Если величина f принимает непрерыв ный ряд значений, то символ δ

следует

заменит ь на δ-функцию δ

f −f

, а сумму на интеграл

... →

...df .

136

полностью определен, если известна его матрица G

. Действие

оператора на волновую функцию получим, проецируя соотношение

i G| iна F-базис:

f hf|i

ψ f

| i.

Связь операторов в различных представлениях:

hf|G|f

hf|gihg|G |g

ihg

Пример: матрица оператора импульса в

-представлении имеет

вид

| | i δ −

в координатном представлении

| | i

d pd p

∗

δ−

ψ h

∂

δ −

Его действие на волновую функцию ψ

сводится к дифференциро-

ванию

d r

h | |

iψ

− h

∂ψ

∂

Аналогично

| | i δ

− h

| | i − h

∂

−

h | |

iψ

d p

∂ψ

∂

На этих примерах видно, что матрицы операторов

и (и постро-

енные из них) пропорциональны δ-функции или ее производной:

G f δ f

− f .

Их действие на волновую функцию сводится к действию на волно-

вую функцию оператора

G f :

ψ f

Gfψf.

Оператор

G f называют шредингеровским оператором в f-предс-

тавлении (в отличие от матричного G

). В частности, в -представлении

, −h

∂

в -представлении

∂

, .

137

Сербо Валерий Георгиевич, Хриплович Иосиф Бенционович

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

—————————————————————————–

Подписано в печать Формат 60x80/16

Печать офсетная Заказ Уч.-изд.л.

Ти р а ж э к з . Ц е н а

—————————————————————————–

Издательский центр Новосибирского университета,

630090, Новосибирск – 90. Пирогова, 2.

138