Щербин С.А., Семёнов И.А., Щербина Н.А. Основы гидравлики

Подождите немного. Документ загружается.

Рассматриваемый объем обладает также потенциальной энерги-

ей давления

дп

E . Для ее определения представим, что жидкость в

сечении

I-I перемещается поршнем, движущимся со скоростью

W в

направлении сечения

II-II. За время

поршень пройдет путь

Δ⋅=

Wl , м. Сила давления жидкости на поршень составит

111

SpF ⋅= , Н. Произведенная поршнем работа, равная потенциальной

энергии давления жидкости, будет равна:

ττ

Δ⋅⋅=Δ⋅⋅⋅=⋅=

1111111

QpWSplFE

дп

, Дж.

Тогда общее количество энергии, внесенной потоком в рассмат-

риваемый участок за время

через сечение I-I:

11111

111

pQzgQ

E ⋅Δ⋅+⋅⋅⋅Δ⋅+

⋅⋅Δ⋅

τρτ

ρτ

, Дж.

Для сечения

II-II по аналогии запишем:

22222

222

pQzgQ

E ⋅Δ⋅+⋅⋅⋅Δ⋅+

⋅⋅Δ⋅

τρτ

ρτ

, Дж.

По закону сохранения энергии

затр

EEE

где –

затр

E энергия, затраченная на преодоление трения и других со-

противлений при движении жидкости от сечения

I-I к сечению II-II, Дж.

затр

E можно выразить в виде произведения веса

рассматри-

ваемого объема жидкости на некоторую высоту

III

пот

−

(потерю высоты):

Рис. 23. К выводу уравнения Бернулли.

III

пот

III

пот

III

потзатр

hgQhgmhGE

−

⋅⋅⋅Δ⋅=⋅⋅=⋅=

ρτ

, Дж.

Тогда

2222222

222

11111

111

III

пот

hgQpQzgQ

pQzgQ

−

⋅⋅⋅Δ⋅+⋅Δ⋅+⋅⋅⋅Δ⋅+

⋅⋅Δ⋅

=⋅Δ⋅+⋅⋅⋅Δ⋅+

⋅⋅Δ⋅

ρττρτ

ρτ

τρτ

ρτ

(38)

Для перехода к удельной

величине энергии, учитывая, что для

несжимаемой жидкости

и согласно (37) QQQ ==

, раз-

делим обе части уравнения на

)(

⋅

III

пот

−

⋅

ρρ

(39)

Следовательно, для любого сечения потока:

consth

пот

⋅

(40)

где

z – расстояние от плоскости сравнения до центра тяжести рассмат-

риваемого сечения, м;

p – давление жидкости в центре тяжести сечения,

Па;

– средняя скорость жидкости в рассматриваемом сечении, м/с;

пот

h – удельная энергия, затраченная на преодоление сопротивлений

при движении жидкости от начального до рассматриваемого сечения, м.

Уравнения (40), (41) носят наименование

уравнения Бернулли.

При необходимости учета влияния неравномерного распределе-

ния (по живому сечению) скоростей отдельных частиц жидкости на

удельную кинетическую энергию потока, используют коэффициент

Кориолиса

†

. В этом случае уравнение Бернулли получает вид:

consth

пот

⋅

⋅+

⋅

(41)

Удельными, как правило, называют величины, отнесенные к единице количе-

ства вещества (1 кг, 1 м

или 1 кмоль).

†

Другое название коэффициента Кориолиса – корректив кинетической энергии.

3.2.3.1 Геометрический и энергетический смысл уравнения

Бернулли

Все члены уравнения Бернулли (41) выражаются в единицах

длины, поэтому каждый из них можно назвать высотой:

z – геометрическая высота, или высота положения, м;

⋅

– пьезометрическая высота, или высота гидродинамиче-

ского давления, м. Как и в случае равновесной жидкости, сумма

⋅

называется потенциальным напором и обозначается

;

⋅2

– высота, на которую поднимается жидкость относи-

тельно потенциального напора вследствие движения, называемая

скоростным напором

h , м;

пот

– высота, соответствующая потерям напора, м.

Полный напор

H представляет собой сумму потенциального и

скоростного напора:

WП

hHH

Сущность геометрический интерпретации уравнения Бернулли

заключается в том, что при установившемся движении жидкости

сумма потенциального, скоростного и потерянного напора является

величиной постоянной вдоль потока

consthhH

потW

+ .

(42)

Установим в любом сечении потока идеальной жидкости две

трубки (рис. 24) – пьезометрическую

1 и скоростную (трубку Пито) 2,

нижний конец которой

изогнут и направлен

против течения. При

этом в трубке

2 от воз-

действия движущейся

жидкости будет созда-

ваться дополнительное

давление, и высота

подъема жидкости бу-

дет больше, чем в

трубке

1. Пьезометр

покажет только потен-

Рис. 24. Геометрическая интерпретация

членов

ур

авнения Бе

лли.

⋅

⋅2

циальный напор. Трубка Пито покажет так же кинетическую состав-

ляющую полного напора – скоростной напор.

Кроме того, каждый из членов уравнения Бернулли выражает

удельную энергию потока, т. е. энергию, приходящуюся на единицу

веса движущейся жидкости:

z – удельная потенциальная энергия положения, Дж/Н;

⋅

– удельная потенциальная энергия гидродинамического

давления

, Дж/Н;

⋅2

– удельная кинетическая энергия, Дж/Н;

пот

h – удельная потеря энергии, Дж/Н.

Общая энергия, приходящаяся на единицу веса движущейся

жидкости, будет складываться из потенциальной энергии положения и

давления, а также кинетической энергии движения:

⋅

Энергетический смысл уравнения Бернулли: при установившем-

ся движении жидкости сумма четырех удельных энергий (энергии

положения, энергии давления, энергии движения и потерь энергии)

является величиной постоянной вдоль потока:

consth

пот

⋅

(43)

Соответственно, уравнение Бернулли является частной форму-

лировкой закона сохранения энергии.

3.2.3.2 Пьезометрический и гидравлический уклоны

Для характеристики движения реальной жидкости используются

понятия о пьезометрическом и гидравлическом уклонах потока.

Все члены уравнения Бернулли изображены графически на рис.

25, на котором в двух сечениях потока установлены пьезометриче-

ские и скоростные трубки.

Соединением уровней жидкости в пьезометрах получают

пьезо-

метрическую линию 1, или линию потенциальной удельной энергии

От плоскости сравнения

3 она находится на расстоянии, равном по-

тенциальному напору

⋅

. Изменение потенциального на-

пора

Δ , отнесенное к единице длины l , называется пьезометриче-

ским уклоном

J :

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

ρρ

(44)

Пьезометрический уклон может быть направлен как в сторону

движения жидкости, так и в противоположную сторону.

Соединяя уровни жидкости в скоростных трубках, получим

на-

порную линию 2, или линию суммарной (потенциальной и кинетиче-

ской) удельной энергии

. От плоскости сравнения 3 она находится на

расстоянии, равном полному напору

WП

hHH

. Изменение полно-

го напора

H , отнесенное к единице длины

, называется гидравли-

ческим уклоном

i :

пот

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

ρρ

(45)

Так как потеря напора

пот

по длине возрастает, то гидравличе-

ский уклон всегда направлен в сторону движения жидкости (рис. 25).

Рис. 25. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли: 1 – пьезомет-

рическая линия, или линия потенциальной удельной энергии; 2 – напорная ли-

ния, или линия суммарной удельной энергии; 3 – линия плоскости сравнения.

пот

⋅

⋅2

⋅

⋅2

3.2.3.3 Практическое приложение уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли широко применяется для изучения различ-

ных физических явлений, в частности кавитации, а также для реше-

ния практических задач гидравлики: при расчете высоты всасывания

насосов, гидравлическом расчете систем водяного охлаждения и ото-

пления, различных трубопроводов, автомобильных карбюраторов и

т.д. С использованием уравнения Бернулли создано множество при-

боров и устройств

, в частности водомер Вентури, эжектор, водо-

струйный насос и др.

С помощью водомера Вентури (рис. 26) производят измерение

расхода жидкости в трубах. Устройство состоит из сужающейся тру-

бы, за которой следует цилиндрическая вставка и конус, расширяю-

щийся в направлении потока. Перед началом сужающегося конуса и в

цилиндрической вставке устанавливают два пьезометра.

Рис. 26. Водомер Вентури.

Запишем уравнение Бернулли (42) для потока жидкости, дви-

жущегося по водомеру Вентури. Проведем плоскость сравнения

0-0

через ось прибора и рассмотрим два сечения: сечение I – I, в котором

установлен первый пьезометр, и сечение

II – II в цилиндрической

вставке, где установлен второй пьезометр. Вследствие малой длины

устройства и плавного конусообразного перехода потерями энергии

можно пренебречь. Геометрические высоты

z и

z будут равны ну-

лю, так как плоскость сравнения

0-0 проходит центры тяжести живых

сечений, лежащие на оси прибора. Поэтому в данном случае уравне-

ние Бернулли будет иметь вид:

⋅

⋅+

⋅

⋅+

⋅ 22

Используя уравнение неразрывности потока (38), определим

скорость

W :

2211

SWSW

⋅

ππ

⋅=⋅

WW ⋅=

Подставим полученное выражение в уравнение Бернулли и оп-

ределим скорость

W , при этом разность пьезометрических высот

⋅

−

⋅

ρρ

обозначим h :

αα

−⋅

⋅⋅

Учитывая, что расход жидкости, проходящей через водомер, равен

SWQ

⋅

запишем

αα

−⋅

⋅⋅

⋅=

(46)

Для учета потерь энергии потока при движении через устройст-

во используют коэффициент расхода водомера

, значение которого

изменяется в диапазоне

985,098,0

≤

. Тогда окончательное выра-

жение для определения расхода жидкости будет иметь вид:

αα

−⋅

⋅⋅

⋅⋅=

(47)

При расчете

Q значения коэффициентов Кориолиса

можно принимать 1,1.

В эжекторе (рис. 27) рабочая среда (жидкость, газ или пар высо-

кого давления) поступает через патрубок

5. В сужающемся сопле 1

скорость потока увеличивается, а давление по закону Бернулли

уменьшается. Поэтому в камере

3 образуется пониженное давление

(вакуум), и через патрубок

4 в камеру подсасывается среда, давление

которой необходимо повысить. В камере смешения рабочая среда

часть своей кинетической энергии отдает подсасываемой среде, и

смесь двух сред поступает в диффузор

2, в котором происходит сни-

жение скорости потока и увеличение давления, и далее выводится че-

рез патрубок

6. При этом давление подсасываемой среды оказывается

после эжектора выше, чем до него. Рабочая и подсасываемая среды

могут быть как одним и тем же веществом, так и разными вещества-

ми.

Рис. 27. Эжектор: 1 – сопло; 2 – диффузор; 3 – камера смешения; 4, 5 – пат-

рубки для подачи смешиваемых сред; 6 – выходной патрубок.

Конструкция эжекторов проста. Быстро изнашиваются только

сопло и диффузор, поэтому их изготовляют легко сменяемыми, а так-

же из материалов, стойких к коррозии и эрозии. При большой произ-

водительности в камерах смесителей располагают параллельно друг

другу несколько сопел.

Величину вакуума в эжекторе

h без учета потерь энергии опре-

деляют с помощью уравнения Бернулли, записанного для входного и

выходного сечений сопла

1 (рис. 27)

⋅

⋅+

⋅

⋅+

⋅ 22

(48)

где индекс «1» относится к параметрам потока во входном сечении

сопла

1, а индекс «2» – к параметрам в выходном сечении (устье) со-

пла.

Как известно, величина вакуума определяется разностью между

атмосферным давлением и пониженным давлением в устройстве. Для

рассматриваемого случая можно записать

ppp

атв

−

или

ат

⋅

−

⋅

ρρ

Выразим из уравнения (49) соотношение

⋅

⋅−

⋅

⋅+

⋅

⋅ 22

αα

ρρ

и определим

ат

⋅

⋅+

⋅

⋅−

⋅

−

⋅

αα

ρρ

Учитывая, что

⋅

где

Q – объемный расход жидкости, м

/с, получим

ат

⋅⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅

⋅−

⋅

−

⋅

ρρ

После преобразований окончательно получается выражение

Ddg

ат

⋅

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

αα

(49)

где

D и d – соответственно внутренние диаметры входного и выход-

ного участков сопла, м;

ат

p – атмосферное (внешнее) давление, Па;

p – давление рабочей среды в патрубке 5, Па.

Нужно отметить, что при больших скоростях потока рабочей

среды потери энергии

пот

h велики, поэтому уравнение (50), в кото-

ром они не учитываются, дает значительную погрешность.

3.3 Режимы движения жидкости

Различают два режима движения жидкости:

– ламинарный режим, при котором отдельные струи жидкости

скользят относительно друг друга и не перемешиваются (струйчатая

модель потока);

– турбулентный режим, когда струи жидкости движутся по

сложным переменным траекториям, смешиваясь друг с другом.

3.3.1 Опыт Рейнольдса. Критерий Рейнольдса. Критическая

скорость

Существование двух разных режимов движения жидкости от-

крыл немецкий инженер-гидротехник Г. Xaгeн в 1839 и в 1854 гг. В

1880 г. предположение о существовании двух принципиально разных

режимов движения было высказано русским ученым Д. И. Менделее-

вым. В 1883 г. английский физик О. Рейнольдс подтвердил это экспе-

риментально.

Опыты проводились на установке,

принципиальная схема кото-

рой изображена на рис. 28, а. Рейнольдс наблюдал движение воды в

стеклянных трубах 5 разного диаметра, регулируя скорость движения

с помощью крана 6. Окрашенная жидкость из напорного бака 3 по тон-

кой трубке 4 с заостренным концом подводилась к входному сечению

стеклянной трубы 5. С помощью сливной трубы 2

в сосуде 1 поддер-

живался постоянный уровень воды, что обеспечивало постоянство на-

пора на входе в трубу 5. Средняя скорость потока

при площади по-

перечного сечения трубы

рассчитывалась по расходу воды Q , кото-

рый определялся по объему воды, поступившей в сливной бак 7 за

время

, т. е.

W = .

Рейнольдсом было замечено, что переход от одного режим дви-

жения к другому происходит при одной скорости, которую называют

критической:

– при значениях скорости

потока в трубе 5, меньших критиче-

ской скорости

кр

W , окрашенная жидкость, попадающая из трубки 4 в

трубу 5, движется внутри нее в виде тонкой струйки, не перемешива-

ясь с остальной массой воды (рис. 28, б); этот вид движения при

кр

W получил название ламинарного;

– при постепенном увеличении скорости движения воды насту-

пает момент, когда характер ее течения изменяется. Струйка окрашен-