Щербин С.А., Семёнов И.А., Щербина Н.А. Основы гидравлики

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 18. К п

име

ру

2.4.

Пример 2.4 Какое усилие действует

на болты люка диаметром

d = 1,2 м, рас-

положенного в резервуаре (рис. 18) на

глубине

м 6=

от свободной поверхно-

сти нефти, если давление над поверхно-

стью жидкости

= 0,5 МПа? Опреде-

лить глубину точки приложения равно-

действующей сил давления на люк.

Решение. Абсолютное давление p,

действующее на люк, складывается из

давления над поверхностью жидкости

и гидростатического давления жидкости.

Принимая по табл. 1 плотность нефти

кг/м 950=

, получим

Па. 55586068,9950105,0

=⋅⋅+⋅=⋅⋅+=

hgpp

Соответственно сила, действующая на люк, составит

H. 628344,14

2,13,14

555860

⋅

⋅=

⋅

⋅=

Расстояние от свободной поверхности жидкости до точки при-

ложения равнодействующей сил давления на люк (центра давления)

определяется формулой (22)

м. 015,6

616

2,1

⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅

−

СD

Пример 2.5

Сталь-

ная цистерна (рис. 19)

диаметром

D = 1,8 м и

длиной

L = 6 м полно-

стью заполнена мине-

ральным маслом. Давле-

ние на поверхности мас-

ла – атмосферное. Опре-

делить силу давления

жидкости на внутреннюю

боковую поверхность и

направление этой силы.

Рис. 19. К п

име

ру

2.5.

Решение. Равнодействующая силы гидростатического давления

определяется по выражению (28):

222

zyx

FFFF ++= .

В данном случае

F можно не учитывать, тогда

FFF += .

Значение горизонтальной составляющей

F можно определить

по формуле (25), которая будет иметь вид:

ShgF

⋅⋅⋅=

где

= 892 кг/м

– максимальная плотность минерального масла

(табл. 1);

= – глубина погружения центра тяжести, м;

⋅=

– площадь проекции боковой поверхности цистерны на вер-

тикальную координатную плоскость, м

Соответственно

Н. 35,849688,16

8,1

8,9892

=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

Вертикальная составляющая силы абсолютного гидростатическо-

го давления при

ат

pp =

по выражению (27) будет равна

VgF

⋅

Так как по условию задания необходимо определить силу дав-

ления жидкости на внутреннюю боковую поверхность цистерны,

объем тела давления

равняется половине объема цистерны (рис.

19):

⋅

⋅⋅=

Тогда

Н 16,66700

8,114,36

8,9892

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

;

Н. 10802116,6670035,84968

=+=F

Направление действия равнодействующей

F определяется по-

ложением точки пересечения направлений действия составляющих

F , а также косинусом угла наклона равнодействующей к гори-

зонту:

786,0

108021

35,84968

cos,cos ====

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

→→

Соответственно

38786,0arccos ==

Пример 2.6

В резервуаре, заполнен-

ном бензином (

кг/м 750=

), располо-

жен пенопластовый (

кг/м 50=

) попла-

вок диаметром

мм 150=

d , который

обеспечивает открывание клапана диамет-

ром

мм 40=

кл

и толщиной

мм 10

кл

установленного в днище резервуара, при

уровне бензина

м 1>h

(рис. 20). Длина и

диаметр проволоки, соединяющей клапан

с поплавком, соответственно составляют

мм 900=

пр

l и мм 3=

пр

d . Материал кла-

пана и проволоки – сталь

(

кг/м 7850=

ст

). Определить необходимую толщину поплавка.

Решение. Сила гидростатического давления бензина на клапан

составляет

Н 2,9

04,014,3

18,9750

⋅

⋅⋅⋅=

⋅

⋅⋅⋅=

кл

бг

hgF

Вес проволоки и клапана будет равен

()

()()

Н. 5,1

8,9785014,3

01,004,09,0003,0

2222

⋅⋅

⋅

⋅⋅+⋅=

⋅⋅

⋅⋅+⋅=

=⋅⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+⋅

⋅

=⋅⋅+=

dld

gVVG

ст

клклпрпр

сткл

кл

пр

стклпр

ρπ

ρδ

По закону Архимеда определим выталкивающую силу, дейст-

вующую на поплавок:

пбА

VgF

⋅

Рис. 20. К п

име

ру

2.6.

пр

кл

где

()

пр

V −⋅

⋅

– объем части поплавка, погруженной в бензин.

Тогда

()

Н. 139,01

15,014,3

8,9750

=−⋅

⋅

⋅⋅=−⋅

⋅

⋅⋅=

пр

бА

Из условия равновесия поплавка выразим и определим его вес:

Агп

FFGG

Н. 3,22,95,113

−

−=

гАп

FGFG

Толщина поплавка будет равна:

м. 26,0

8,95015,014,3

3,244

⋅⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅

⋅

пп

ρπ

Задание 2.1

Определить, какое уси-

лие необходимо приложить к поршню

гидравлического домкрата для поднятия

поршня

2 с грузом 3 (рис. 21).

Исходные данные приведены в

табл. 10.

Таблица 10

Исходные данные к выполнению задания 2.1

Номер

вари-

анта

Масса

поршня

(поз.

, кг

Масса

груза

(поз.

, кг

, м d

, м

Потеря усилия

на трение, %

n n + 10 100·n

1000

+0,08

100

+0,8

Рис. 21. Схема гидравли-

ческого домкрата.

Задание 2.2 Чему равен объем воды (

кг/м 1000=

), находя-

щейся под атмосферным давлением (

ат

) в цилиндрическом ре-

зервуаре с диаметром

D , если в пневматическое устройство для из-

мерения количества жидкости (рис. 11) подается газ (воздух) под аб-

солютным давлением

p ?

Исходные данные приведены в табл. 11.

Таблица 11

Исходные данные к выполнению задания 2.2

Номер

варианта

D, м

p , МПа

n 0,5·n + 2

⋅

01,0 + 0,1

Задание 2.3 Стальной резервуар, имеющий форму шара (рис.

19), диаметром

D полностью заполнен нефтью с плотностью

. Из-

быточное давление на поверхности жидкости

. Определить силу

давления жидкости на внутреннюю боковую поверхность резервуара

и направление этой силы.

Исходные данные приведены в табл. 12.

Таблица 12

Исходные данные к выполнению задания 2.3

Номер

варианта

D, м

, МПа

кг/м ,

n n + 1

⋅

01,0 + 0,02

850 +

n⋅2

3 Гидродинамика

Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором рассматрива-

ются законы движения жидкостей.

Для возникновения движения жидкости необходима разность

давлений, которая создается с помощью специальных машин (насосов,

компрессоров), либо вследствие разности уровней или плотностей

жидкости.

Знание законов гидродинамики позволяет находить разность

давлений, необходимую для перемещения данного количества жид-

кости с требуемой скоростью, и, соответственно, расход энергии на

это перемещение, или наоборот – определять скорость

и количество

перемещаемой жидкости при известном перепаде давления.

Основными параметрами, характеризующими движение жидко-

сти, являются скорость и давление, изменяющиеся в пространстве и во

времени. Соответственно задача гидродинамики состоит в исследова-

нии изменения этих параметров в потоке жидкости, т.е. в нахождении

вида функций

(

)

()

,,,,

;,,,

zyxfp

zyxfW

(30)

где

- скорость и давление в рассматриваемой точке жидкости;

,, - координаты этой точки;

- время.

3.1 Основные характеристики движения жидкостей

3.1.1 Скорость и расход жидкости

Рассмотрим движение жидкости по трубе постоянного сечения.

Количество жидкости, протекающей через живое сечение потока

в единицу времени,

называют расходом жидкости. Различают объем-

ный расход

, измеряемый в м

/с, и массовый расход, измеряемый в кг/с.

В разных точках живого сечения потока скорость частиц жидко-

сти неодинакова. Поэтому в расчетах обычно используют не

истинные

(

локальные) скорости, а среднюю скорость. Средняя скорость обозна-

чается буквой

и выражается отношением объемного расхода жид-

кости

Q (м

/с) к площади живого сечения

(м

) потока:

W =

, м/с,

(31)

Живым сечением потока называется поперечное сечение потока, перпендику-

лярное его направлению.

откуда объемный расход

⋅

, м

/с.

(32)

Массовый расход жидкости

определяется произведением

⋅

, кг/с.

(33)

На практике скорости протекания жидкостей и паров в трубо-

проводах близки к значениям, указанным в табл. 13

Таблица 13

Скорости движения жидкостей, газов и паров в трубопроводах

Перекачиваемая среда Скорость W, м/с

Жидкости

При движении самотеком:

вязкие 0,1÷0,5

маловязкие 0,5÷1,0

При перекачивании насосами:

во всасывающих трубопроводах 0,8÷2,0

в нагнетательных трубопроводах 1,5÷3,0

Газы

При естественной тяге 2÷4

При небольшом давлении (от вентиляторов) 4÷15

При большом давлении (от компрессоров) 15÷25

Пары

Перегретые 30÷50

Насыщенные при абсолютном давлении, Па:

> 10

15÷25

(1÷0,5)·10

20÷40

(5÷2)·10

40÷60

(2÷0,5)·10

60÷75

3.1.2 Гидравлический радиус и эквивалентный диаметр

При движении жидкости в трубопроводе круглого сечения, в ка-

честве расчетного линейного размера принимают внутренний диаметр

трубопровода. Если форма сечения отлична от круглой, используют

понятия

гидравлический радиус и эквивалентный диаметр.

Под гидравлическим радиусом

r (м) понимают отношение пло-

щади затопленного сечения трубопровода или канала, через которое

протекает жидкость, т. е. живого сечения потока

(м

), к смоченному

периметру

(м):

, м.

(34)

Смоченным периметром называют полный периметр поперечно-

го сечения потока.

Для круглой трубы с внутренним диаметром

d гидравлический

радиус составит

⋅

, м.

Диаметр, выраженный через гидравлический радиус, называется

эквивалентным диаметром:

гэ

rd 4

, м.

Следовательно, согласно уравнению (35)

= , м.

(35)

3.1.3 Установившееся и неустановившееся движение жидкости

Все случаи течения жидкости можно разделить на две группы:

установившееся и неустановившееся движение.

Установившимся называется такое движение жидкости, при ко-

тором скорость и давление в различных точках потока не меняются с

течением времени, а зависят только от положения точки в потоке

жидкости, т.е. являются функциями ее координат:

()

;0 ,,,

zyxfW

()

.0 ,,,

zyxfp

Неустановившимся называется такой вид движения, при кото-

ром скорость движения жидкости и давление в каждой ее точке изме-

няются с течением времени, т.е. являются функциями не только ко-

ординат, но и времени. Неустановившееся движение жидкости опи-

сывается системой уравнений (31).

Примером неустановившегося движения может служить истече-

ние жидкости из резервуара через отверстие

– с понижением высоты

столба жидкости в резервуаре скорость истечения жидкости умень-

шается во времени.

Рис. 22. К выводу уравнений постоянства расхода и неразрывности

потока.

3.2 Уравнения движения жидкости

3.2.1 Уравнение постоянства расхода жидкости

Рассмотрим установившееся движение жидкости в жестком рус-

ле переменного сечения (рис. 22). Выберем два произвольных сече-

ния

I-I и II-II, нормальных к оси потока, и рассмотрим заключенный

между ними участок потока. Через сечение

I-I за время

Δ пройдет

жидкость в количестве

m , а через сечение II-II – в количестве

m .

Выразим массы

m и

m через объемные расходы

Q и

Q жид-

кости

сечениях I-I и II-II:

;

222

111

τρ

Δ⋅⋅=

⋅

где

– плотность жидкости в сечениях I-I и II-II, кг/м

Очевидно, что

constmm

, соответственно

2211

⋅

Так как жидкость несжимаема, то

const

Следовательно

constQQ

(36)

Это уравнение называют

уравнением постоянства расхода. Из

него следует, что

при установившемся движении несжимаемой жид-

кости расход ее постоянен в любом сечении потока

3.2.2 Уравнение неразрывности потока жидкости

Сопоставив уравнения (33) и (37) запишем:

2211

constSWSW

⋅

(37)

Уравнение (38) называют

уравнением неразрывности потока.

Оно показывает, что при установившемся движении несжимаемой

жидкости произведение средней скорости потока на площадь живо-

го сечения является постоянной величиной

Из уравнения (38) можно получить:

Следовательно,

при установившемся движении несжимаемой

жидкости средние скорости потока обратно пропорциональны

площадям соответствующих живых сечений

3.2.3 Уравнение Бернулли для потока жидкости

Закон Бернулли и его аналитическое выражение (уравнение

Бернулли) по сути являются частной формулировкой (применительно

к потоку жидкости) закона сохранения и превращения энергии.

Рассмотрим установившееся движение потока жидкости (рис.

23). Выберем два произвольных сечения

I-I и II-II, нормальных к оси

потока, и рассмотрим заключенный между ними участок потока. Ве-

дем обозначения:

W и

W – средние скорости потока в сечениях I-I и II-II, м/с;

S и

S – площади живых сечений, м

;

p и

p – давления в центрах тяжести сечений I-I и II-II, Па;

z и

z – расстояния от центров тяжести сечений I-I и II-II до

произвольно выбранной плоскости сравнения

0-0, м.

Применим к рассматриваемому участку потока закон сохране-

ния энергии.

За время

частицы жидкости из сечения I-I переместятся в

сечение

-I

, а из сечения II-II в сечение II

-II

. Через сечение I-I за

время

пройдет объем жидкости

⋅

QV , м

, а через сечение

II-II объем

Δ⋅=

QV , м

. Определим количество энергии, внесен-

ной потоком в рассматриваемый участок за время

через сечение

I-I.

Кинетическая энергия объема

V :

222

111

WQWVWm

⋅⋅Δ⋅

⋅⋅

⋅

ρτρ

, Дж.

Потенциальная энергия положения того же объема:

11111111

zgQzgVzgmE

пп

⋅⋅⋅Δ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=

ρτρ

, Дж.

const