Щербин С.А., Семёнов И.А., Щербина Н.А. Основы гидравлики

Подождите немного. Документ загружается.

нет возрастать и согласно уравнению (15) будет равно

hgpp

⋅

откуда уровень жидкости в резервуаре

⋅

−

По величине

h , м, и известной площади поперечного сечения ре-

зервуара

, м

, определяют объем находящейся в нем жидкости

, м

⋅

Гидравлический пресс.

Схема гидравлического пресса приведе-

на на рис. 12. Приложение небольшого усилия F

к поршню 1, дви-

жущемуся в цилиндре малого диаметра d

, приведет к созданию дав-

ления p, которое по закону Паскаля будет передаваться жидкостью

(техническим маслом), заполняющей цилиндры, на поршень 2 в ци-

линдре большого диаметра d

. При этом силы давления на поршни 1

и 2 соответственно составят

;

⋅

⋅=

⋅

⋅=

ππ

Соответственно

Поскольку d

> d

, то и F

> F

. Таким образом осуществляется

прессование (раздавливание) обрабатываемого материала 3, поме-

щенного между поршнем 2 и неподвижной плитой 4.

Гидравлический домкрат.

Поднятие тяжелых грузов на не-

большую высоту можно осуществлять при помощи гидравлических

домкратов, принцип работы которых во многом схож с работой гид-

равлического пресса (рис. 12). Гидравлический домкрат состоит из ци-

линдра с большим поршнем 2 и насоса с малым поршнем 1, нагне-

тающего в цилиндр жидкость. Давление, оказываемое поршнем насо-

са

1 на жидкость, передается на большой поршень 2, на котором ус-

танавливаются поднимаемые грузы 3, 4. Гидравлические домкраты

применяются в ряде строительных машин: бульдозерах, автокранах,

канавокопателях и пр.

2.8 Давление жидкости на плоские и криволинейные по-

верхности

При определении воздействия жидкости на твердую поверх-

ность решают две задачи: определяют величину равнодействующей

сил гидростатического давления и находят координаты центра дав-

ления

2.8.1 Давление жидкости на плоскую горизонтальную по-

верхность

Рассмотрим простейший случай – давление жидкости на плос-

кое дно цилиндрического сосуда (рис. 13, а). Выделим элементарную

площадку

. Сила давления dF на эту площадку составит

⋅

где

hgpp

⋅

⋅+=

– абсолютное (полное) гидростатическое давле-

ние в любой точке площади дна.

Равнодействующая сила абсолютного гидростатического давле-

ния определяется интегралом от элементарной силы, взятым по всей

площади дна:

(

)

(

)

ShgpdShgpSdpdFF

SSS

⋅⋅⋅

⋅

=⋅==

∫∫∫

(17)

Уравнение (18) показывает, что

форма сосуда, заполненного

жидкостью, не влияет на силу гидростатического давления

Центром давления называют точку приложения равнодействующей сил гид-

ростатического давления.

Рис. 13.

авление жидкости на плоск

ю го

изонтальн

ю пове

ность.

)

б)

В частности, если у сосудов различной формы (рис. 13, б) оди-

наковы давления на свободную поверхность жидкости, площади пло-

ских днищ и высоты уровня жидкости (

321

ppp

;

321

SSS

= ;

321

hhh == ), то сила гидростатического давления на дно этих сосудов

будет также одинаковой.

В случае равномерно распределенной нагрузки на дно сосуда,

имеющее площадь

, точка приложения равнодействующей F (центр

давления) и центр тяжести площадки

совпадают (рис. 13, а).

2.8.2 Давление жидкости на плоскую наклонную поверх-

ность

Определим силу абсолютного гидростатического давления на

площадку

, лежащую в плоскости стенки, расположенной под уг-

лом

к горизонту (рис. 14). Ось координат 0z расположена вдоль

рассматриваемой стенки; ось

0x совпадает с линией пересечения

плоскости свободной поверхности жидкости с плоскостью стенки и

располагается перпендикулярно плоскости чертежа. Для наглядности

развернем плоскость стенки и ось

0x на 90

до совпадения с плоско-

стью чертежа.

Рис. 14. Давление жидкости на плоскую наклонную поверхность.

В пределах площади

выберем бесконечно малую площадку

, находящуюся на произвольной глубине h от свободной поверх-

ности (оси

0x) и на произвольном расстоянии

от оси 0z. Примем

следующие обозначения:

h и

h – глубина погружения центра тя-

жести (точка

С ) и центра давления (точка D ) площадки

;

x –

расстояния от точек

и D до оси 0z;

z и

z – расстояния от точек

и D до свободной поверхности жидкости (оси 0x).

Элементарная сила абсолютного гидростатического давления на

площадку

(

)

dShgpdSpdF

⋅

⋅=

(18)

Тогда сила абсолютного гидростатического давления составит:

(

)

∫∫∫

⋅

⋅⋅+=

SSS

dShgdSpdShgpF

(19)

Так как давление на свободной поверхности жидкости постоян-

но (

constp =

), то

SpdSp

⋅

=⋅

∫

Кроме того, из рис. 14 видно, что

sin

⋅

h , поэтому

∫∫

⋅

⋅⋅⋅

dSzgdShg

sin .

Интеграл

∫

⋅

dSz

представляет собой статический момент пло-

щади

относительно оси 0x, т. е.

∫

⋅

zSdSz ,

поэтому, учитывая что

⋅

sin

ShgzSgdSzg

⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅⋅

∫

sinsin .

Подставив проинтегрированные выражения в исходное уравне-

ние (19), получим

ShgSpF

⋅

, или

(

)

ShgpF

⋅

(20)

Таким образом

, сила абсолютного давления на плоскую поверх-

ность выражается произведением площади поверхности на величину

абсолютного гидростатического давления в ее центре тяжести.

Координаты центра давления определяются по выражениям:

СD

⋅

−

;

(21)

⋅

∫

(22)

где

−

– центральный момент инерции площадки

относительно

оси, проходящей через ее центр тяжести и параллельной оси

0x.

Анализируя уравнения (22) и (23) можно сделать выводы:

– центр давления (точка

D ) находится ниже центра тяжести фи-

гуры (точка

С ) на расстоянии эксцентриситета

⋅

−

;

– расстояние

z от центра давления до свободной поверхности

жидкости (оси

0x) определяется не только глубиной

z погружения

центра тяжести площадки, но и формой самой площадки;

– для площадок, симметричных относительно оси, параллельной

оси

0z, центр тяжести (точка С ) и центр давления (точка D ) находит-

ся на одной прямой, параллельной оси

0z.

2.8.3 Давление жидкости на криволинейную поверхность

Рассмотрим действие гидроста-

тического давления на криволиней-

ную поверхность произвольной

формы (рис. 15). Выделим на этой

поверхности бесконечно малую

площадку

, центр тяжести кото-

рой погружен в жидкость на глубину

h . На эту элементарную площадку

нормально к криволинейной поверх-

ности будет действовать элементар-

ная сила абсолютного гидростатиче-

ского давления

, определяемая по

уравнению (19). Элементарная сила

давления также может быть пред-

ставлена в виде:

222

zyx

dFdFdFdF ++=

где

dFdF и – горизонтальные составляющие элементарной силы

, действующие параллельно осям 0x и 0y;

dF – вертикальная со-

ставляющая силы

dF , параллельная оси 0z.

Рис. 15. Давление жидкости

на криволинейную поверхность.

///

Определим каждую составляющую отдельно. Предположим, что

элементарная сила

расположена под углом

к горизонту (рис.

15). Тогда, с учетом уравнения (19), для горизонтальной составляю-

щей

dF можно записать

(

)

coscos

⋅

⋅= dShgpdFdF

(23)

Рисунок показывает, что величина

cos

⋅

является проекцией

площадки

на вертикальную координатную плоскость y0z, т.е.

cos d

⋅

Соответственно

(

)

dShgpdF

⋅⋅⋅+=

()

∫∫∫

⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅+=

///

SSS

dShgdSpdShgpF

ρρ

Интеграл

∫

⋅

dSh представляет собой статический момент пло-

щади

относительно оси 0y, равный произведению площади

на

глубину погружения центра ее тяжести

h , т. е.

hSdSh ⋅=⋅

∫

Окончательно для горизонтальной составляющей

F можно за-

писать

(

)

ShgpShgSpF

CCx

⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅+⋅=

ρρ

(24)

Уравнение для второй горизонтальной составляющей

F , дейст-

вующей вдоль оси

0y, запишем по аналогии с уравнением (25):

(

)

////

ShgpShgSpF

CCy

⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅+⋅=

ρρ

(25)

где

– проекция площадки

на вертикальную координатную

плоскость

x0z.

Определим вертикальную (параллельную оси

0z) составляющую

силы абсолютного гидростатического давления. По аналогии с урав-

нением (24) запишем

(

)

sinsin

⋅

⋅= dShgpdFdF

Учитывая, что произведение

sin

⋅

равняется площади про-

екции площадки

на горизонтальную координатную плоскость x0y,

()

∫∫∫∫

⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅+=⋅=

/// /////////

//////

///

sin

SSSS

dShgdSpdShgpdFF

ρρα

Очевидно, что выражение

///

⋅

представляет собой объем

dV , выделенный на рис. 15 штриховкой, а произведение

///

dShg ⋅⋅⋅

равно весу

dG жидкости в этом бесконечно малом объеме, т. е.

∫∫∫

=⋅⋅=⋅⋅⋅

/////////

///

SSS

dGdVgdShg

ρρ

Тогда вертикальная составляющая силы абсолютного гидроста-

тического давления будет равна

GSpVgSpdVgdSpF

+⋅=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=

∫∫

///

//////

ρρ

(26)

Объем

V , являющийся суммой элементарных объемов d

, на-

зывается

телом давления.

Сила гидростатического давления

F , являющаяся равнодейст-

вующей ее составляющих

FF , и

F , определяется по уравнению

222

zyx

FFFF ++= ,

(27)

а ее направление – углом

, который можно найти из уравнения

tg =

(28)

Сила

F приложена в центре давления. В рассматриваемом слу-

чае центр давления расположен в точке пересечения вектора силы

с криволинейной поверхностью. Координаты центра давления для

криволинейных поверхностей находятся графоаналитическим мето-

дом.

2.9 Закон Архимеда. Плавание тел

Рассмотрим тело произвольной формы, погруженное в покоя-

щуюся жидкость (рис. 16). На тело будут действовать поверхностные

силы гидростатического давления, направленные по нормали к его

поверхности.

Равнодействующая сила

F , действующая на тело, раскладыва-

ется на составляющие по трем координатам:

F ,

F , причем

;

///

xxx

FFF −=

;

///

yyy

FFF −=

///

zzz

FFF −=

Горизонтальные составляющие гидростатического давления рав-

ны нулю:

FF ; .

Соответственно, на тело

действуют только вертикаль-

ные силы:

F – сила давления

на поверхность

ECFB

– сила давления на поверх-

ность

ECFD

. Согласно

уравнению (27), не учитывая

p , запишем:

;

AacCBAacCBz

GVgF =⋅⋅=

AacCDAacCDz

GVgF =⋅⋅=

где

AacCB

AacCD

AacCB

AacCD

G – объем и вес соответ-

ствующих тел давления.

Тогда равнодействующая сил гидростатического давления на те-

ло, погруженное в жидкость, составит

.)(

///

ABCDABCDAacCDAacCBzzz

GVgVVgFFF −=⋅⋅−=−⋅⋅=−=

ρρ

(29)

Уравнение (30) является аналитическим выражением закона Ар-

химеда:

на твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость,

действует сила гидростатического давления, равная весу жидкости

в объеме тела, направленная вертикально вверх и проходящая через

центр тяжести тела

Подъемную силу

F называют выталкивающей (архимедовой)

силой. Вес жидкости в объеме погруженной в нее части тела называ-

ют

водоизмещением. Точка приложения архимедовой силы находится

в центре тяжести погруженной части тела, называемом

центром во-

доизмещения

Закон Архимеда лежит в основе теории плавания тел, исполь-

зующей два понятия:

плавучесть

и остойчивость

†

В зависимости от соотношения между весом плавающего тела

и подъемной силой

F возможны три состояния тела, погруженно-

го в жидкость:

при

F >

тело всплывает (плавает в полупогруженном

состоянии);

Плавучесть - это способность тела плавать.

†

Остойчивость - способность плавающего тела восстанавливать нарушенное

при крене равновесие после устранения сил, вызвавших крен.

Рис. 16. К выводу закона Архимеда.

2 при

F <

тело тонет;

при

F =

тело не тонет и не всплывает, находясь в состоя-

нии покоя в любой точке водного пространства (плавает в погружен-

ном состоянии).

При воздействии на плавающее тело внешних сил, например,

ветра, крутого поворота, удара, оно будет отклоняться от положения

равновесия, т.е. давать крен.

Если центр тяжести тела расположен ниже центра

водоизмеще-

ния, после прекращения воздействия внешних сил тело возвращается в

первоначальное положение. Такое плавание называется остойчивым.

Если центр тяжести тела расположен выше центра водоизмеще-

ния, плавание будет неостойчивым. В этом случае тело не способно

возвратиться в прежнее положение, а наоборот, продолжает откло-

няться от него.

При совпадении центров тяжести и водоизмещения

тело будет

находиться в состоянии безразличного равновесия.

Пример 2.1

Определить разность

давлений в двух резервуарах с водой

(рис. 16), если разность уровней ртути

в U-образном дифференциальном ма-

нометре составляет

30=Δh мм.

Решение. Давление в левом и

правом колене U-образного диффе-

ренциального манометра согласно ос-

новному уравнению гидростатики (15)

составят:

hghgp

вртB

вртA

⋅⋅+⋅⋅+=

⋅

+⋅

⋅

ρρ

Выразим разность давлений в резервуарах:

(

)

(

)

()

3142

вртврт

вртBA

hghghg

hhghhgpp

ρρρρ

−⋅Δ⋅=Δ⋅⋅−Δ⋅⋅=

=−

⋅

−

⋅

=−

Из табл. 1 выпишем значения плотности воды и ртути:

.кг/м 998;кг/м 13547

врт

ρρ

Окончательно получим:

(

)

Па 4,36899981354703,08,9

−

⋅

=−

Рис. 16. К примеру 2.1.

Δh

Пример 2.2 Определить величину ва-

куума в баллоне

А (рис. 17), если известно,

что высота

h подъема воды в трубке, опу-

щенной в сосуд с водой

В, составляет 7 м.

Решение. Абсолютное давление в бал-

лоне

А меньше атмосферного и составляет

Па. 2940078,910

108,9

=⋅⋅−

−⋅=⋅⋅−= hgpp

ат

Вакуумом называют разность между

атмосферным и абсолютным давлением, со-

ответственно

Па. 1086,61094,2

108,9

⋅=⋅−

−⋅=−=

ppp

атв

Пример 2.3 Определить, какое усилие должно быть приложено

к поршню

1 насоса (рис. 12), чтобы гидравлический пресс сжимал те-

ло

3 с силой F = 400 Н. Диаметр поршня насоса d

= 6 см, диаметр

поршня пресса

= 40 см. Масса поршня пресса m

= 15 кг, масса

сжимаемого тела

= 180 кг. На трение в уплотнениях поршней теря-

ется 8% усилия, развиваемого прессом.

Решение. С учетом массы тела и масса поршня пресса, а также

потерь энергии на трение, для сжатия тела с силой

F = 400 Н к порш-

ню пресса

2 необходимо приложить усилие

Н. 2512

92,0

8,9)18015(400

92,0

)(

⋅

gmmF

Соответственно давление рабочей жидкости пресса составит

Па. 102

4,014,3

2512

⋅=

⋅

Сила, прилагаемая к поршню

1 насоса, должна быть равна

Н. 52,56

06,014,3

102

⋅

⋅⋅=

⋅

⋅=

Рис. 17. К п

име

ру

2.2.

ат