Савина Н.В. Применение теории вероятности и методов оптимизации в системах электроснабжения

Подождите немного. Документ загружается.

151

и для удобства внесем их в таблицу

В качестве примера покажем определение h

для первого разряда

0,01

0,07

0,15

h ==

Гистограмма имеет следующий вид.

()

0,4

0,55

∑

1,5

0,5

0,7

0,85

1,15

1,3

1,45

1,6

1,75

1,126

M(I)+3=1,9

Рис. 65. Гистограмма тока

Если при увеличении числа измерений будем выбирать все более мелкие

разряды, то гистограмма будет приближаться к некоторой кривой,

ограничивающей площадь, равную 1. Нетрудно убедиться, что эта кривая

представляет собой график плотности распределения I.

Определим закон распределения, которым будем аппроксимировать

данную гистограмму. Это нормальный закон.

Запишем для него плотность распределения

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

152

[ ]

()

2()

()

()2

−

= .

Определим числовые характеристики статистического распределения

тока:

0,710,750,570,580,4...0,851,551,88

1,126

100

++++++++

===

∑

кА,

( )

()0,258

−

∑

кА.

Определим теоретическую плотность распределения нормального закона

по выражению:

(1,126)

20,258

()

0,2582

Ieϕ

−

⋅

= .

Вычислим значения

()

в середине интервалов и запишем в таблицу,

приведенную ниже.

I, кА 0,475

0,625

0,775

0,925

1,075

1,225

1,375

1,525

1,675

1,725

()

0,064

0,23 0,61 1,15 1,52 1,44 0,97 0,47 0,16 0,04

Отмечаем на гистограмме эти высоты и строим теоретическую кривую

плотности распределения (см. рис. 65). Таким образом, мы аппроксимировали

статистическое распределение вероятностей одним из известных теоретических

распределений – нормальным распределением.

Проверяем правильность выдвинутой гипотезы с помощью критерия

Пирсона,

. Для определения его расчетного значения найдем вероятность

попадания возможных значений случайной величины в каждый разряд по

принятому закону распределения:

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

153

jjj

PXI

ϕϕ

=∆=∆

Для удобства заполним таблицу.

;

0,4-0,55

0,55-0,7

0,7-0,85

0,85-1,0

1,0-1,15

1,15-1,3

1,3-1,45

1,45-1,6

1,6-1,75

1,75-1,9

1 3 9 17 23 22 15 7 2 1

0,064 0,23 0,61 1,15 1,52 1,44 0,97 0,47 0,16 0,04

0,0096

0,0345

0,0915

0,173 0,228 0,216 0,146 0,0705

0,024 0,0059

Критерий Пирсона равен:

(

)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

222

11000,009631000,0345

1000,00961000,0345

91000,0915171000,173231000,228

1000,09151000,1731000,228

221000,216151000,14671000,070

1000,2161000,146

расч

mnP

−

−⋅−⋅

==++

⋅⋅

−⋅−⋅−⋅

++++

⋅⋅⋅

−⋅−⋅−⋅

+++

⋅⋅

∑

(

)

( ) ( )

1000,0705

21000,02411000,0059

0,44.

1000,0241000,0059

⋅

−⋅−⋅

++=

⋅⋅

Расчетное значение

сравниваем с табличным значением

зависящим от числа степеней свободы, r и уровня значимости, α.

Число степеней свободы равно

10(21)7

rmS

=−=−+=

Уровень значимости (степень риска) примем равным 5%, то есть α=5%.

Затем находим табличное значение критерия Пирсона /4/:

,7;0,05

2,17

r α

χχ==.

Сравниваем его с расчетным 0,44<2,17, следовательно гипотеза верна.

Определим доверительный интервал, который с заданной вероятностью

накрывает истинное значение математического ожидания тока ввода №1 РП:

[

]

ItSMIItS

ββ

−≤≤+ .

Для этого найдем по таблице /4/ значение коэффициента Стьюдента,

который при доверительной вероятности β равен: β =1-0,05=0,95.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

154

Тогда

[

]

[]

1,12620,2581,12620,258;

0,611,64,.

MI кА

−⋅≤≤+⋅

≤≤

Итак, доверительный интервал

[

]

0,61;1,64

кА с вероятностью β =0,95

накрывает истинное значение математического ожидания тока ввода №1 РП.

Его еще называют интервальной оценкой математического ожидания.

Задача 2. Мощность электроприемника (ЭП) в течение суток изменялась

следующим образом:

14,7; 15,1; 13; 12,5; …; 18,3; 19,5; 16,4; 17,1; … кВт.

Было проведено 100 измерений данной мощности.

Определить статистическую плотность распределения мощности и

аппроксимировать ее одним из законов распределения вероятностей.

Решение.

Объем выборки n=100.

Результаты измерений сводим в статистический ряд.

№ опыта 1 2 3 4 … k k+1 k+2 k+3

Значение

мощности, кВт

14,7 15,1 13 12,5 … 18,3 19,5 16,4 17,1

Обрабатываем этот ряд. Выбираем 10 разрядов и определяем длину

разряда:

maxmin

P-P19,5-12,5

ДP===0,7

1010

кВт.

Строим вариационный ряд по алгоритму, приведенному в предыдущем

примере.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

155

−

12,5-13,2

13,2-13,9

13,9-14,6

14,6-15,3

15,3-16 16-16,7 16,7-17,4

17,4-18,1

18,1-18,8

18,8-19,5

;

11 9 10 8 8 12 11 10 9 8

100

∑

0,11 0,09 0,1 0,08 0,08 0,12 0,11 0,1 0,09 0,08

∑

()

ϕ =

0,16 0,13 0,14 0,11 0,11 0,17 0,16 0,14 0,13 0,11

()

Строим гистограмму.

()

кВт

12,5

13,2

0,20

0,15

0,10

0,05

13,9

14,6

15,3

16,7

17,4

18,1

18,8

19,5

Рис. 66. Гистограмма мощности ЭП

Выровняем статистический ряд, а следовательно, и гистограмму законом

равномерной плотности

()

;

()

при aPb

при PaиPb



≤<



−







Определим точечные оценки математического ожидания и среднего

квадратического отклонения для исследуемой выборки:

100

14,715,11312,5...18,319,5...

()16

100

PMP

+++++++

====

∑

кВт;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

156

( )

()2

−

===

−

∑

кВт.

Определим границы равномерного распределения, a и b из выражений

для числовых характеристик:

;







−





Отсюда

33()162319,5;

33()162312,5.

aMPSP

кВт

bMPSP

кВт

=+=+=+=

=−=−=−=

Плотность равномерного распределения равна

()0,14

19,512,5

ϕ ===

−−

при

12,519,5

кВт,

()0

при

12,5;19,5

кВт.

Строим теоретический график равномерной плотности (см. рис. 66).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

157

Вопросы для самопроверки

1. Какие задачи математической статистики вы знаете?

2. Чем отличается гистограмма распределения от кривой плотности

распределения?

3. Правило "трех сигм" и его особенности при расчете электрических

нагрузок.

4. Как осуществляется выравнивание статистических рядов?

5. Когда применяется статистический ряд для аппроксимации

гистограмм?

6. Как проверить правильность выдвинутой гипотезы о законе

распределения?

7. Область применения известных вам критериев согласия, их

особенности.

8. Как экспериментально определить расчетную нагрузку цеха?

9. Какова последовательность операций при экспериментальном анализе

качества электроэнергии на шинах подстанции?

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

158

Глава 4. Практическое применение моделей «случайное событие» и

«случайная величина» для анализа функционирования систем

электроснабжения

4.1. Определение расчетной нагрузки статистическим методом

График нагрузки любых электроприемников независимо от характера их

работы представляет собой случайный, протекающий во времени процесс,

формирующийся в результате совместного действия ряда случайных факторов,

как то: суммарная длительность цикла

, длительность его рабочей части

длительность паузы

, мощности, потребляемой в рабочей части цикла

, при

холостом ходе,

и др.

Исследования показывают, что даже для однородной группы механизмов,

работающих на данном участке производства, перечисленные величины, а

также относящиеся к ним показатели графиков колеблются в весьма широких

пределах.

Так, коэффициент включения

для неавтоматических металлорежущих

станков варьируется в пределах 0,03-0,9; для станков-автоматов в пределах 0,4-

1. Длительность рабочей части цикла

для неавтоматических

металлорежущих станков лежит в пределах 2-10 мин, а относительная

длительность холостого хода

составляет 0,35.

Такие большие рассеяния величин, характеризующих коэффициенты

включения

и отключения

, объясняются тем, что на каждую из них

воздействует ряд случайных технологических факторов. Для металлорежущих

станков, например, таковыми являются переход с черновой обработки на

чистовую, остановка станка для измерения, закрепления или съема детали,

устранения мелких неполадок и т.д.

Величины

ВВО

ktt

и их разбросы определяют режим работы

электроприемника во времени,

непосредственно влияют на

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

159

потребление мощности. Этим величинам также присущи значительные

разбросы.

Как же определить расчетную нагрузку?

Использование статистического метода не упрощает задачу определения

мощности путем отбора из всего многообразия факторов одного или двух из

них и отбрасывания остальных из них. Вместе с тем не делается попытки

определить воздействия каждого отдельного фактора или группы факторов и их

разбросов на величину нагрузки.

Статистический метод дает возможность, используя теорему

Ляпунова, охарактеризовать суммарное воздействие всех перечисленных

факторов и их изменчивости двумя интегральными показателями –

генеральной средней нагрузкой

или

[

]

и генеральным средним

квадратическим отклонением

Гнеденко В.Б. теоретически доказал, что нормальный закон

распределения можно считать справедливым для узлов нагрузки, питающих 6-8

электроприемников при установившемся технологическом режиме. Харчев

М.К. экспериментально подтвердил это положение и для меньшего количества

электроприемников. Таким образом, можно считать, что электрическая

нагрузка узла распределена по нормальному закону. Согласно математической

статистики точечная оценка математического ожидания мощности или средняя

мощность равна

∑

, (116)

а оценка среднего квадратического отклонения имеет вид:

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

160

( )

−

∑

. (117)

Согласно закону нормального распределения любая нагрузка и

вероятность ее превышения могут быть определены по выражению:

kcpPT

PPtS

=±

, (118)

где индекс Т означает, что отклонение определяется для длительности

наблюдения Т.

А вероятность того, что нагрузка

превзойдет

cpPT

PtS

, будет уровень

значимости. То есть

- интервальная оценка математического ожидания

нагрузки.

Таким образом, статистический метод позволяет определить не только

величину расчетного максимума

maxcp

в PT

P=P+tS

, (119)

но и вероятность его появления.

Придавая доверительной вероятности β различные значения, можно

получить всю гамму возможных нагрузок и частоты их появления. Умножив

эти частоты на длительность наблюдения или фонд рабочего времени

потребителей, подключенных к данному звену сети, можно оценить суммарную

продолжительность каждой нагрузки, выраженную в часах, то есть построить

универсальную упорядоченную диаграмму.

Рассмотрим пример.

Определить

max

с β=0,9; 0,95; 0,999 узла нагрузки с 10

электроприемниками.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com