Савина Н.В. Применение теории вероятности и методов оптимизации в системах электроснабжения
Подождите немного. Документ загружается.
121
термина «сходится по вероятности». Говорят, что случайная величина
n
x
сходится по вероятности к величине
a
, если при увеличении
n
вероятность
того, что
n
x и
a
будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к 1,
это обозначает, что при достаточно большом
n
δε −><− 1)|(| aXP
n
, (84)
где
δ
ε
, - произвольно малые положительные числа.
Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева:
δε −>
<−
∑
=
1
1
x
n
i
i
m
n
x
P . (85)
Если в данном выражении заменить среднее арифметическое частотой
появления событий, а математическое ожидание
х
m
- вероятностью и перейти к
пределу, то получим закон больших чисел (теорему Бернулли):
1)|(|lim =<−
∞→
εp
n
m
p
n
, (86)
который гласит:
при неограниченном увеличении числа испытаний вероятность того, что
разность между наблюденной относительной частотой некоторого события
)(
n
m
A и истинной вероятностью события )(p будет меньше любого самого
малого
ε
, стремится к 1, т.е. при достаточно большом числе испытаний
вероятность ошибки в замене вероятности случайного события
относительной частотой его появления стремится к 0.
Доказательство этой теоремы осуществляется с помощью двух
предельных теорем Муавра-Лапласа: локальной и интегральной.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
122
Теорема Муавра-Лапласа гласит: при большом числе испытаний в схеме
независимых испытаний применение формулы вероятности возникновения
m
раз события
A
из числа
n
связано с необходимостью вычисления факториалов
больших чисел и больших степеней:
mnmm
n
qp
mnm
n
p
−
−
=
)!(!
!
. (87)
Чтобы избежать этого, в практических задачах используют локальную
предельную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой:
Предел, к которому стремится вероятность того, что в n независимых
испытаниях событие A произойдет m раз при
∞
→
n
, определяется по
формуле:
,
2
1
)(lim
2
2
x
m
n
n
ep
−
∞→
=
π
(88)
где
npq
npm
x
−
= .
Здесь x – это отношение отклонения случайной величины m от ее
математического ожидания, равного np, к стандартному отклонению,
равному npq , т.е.
( )
npq
npm
m
n
n
ep
2
)(
2
2
1
lim
−
−
∞→
=
π
. (89)
Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа определяет предел, к
которому стремится вероятность того, что величина
npq
npm
x
−
= находится в
интервале (a,b) при
∞
→
n
:
2
2
1
lim()
2
b
x
n
a
mnp
Pabedx
npq π
−
→∞
−
<<=
∫
. (90)
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
123
Итак, основываясь на этих теоремах, докажем закон больших чисел
(теорему Бернулли).
Для этого рассмотрим величину
m
р p
n
ε
−<
. (91)
Очевидно, что
mmmnp
Pp р p р
nnn
εεεεε
−
−<=−<−<=−<<
.
Умножим все члены неравенства на
pq
n
<
−
<−
pq
n
npq
npm
pq
n
P εε . (92)
Теперь, при
∞
→
n
воспользуемся интегральной предельной теоремой
Муавра-Лапласа:
,a
pq
n
=−ε
b
pq
n
=ε
,
22
2
x
npq
npm
=
−
,
∫
==
<
−
<−
−
b
a
x
dxe
pq
n
npq
npm
pq
n
P 1
2
1
2
2
π
εε .
Если проделать обратные преобразования с неравенством в скобках, то
получим искомое выражение по закону больших чисел:
1lim =
<−
∞→
εp
n
m
P
n
. (93)
В условиях эксплуатации используют не столько сам закон больших
чисел, сколько вытекающие из него следствия. Так, при достаточно большом
числе испытаний ( n – велико, но
∞
≠
) можно записать:
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
124
2
2
111
22
2
n
pq
z
n
pq
nmnpnnnn
р edz ФФФ
pqpqpqpqpq
npq
ε
ε
εεεεε
π
−
−
−
−<<≈=−−=
∫
.
Величину
,
nmnpnm
рравнуюр p
pqpqn
npq
εεε
−
−<<−<
обозначают через
β
, т.е:
mn
рpФ
npq
εεβ
−<==
. (94)
Отсюда вытекают три задачи математической статистики, важные для
практических целей:
1) Найти наименьшее число испытаний n, при котором разность
относительной частоты
n
m
и вероятности события р не превышает заданной
величины
ε
с заданной вероятностью
β
, т.е. известны
;;;.
pq
εβ
Необходимо
найти
n
.
Воспользуемся последним выражением βε =
pq
n
Ф .
Обозначим подынтегральное выражение α, тогда по заданному значению
)(
α
β
Ф
=
по таблице интеграла вероятностей определяем α.
Из выражения
n
pq
αε= определяем
n
:
2
2
pq
n
α
ε
= . (95)
Анализ полученного выражения показывает следующее: чем больше
β
,
тем больше
n
и чем больше
ε
, тем меньше
n
.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
125
Пример 1. Определить наименьшее число испытаний n, при котором
разность относительной частоты
m
n
и вероятности события
p
не превышает
заданной погрешности
ε
с заданной вероятностью
β
.
Пусть
0,99;0,01;0,95;0,05
pq
βε
====
.
По таблицам интеграла вероятностей /3/ для
(
)
0,95
Фβα== находим
α
:
2
α
=
.
Определим наименьшее число испытаний:
22
22
20,990,01
15,8416
0,05
рq
n
α
ε
⋅⋅
===≈
.
Если увеличить требования к значению вероятности
β
до
0,99
β
=
, то
2,58
α
=
, а
2
2
2,580,990,01
27
0,05
n
⋅⋅
=≈
.
Если увеличить требования к значению
ε
до
0,01
ε
=
, то при
0,99
β
=
2
2
2,580,990,01
659
0,01
n
⋅⋅
==.
2) Найти вероятность
β
того, что отклонение относительной частоты
события
n
m
от его вероятности р будет меньше заданного числа
ε
при заданном
числе испытаний n, т.е. известны
;;;.
pqn
ε
, необходимо найти
β
.
Определяем
α
по выражению:
n
pq
αε= , а затем
(
)
Ф
βα
= по таблице интеграла вероятностей.
Отсюда можно сделать вывод, что чем больше n, тем с большей
вероятностью ε<− p
n
m
и чем больше
ε
, тем с большей вероятностью
m
p
n
≈
.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
126
Пример 2. Определить вероятность того, что максимальное отклонение
относительной частоты события
m
n
от его вероятности
p
будет меньше
заданного значения
ε
при заданном числе испытаний n.
Пусть
0,99;0,01;100;0,05
pqn
ε
====
. Определим
α
:
100
0,055,03
0,990,01
n
pq
αε===
⋅
.
По таблице интеграла вероятностей находим
β
:
(
)
1
Фβα
==
.
Следовательно, искомая вероятность равна 1.
Если повысить требования к точности до значения
0,01
ε
=
, то
(
)
1;10,683
Фαβ=== ,
поэтому вероятность непревышения такой ошибки снижается и доверять
полученным результатам нельзя.
Найти погрешность в замене р на
n
m
при заданном n с заданной
вероятностью
β
, т.е. известны
;;;.
pqn
ε
Требуется найти
ε
.
По заданному значению
β
определяем по таблице интеграла
вероятностей значение
α
, т.к.
(
)
Ф
βα
= , но
pq
n
εα =
,
откуда
n
pq
αε = .
Отсюда, чем больше n, тем меньше погрешность замены вероятности
относительной частотой
m
n
, чем больше
β
, тем больше
ε
.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
127
Пример 3. Определить максимальное отклонение относительной частоты
события
m
n
от его вероятности
р
при числе испытаний
n
с заданной
вероятностью
β
.
Пусть
0,99;0,01;0,95;50
р qn
β
====
.
По таблице интегралов вероятностей для
0,95
β
=
находим
2
α
=
.
Тогда:
0,990,01
20,028
50
рq
n
εα
⋅
===,
т.е. погрешность замены истинной вероятности события
р
его относительной
частотой составит 0,028 или 2,8%. Если необходимо повысить точность такой
замены, то нужно увеличить число испытаний при прочих равных условиях.
Увеличим
n
до
250
n
=
, тогда
0,990,01
20,0126
250
ε
⋅
== или
1,26%
ε
=
.
Рассмотренные три задачи математической статистики широко
используются при оценке надежности элементов систем электроснабжения в
условиях эксплуатации, при анализе работы изоляции, исследовании качества
электроэнергии.
3.3. Построение гистограммы
Теперь, когда решен вопрос о точности определения статистической
вероятности, вспомним, что мы имеем дело не со всей генеральной
совокупностью, а с выборкой, т.е. лишь с частью значений случайной
величины. Остальная, и как правило, большая часть значений случайной
величины остается для нас неизвестной.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
128
Возникают следующие вопросы:
1) Как определить закон распределения вероятностей, и будет ли закон
распределения, полученный для выборки соответствовать закону
распределения вероятностей случайной величины для всей генеральной
совокупности?
2) Будут ли числовые характеристики, определенные по выборке
значений, соответствовать числовым характеристикам?
Попробуем найти ответы на поставленные вопросы.
Для этого начнем обрабатывать полученный статистический материал,
который представлен в виде простого статистического ряда:
n
1 2 …
i
…
x
1
x
2
x
…
i
x
…
где
n
- номер опыта;
х
– значение случайной величины, полученное в этом опыте.
Попытаемся сжать исходную информацию. С этой целью всю выборку
представим в виде так называемого вариационного ряда, имеющего вид:
1jj
xx
х
+
÷=∆
12
xx
÷
23
xx
÷
…
1
jj
xx
+
÷
…
minmax
xxx
≤≤
j
m
1
m
2
m
…
j
m
…
j
mn
=
∑
*
j
j
m
p
n
=
*
1
p
*
2
p
…
*
j
p
…
*
1
j
p
=
∑
*
()
j
j
j
p
x
x
ϕ =
∆
*
1
1
p
x
∆
*
2
2
p
x
∆
…
*
j
j
p
x
∆
…
(
)
j
х
ϕ
Для этого разделим весь диапазон наблюденных значений на интервалы
(разряды) и подсчитаем количество значений
j
m , приходящееся на каждый j-ый
разряд, т.е. число попаданий результатов наблюдения в каждый j-й разряд.
Сумма чисел попаданий должна быть равна числу наблюдений, Число
попаданий разделим на общее число наблюдений n и найдем относительную
частоту, соответствующую j-му разряду:
n
m
p
j
j
=
*
.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
129
Сумма частот всех разрядов должна быть равна 1.
Число разрядов (интервалов) для построения гистограммы определяется
по формуле Старужеса /25/:
3,3lg1
mn
=+
.
Практика показала, что в большинстве случаев рационально выбирать
число разрядов порядка 8 - 15. Итак, в вариационном ряде разряды приводятся
в порядке их расположения вдоль оси абсцисс, а ниже – число попаданий
возможных значений случайной величины в них и соответствующие им
частоты.
Если при группировке наблюденных значений случайной величины
имеется число, находящееся в точности на границе раздела двух разрядов, то
его нужно считать принадлежащим в равной мере обоим разрядам и прибавить
к числам m
j
того и другого разряда по 0,5.
Таким образом, мы уже имеем распределение относительных частот (или
статистической вероятности) по диапазону изменения случайной величины.
Несомненно, по вариационному ряду можно сделать некоторые выводы.
Например, из вариационного ряда видно:
a) в каких границах изменяется случайная величина;
б) какие значения появляются чаще.
Но, вся информация пока еще скрыта и требуется ее извлечь. Для этого
вариационный ряд представляется графически. В качестве оси абсцисс
принимают границы разрядов вариационного ряда случайной величины. А что
взять в качестве оси ординат?
Для решения основных задач, возникающих при исследовании систем
электроснабжения необходимо знать аналитическую зависимость между
случайной величиной и вероятностью ее попадания в тот или иной интервал.
Для этого нужно определить плотность относительной частоты попадания
случайной величины в тот или иной интервал (разряд)
(
)
х
ϕ .
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
130
Зависимость плотности относительной частоты попадания случайной
величины в разряд от возможных значений случайной величины – разрядов,
называется гистограммой.
То есть вариационный ряд оформляется графически в виде гистограммы.
Мы уже отложили по оси абсцисс разряды, теперь на каждом из них как на
основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного
разряда. Следовательно, в качестве высоты прямоугольника мы должны взять
значение
x
p
xx
p
hx
j
jj
j
∆
=
−
==
+
*
1
*
)(ϕ ,
которое и является плотностью относительной частоты попадания случайной
величины в тот или иной разряд. Построив гистограмму, получают графическое
изображение статистического распределения плотности вероятности случайной
величины.
ϕ
(x)
x
0
1
x
2
x
j
x
j+1
x
n
x
*
1
P
*
j
P
=
∑
m
*
j
1
P1
Рис. 59
Пользуясь данными вариационного ряда, можно построить и
статистическую функцию распределения случайной величины Х. Очевидно,
нужно вспомнить определение функции распределения:
∫∫
∞−∞−
==
xx
dxxpdxxxF )()()( ϕ
, (96)
или
∑
=
=
k
j
jkk
PxF
1
**
,)( (97)
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com