Савина Н.В. Применение теории вероятности и методов оптимизации в системах электроснабжения
Подождите немного. Документ загружается.
111
Распределение дискретной случайной величины по закону Пуассона
Данное распределение рассматривается для неотрицательных
целочисленных значений случайной величины.
Вероятность того, что дискретная случайная величина, распределённая по
Пуассону, примет значение
m
, определяется по формуле:
!
m
m
e
р
m
λ
λ
−
=− , (82)
При этом вероятности значений составят ряд:
;)0(
λ−
= ep
λ
λ
−
= ep )1( ; ...5.0)2(
2 λ
λ
−
= ep ,
где
const
=
λ
.
Интегральная функция распределения равна:
00
!
m
mm
m
e
р
m
λ
λ
−
=
∑∑
(83)
а математическое ожидание и дисперсия равны
λ
:
(
)
(
)
М mDm
λ
==
.
При малых значениях
p
или
q
биноминальное распределение совпадает с
распределением Пуассона – законом редких явлений.
Оба рассмотренных закона применяются в теории надежности в
электроэнергетике.
Итак, систематизируем основные сведения о наиболее распространенных
в электроэнергетике законах распределения (см. табл. 1).
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
112
Таблица 1. Основные характеристики законов распределения вероятностей.
Вид распределения
Плотность вероятностей
f (х) или вероятность
р (m)
Функция
распределения
вероятности F (х)
Вероятность попадания в
интервал ),(
21
xx
Математическое
ожидание М (х)
Дисперсия
D (х)
Равномерное
в интервале ),( ba
1
ba
−
xa
ba
−
−
21
xx
ba
−
−
2
ав
+
(
)
2
12
ва
−
Простейшее
нормальное
распределение
2
2
1
2
х
е
π
−
()
11
22
Фх
+
( ) ( )
21
11
22
ФхФх
−
0 1
Нормальный закон
( )
2
2
2
1
2
х m
е
σ
σπ
−
−
11
22
х m
Ф
σ
−
+
21
11
22
х m х m
ФФ
σσ
−−
−
m
σ
Закон Релея
2
2
2
2
х
х
е
σ
σ
−
2
2
2
1
х
е
σ
−
−
22
12
22
22
хх
ее
σσ
−−
−
m
σ
Экспоненциальный
закон, при
0
х
≥
х
е
λ
λ
−
1
х
е
λ
−
−
12
хх
ее
λλ
−−
−
1
λ
2
1
λ
Экспоненциальный
закон со смещением
при
0
х
≥
(
)
,
хн
егде
н m
λ
λ
σ
−−
=−
(
)
1
хн
е
λ
−−
−
(
)
(
)
12
хнхн
ее
λλ
−−−−
−
1
λ
2
1
λ
Биноминальный
закон
( )
( )
!
!
mnm
n
р mpq
mnm
−
=⋅
−
0
i
n
m
i
p
=
∑
-
np
npq
Закон Пуассона
( )
!
m
е
pm
m
λ
λ
−
=
0
i
n
m
i
p
=
∑
-
λ
λ
112
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
113
2.5. Примеры решения практических задач систем электроснабжения,
основанных на модели «случайная величина»
Пример 1. Определить вероятность попадания случайной величины тока
в послеаварийном режиме в интервал, обусловленный допустимым нагревом
кабеля сечением (3х70)мм напряжением 10 кВ при нормальном законе
распределения и числовых характеристиках:
[
]
100;0,2
МАγ
Ι
Ι==.
По значениям
γ
Ι
и
[
]
М
Ι
определяем среднее квадратическое отклонение:
[
]
[
]
1100,222
МА
σγ
Ι
Ι=Ι=⋅= .
По справочным данным /1/ определяем длительно допустимый ток
данного кабеля:
.
130
длдоп
А
Ι=
.
Определяем вероятность попадания возможных значений тока в
заданный интервал:
(
)
(
)
[]
[]
[]
[]
( ) ()
.
.
00130
0
11
22
11301101011011
0,9095
22222222
11
0,63210,816.
22
длдоп
длдоп
pII р I
I ММ
ФФ
ФФФФ
σσ
<≤=<≤=
−Ι−Ι
=−=
ΙΙ
−−
=−=+=
⋅+⋅=
Полученное значение говорит о том, что вероятность попадания
возможных значений тока в послеаварийном режиме в допустимый по условию
нагрева интервал низка (имеются значения тока, превышающее допустимое),
следовательно, возможен тепловой пробой изоляции кабеля и отключение
линии, т.к. кабель в 18 случаях из 100 будет перегружен.
113
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
114
Пример 2. На зажимах электроприемника напряжение в течение суток
изменяется в диапазоне
(
)
0,931,1
ном
U
÷ .
При равномерном законе распределения определить длительность
работы электроприемника при отклонениях напряжения от номинального
значения, равных
5%
±
, равных
10%
±
.
Определим плотность распределения случайной величины.
( )
( )
111
5,88
1,10,93
номном
fU
ва UU
===
−−
.
Работа электроприемников при отклонениях напряжения
5%
±
равна
работе электроприемников при напряжении
(
)
0,951,05
ном
U
÷ .
Вероятность попадания случайной величины на участок
(
)
0,951,05
ном
U
÷
равна:
( )
21
1,050,95
0,951,05
1,10,93
1,050,95
0,588.
1,10,93
номном
номном
номном
UUUU
рUUU
ва UU
−−
≤<===
−−
−
==
−
Рис. 57
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
115
Длительность работы электроприемников при отклонениях напряжения
от номинального, составляющих
5%
±
, равна:
(
)
1
0,951,05240,5882414,1
номном
t
р UUU ч
=≤<⋅=⋅= .
Вероятность попадания в интервал
(
)
0,91,1
ном
U
÷ (при отклонениях
10%
±
ном
U
) равна:
(
)
( )
0,91,1;
1,10,93
0,931,11.
1,10,93
номном
номном
р UUU
р UUU
≤<
−
≤<==
−
Длительность работы электроприемников при отклонениях
10%
±
от
номинального значения равна:
(
)
2
0,931,12424
номном
t
р UUU ч
=≤<⋅= .
При отклонениях более
10%
±
ном
U
длительность работы
электроприемников равна 0, т.к.
(
)
1,10
ном
р UU
>=
.
Пример 3. Определить максимальное значение активной мощности
синхронного двигателя при ее нормальном законе распределения и заданной
вероятности 0,95; 0,997. Числовые характеристики равны:
[
]
[
]
900;150
МРкВтРкВт
σ==.
Определяем значения аргумента интеграла вероятности по заданной
вероятности
(
)
0,95
Ф α = по / 3 /.
При
(
)
0,95
Ф α =
2
α
=
, тогда
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
116
[
]
[ ]
( )
max
0,95.
РМР
ФФ
Р
α
σ
−
==
Отсюда
[
]
[]
max
РМР
Р
α
σ
−
=
;
[
]
[
]
max
90021501200
рМРРкВт
ασ=+⋅=+⋅= .
При
(
)
0,9973
Ф αα
==
, тогда
[
]
[]
max
РМР
Р
α
σ
−
=
;
[
]
[
]
max
90031501350
РМРРкВт
ασ=+=+⋅= .
Пример 4. Во время вечернего максимума нагрузки согласно
диспетчерского графика нагрузки подстанции принимают значения:
40 МВт с вероятностью 0,8;
30 МВт с вероятностью 0,05;
35 МВт с вероятностью 0,15.
Определить математическое ожидание нагрузки во время вечернего
максимума:
[
]
(
)
400,8300,05350,1538,75
ipi
МРрРМВт
=Σ=⋅+⋅+⋅= .
Пример 5. Определить как изменяется вероятность безотказной работы
силового трансформатора при экспоненциальном законе распределения за 10
лет эксплуатации, если не проводить текущие ремонты. Частота отказов
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
117
трансформатора равна
1
0,014
год
.
Плотность распределения вероятности при экспоненциальном законе
распределения имеет вид:
(
)
t
ft
е
λ
λ
−
= ,
где
[]
1
М t
λ = - частота отказов;
[
]
М t
- среднее время (математическое ожидание) рабочего состояния
трансформатора.
Определим, как изменится вероятность безотказной работы силового
трансформатора, пользуясь выражением для определения вероятности
попадания возможных значений случайной величины – времени безотказной
работы – в заданный интервал – рассматриваемый срок эксплуатации, т.е. в
интервал (0; 10) лет.
(
)
2
12
1
10
0,01400,01410
.
0
0,1306
t
tt
рабнар
t
рТ t ееее
λλ
=
−− −⋅−⋅
=
>=−==.
Как показали расчеты, если не проводить текущие ремонты, то
вероятность безотказной работы трансформатора снизится на 0,1316 и составит
0,8694, что недопустимо.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
118
Вопросы для самопроверки
1. Как находится математическое ожидание?
2. Как изменится вид кривой плотности распределения, если величина
математического ожидания увеличилась, а другие параметры закона
распределения не изменились?
3. Как изменится вид кривой плотности распределения, если величина
дисперсии уменьшилась, а другие параметры закона распределения не
изменились?
4. Какие особенности имеет закон распределения Пуассона?
5. Каковы особенности и область применения в электроэнергетике закона
равномерной плотности случайной величины?
6. Как выглядит кривая плотности нормального закона распределения,
усеченного нормального закона?
7. Укажите последовательность применения модели "случайная
величина" при исследовании изменения уровня напряжения.
8. Что такое корреляционный момент и как он определяется?
9. Что такое коэффициент вариации, для чего он вводится?
10. Чем отличается плотность распределения одной случайной величины
от плотности распределения двух случайных величин?
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
119
Глава 3. Статистические исследования на уровне случайных величин
3.1. Задачи, решаемые с помощью методов математической статистики в
электроэнергетике
Решение любых задач с применением теории вероятностей в тех случаях,
когда используется их статистическое определение, невозможно без получения
соответствующего статистического материала, базирующегося на большом
количестве опытов или наблюдений. При исследовании случайных процессов в
реальных условиях обычно имеют дело не с бесчисленным множеством
значений случайной величины, называемым генеральной совокупностью, а с
ограниченным числом её возможных значений, называемым выборкой из
генеральной совокупности (см. рис. 58).
t
∆
- интервал дискретизации
Рис. 58. Изменение напряжения:
()
Ut
- генеральная совокупность
(
)
(
)
(
)
(
)
12
,...,...,
iN
UtUtUtUt
выборка
− .
Следовательно, возникают задачи, связанные с правильной обработкой
статистических материалов, т.е. выборкой из генеральной совокупности, и
приданием им формы, удобной для последующего применения методов теории
вероятностей.
Раздел теории вероятностей, занимающийся регистрацией, обработкой и
анализом статистических данных, называют математической статистикой.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
120
Какие же задачи электроэнергетики решают с помощью математической
статистики? К ним можно отнести следующий круг задач:
1. Исследование параметров режима систем электроснабжения.
2. Анализ качества электроэнергии.
3. Определение электрической нагрузки и электропотребления.
4. Прогнозирование электропотребления.
5. Определение спроса на электроэнергию.
6. Анализ токов короткого замыкания.
7. Анализ работы изоляции электроустановок при воздействии рабочего
напряжения и перенапряжений.
8. Анализ повреждаемости электроустановок и определение надежности
систем электроснабжения.
Прежде чем перейти к их изучению, нам необходимо ознакомиться с
методами математической статистики. В математической статистике
пользуются статистической вероятностью, так как любую непрерывную
случайную величину представляют дискретной, т.е. выборкой из генеральной
совокупности, а возможные её значения появляются с вероятностью,
определяемой как вероятность случайного события, т.е.
/
р mn
=
.
3.2. Закон больших чисел и следствия из него
Рассмотрим вопрос о точности определения статистической вероятности
какого-либо события. Под статистической вероятностью понимают
n
m
p = при
∞
→
n
. Существует теорема Чебышева, которая устанавливает связь между
математическим ожиданием случайной величины и средним арифметическим
при достаточно большом числе опытов.
При достаточно большом числе независимых опытов среднее
арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по
вероятности к её математическому ожиданию.
Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого вспомним смысл
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com