Савина Н.В. Применение теории вероятности и методов оптимизации в системах электроснабжения
Подождите немного. Документ загружается.
131
где
jk
р
∗
- значение статистической функции распределения; оно равно сумме
вероятностей попадания случайной величины в разряды от первого
до
ктого
−
включительно.
Достаточно построить статистическую функцию распределения по
нескольким точкам. В качестве этих точек можно взять границы
12
,,...
j
ххх
разрядов, которые фигурируют в вариационном ряде (см. рис. 60).
F(x)
x
0
1
x
2
x
j
x
j+1
x
n
x
*
1
P
=
∑
m
*
j
1
P 1
+
* *
1 2
P P
+ +
* * *
1 2 3
P P P
Рис. 60
Что же собой представляет гистограмма? Это графическое изображение
статистического закона распределения случайной величины, но не всей
случайной величины, а ее выборки. Теперь нужно определить, а будет ли
полученный закон соответствовать всей генеральной совокупности?
Имея набор графических изображений теоретических законов
распределения вероятностей, можно выдвинуть гипотезу о том, что
вероятность случайной величины распределена по тому или иному закону. Для
аналитической записи принятого закона распределения необходимо рассчитать
числовые характеристики случайной величины. Не следует забывать, что
числовые характеристики сами по себе несут определенную информацию о
случайной величине, а в сочетании с законом распределения вероятностей
получаем полное описание случайной величины с вероятностных позиций. Так,
по гистограмме выдвинута гипотеза, что вероятность случайной величины
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
132
распределена по нормальному закону. В этом случае, чтобы записать
выражение для плотности распределения вероятностей нужно знать
математическое ожидание, дисперсию. Следовательно, нужно уметь
определять их по выборке, а не по всей генеральной совокупности.
3.4. Определение оценок числовых характеристик случайной величины
По имеющемуся статистическому ряду наблюдений случайной величины
можно определить ее статистическое математическое ожидание или оценку
математического ожидания:
[ ]
∑
=
==
n
i
i
n
X
XMX
1
*
, (98)
где
i
X - наблюденное значение;
n
- число испытаний.
Т.е. статистическое математическое ожидание – это среднее
арифметическое. Согласно теореме Чебышева, при достаточно большом
n
среднее арифметическое случайной величины сходится к ее математическому
ожиданию. Таким образом, им мы без особой погрешности можем заменить
математическое ожидание.
Аналогично статистическая дисперсия стремится к истинной дисперсии
при неограниченном значении
n
[ ]
[
]
2
2*
1
()
n
i
i
xMx
SDX
n
=
−
==
∑
.
Однако пользоваться последней формульной практически нельзя, т.к.
истинное значение математического ожидания неизвестно.
Если же заменить его на статистическое значение
X
, то при увеличении
числа испытаний
n
величина
2
1
i
i
n
i
x
x
n
n
=
−
∑
∑
стремится не к дисперсии
D
, а к
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
133
1
n
D
n
−
, т.е.
2
1
i
i
nx
DMx
nn
=−
−
∑
. Доказательство данного положения
приводится в теории вероятностей.
Величину
2
i
i
x
Mx
n
−
∑
можно заменить на
2
1
i
i
n
i
x
x
n
n
=
−
∑
∑
.
Тогда
( )
22
2
11
2*
1
.
(1)(1)1
nn
n
ii
ii
i
ii
i
xx
nxx
xx
nn
SD
nnnn
==
=
−−
−
====
−⋅−−
∑∑
∑∑
∑
А стандартное или среднее квадратическое отклонение равно
( )
2
*2
1
1
n
i
i
xx
SS
n
σ
=
−
===
−
∑
.
Рассмотрим физический смысл полученных статистических числовых
характеристик. Поскольку имеем выборку, а не генеральную совокупность, то
статистические числовые характеристики не истинные значения, а их оценки.
Обратимся к рис. 61.
Δx
Рис. 61
Здесь вероятность случайной величины Х распределена по нормальному
закону с истинным
[
]
Mx
.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
134
Допустим мы произвели два опыта, получили значения случайной
величины:
12
,
xx
; нашли их среднее арифметическое, т.е. оценку
математического ожидания
1
X
.
Покажем на рисунке. Очевидно,
1
X
будет отличаться от
[
]
Mx
. Причем
любое третье измеренное значение случайной величины,
23
xx
−
будет влиять
на положение
X
на оси ОХ и на величину разности
[
]
XMXX
∆=−
.
Это обстоятельство будет наиболее значимым при малом
n
. Очевидно,
что при увеличении
n
результат каждого отдельного испытания не будет
оказывать большого влияния на среднее арифметическое, т.е. будет
нивелироваться, что говорит об устойчивости среднего арифметического. Чем
больше
n
, тем меньше размах
[
]
XMXX
∆=−
и в пределе стремится к нулю.
То есть имеем равенство: []
MXX
≈
.
Это приближенное равенство можно заменить точным []
MXXX
=±∆
или записать неравенством []
XXMXXX
−∆≤≤+∆
, где
X
- оценка
математического ожидания или статистическое математическое ожидание.
Определим, что же такое
X
∆
и попробуем оценить смысл полученного
неравенства.
3.5. Доверительный интервал и доверительная вероятность
Проанализируем равенство []
MXXX
=±∆
.
Здесь
X
∆
- оценка абсолютной погрешности математического ожидания.
Чем больше
X
∆
, тем с большей погрешностью оно определено и
наоборот.
X
- точечная оценка математического ожидания. Она дает возможность
определить его численное значение. Но нам нужно знать, с какой точностью и
надежностью оно определено, то есть требуется знать к каким ошибкам может
привести замена параметра
[
]
,,...
aMD его точечной оценкой
2
,,...
aXS
и с
какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
135
известные пределы. Такого рода задачи в электроэнергетике особенно
актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка числовых
характеристик в значительной мере случайна и приближенная замена
a
на
a
может привести к серьезным ошибкам.
Чтобы дать представление о точности и надежности оценки
a
, в
математической статистике пользуются так называемыми доверительными
интервалами и доверительными вероятностями.
Вернемся к неравенству: []
XXMXXX
−∆≤≤+∆
.
Оно означает, что неизвестное значение числовой характеристики, в
данном случае математического ожидания, попадает в интервал
(;)
XXXX
−∆+∆
.
Назовем его доверительным интервалом
I
β
. Интервал
(;)
XXXX
−∆+∆
,
который накрывает истинное математическое ожидание
[
]
Mx
с
заданной вероятностью
β
является доверительным.
Введем понятие надежности результата измерений.
Надежностью результата измерений (наблюдений) называется
вероятность
β
, того, что данный доверительный интервал
(;)
XXXX
−∆+∆
накрывает истинное значение математического
ожидания
[
]
Mx
исследуемой случайной величины. Другое название
надежности – доверительная вероятность.
Рассмотрим данные понятия на числовой оси (см. рис. 62).
ε = Δx
ε = Δx
Рис. 62. Понятие доверительной вероятности (надежности измерений)
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
136
Чем больше величина доверительного интервала, т.е. больше задаваемая
погрешность
X
ε
∆=
, тем с большей надежностью
β
доверительный интервал
накроет истинное значение
[
]
Mx
. Естественно, что величина надежности
β
зависит от
n
и
ε
(вспомним три задачи математической статистики). Так, для
нормального закона распределения при
30
n
≥
, выбирая погрешность
XS
ε
=∆=
, получим
(1)0,68
β
=
; при
2
XS
∆=
(2)0.95
β
=
; при
3
XS
∆=
(2)0.997
β
=
.
Графически величина надежности показана заштрихованной площадью
под кривой нормального распределения (см. рис. 63).
Δx
S
Δx
S
Δx
S
Рис. 63. Понятие доверительной вероятности (надежности измерений)
Другими словами, истинное математическое ожидание
[
]
Mx
окажется за
пределами доверительного интервала с вероятностью
(1)
β
−
. Эта величина
называется уровнем значимости и обозначается
α
:
(1)
αβ
=−
.
Уровень значимости
α
выражается в процентах или относительных
единицах.
Понятиями доверительный интервал и доверительная вероятность
широко пользуются в электроэнергетике. Например, при определении
расчетной (максимальной) нагрузки статистическим методом, исследовании
состояния изоляции, качества электроэнергии.
Так, расчетную нагрузку можно представить следующим образом:
3()
р
PPSP
=+ , (99)
где
P
- оценка математического ожидания нагрузки;
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
137
()
SP
- оценка ее среднего квадратического отклонения.
Данное выражение говорит, что с вероятностью
0.997
β
=
мы
гарантируем, что расчетная максимальная нагрузка не превысит величины
3()
PSP
+ . По этой величине выбираются все элементы систем
электроснабжения с учетом допустимого их нагрева. Очевидно, при
уменьшении требований к надежности увеличивается риск, что истинное
значение
[]
m
MP
будет больше ее оценки
m
P
, тогда элемент сети может выйти
из строя (перегореть).
А как найти количественные оценки границ доверительного интервала? В
соответствии с рис. 63
X
∆
может быть представлен выражением
,
XtS
β
∆=
(100)
где
t
β
- некоторый численный коэффициент, зависящий от доверительной
вероятности.
Этот коэффициент может быть принят за меру, характеризующую
доверительный интервал
I
β
, а следовательно, и
X
∆
.
Не вдаваясь в теоретическое рассмотрение этого вопроса, отметим, что
коэффициент
t
β
был впервые предложен в 1908 г. английским математиком и
химиком Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом
«Стьюдент». Отсюда и название коэффициента
t
β
- коэффициент Стьюдента.
Его величина зависит от
n
и
β
и является справочным значением, которое
приведено, например в /4/:
(
)
,
tfn
β
β= . (101)
Итак
,
XtS
β
∆=
(102)
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
138
а доверительный интервал
(
)
;
IXtSXtS
βββ
=−+
. (103)
Тогда
[]
XtSMXXtS
ββ
−≤≤+ . (104)
Пример: при исследовании напряжения на шинах подстанции получены
следующие оценки математического ожидания и дисперсии:
U
=9,6 кВ и
()
SU
=0,25 кВ
2
. Определить доверительный интервал
I
β
, накрывающий
истинное значение математического ожидания напряжения с доверительной
вероятностью 0.95.
(
)
;
IXtSXtS
βββ
=−+
или
();()
IUtSUUtSU
βββ
=−+
.
По
0.95
β
=
определим
1.96
t
β
=
/4/. Подставляя оценки числовых
характеристик, получим
[
]
(
)
9,61,960,5;9,61,960,58,62;10,58I
кВ
β
=−⋅+⋅= .
Доверительный интервал для дисперсии равен
22
22
;
SS
IStSt
βββ
σσ
=−+
;
2
2
2
1
S
S
n
σ =
−
.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
139
Пример.
Найти доверительный интервал для дисперсии мощности или
интервальную оценку, если проведено 20 опытов (измерений мощности) при
0,8
β
=
. Точечные оценки числовых характеристик мощности равны
[
]
*
10,78
MP= МВт;
[
]
*
0,064
DP= МВт
2
.
Доверительный интервал для дисперсии определяется выражением
° °
**
;
DD
IDtDt
βββ
σσ
=−+
,
где
*
22
0,0640,0207
1201
D
D
n
σ==⋅=
−−
.
Определим коэффициент Стьюдента: при
0,8
β
=
и n=20
1,282
t
β
=
/4/ и
доверительный интервал
[
]
0,0641,2820.0207;0,0641,2820.0207
I
β
=−⋅+⋅=
[
]
0,0375;0,0905
= МВт
2
. Итак
[
]
0,0375;0,0905
I
β
= МВт
2
.
Необходимо обратить внимание на следующее. Ранее мы рассматривали
вероятность того, что случайная величина попадет в заданный, т.е.
неслучайный интервал. Здесь дело обстоит иначе: величина
[
]
Mx
неслучайна.
Зато случаен доверительный интервал, т.е. его положение на числовой оси с
центром
X
. Его ширина зависит от от
n
и
β
, поэтому правильно говорить, что
β
не вероятность попадания точки
[
]
Mx
в доверительный интервал, а
вероятность того, что случайный интервал с доверительными границами
накроет точку
[
]
Mx
.
В электроэнергетике приемлемой надежностью считают надежность или
доверительную вероятность
0,95
β
=
. Исключение составляет расчет
электрических нагрузок, расчет зон молниезащиты, где
0,997
β
=
и анализ
надежности с помощью экспоненциального закона распределения
вероятностей, где
0,9
β
=
. Величина доверительной вероятности зависит от
погрешности, с которой получена исходная информация.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
140
3.6. Аппроксимация статистического распределения вероятностей
теоретическим
Вернемся к гистограмме. Мы остановились на том, что выдвинули
гипотезу Н
0
о теоретическом законе распределения вероятностей случайной
величины и определили числовые характеристики, которые используются в
аналитических выражениях теоретического закона распределения. Например,
выдвинули гипотезу, что вероятность случайной величины распределена по
нормальному закону.
Плотность распределения вероятности по этому закону записывается
следующим аналитическим выражением:
2
2
()
2
1
()
2
xm
xe
σ
ϕ
σπ
−
−
= . (105)
У нас нет истинных значений
m
и
σ
, но есть их оценки, которые с
достаточной точностью и надежностью заменяют истинные
m
и
σ
. Это
X
и
S
. Тогда, подставляя в формулу плотности вероятности вместо
m
и
σ
их
оценки, можно рассчитать величину плотности вероятности для любого
значения
j
X
:
2
2
()
2
1
()
2
j
xx
S
xe
S
ϕ
π
−
−
= . (106)
Приняв за
j
X середины или границы разрядов вариационного ряда,
получим таблицу значений теоретической плотности распределения
вероятностей, правда при подстановке оценок
m
и
σ
вместо их истинных
значений использовались их оценки
X
и
S
:
j
X
1
X
2
X
…
m
X
)(x
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
…
ь
ϕ
Здесь j = 1, 2, … m, где
m
- число разрядов.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com