Савина Н.В. Применение теории вероятности и методов оптимизации в системах электроснабжения
Подождите немного. Документ загружается.
261
7.4. Методы нелинейного программирования применительно к решению
задач оптимизации СЭС
Общая характеристика методов нелинейного программирования
Большое число встречающихся при проведении оптимизационных
расчетов СЭС задач на практике не могут быть решены методами линейного
программирования. В этих случаях, в зависимости от вида математической
модели, могут быть использованы методы нелинейного, динамического,
целочисленного программирования. Остановимся вкратце лишь на некоторых
из этих методов, доступных и для «ручного» счета, что поможет в дальнейшем
при подробном изучении методов оптимизации.
Задача нелинейного программирования в общем виде формулируется
следующим образом /2,3/.
Минимизировать F(
П
) при ограничениях
112
212
1212
(,,...,)0;
(,,...,)0;
(,,...,)0;0;0;0,
k
k
lkk
fППП
fППП
fПППППП
≥
≥
≥≥≥≥
LLLLL
K
(219)
где функции F(П
1
, П
2
, …,П
k
) и f
i
(П
1
, П
2
, …,П
k
) в общем случае нелинейны.
В отличие от задач линейного программирования для задач нелинейного
программирования общего метода решения нет. В задаче линейного
программирования допустимое множество (ограничения) всегда является
выпуклым с конечным числом крайних точек. Используя аппарат симплекс-
метода и перебрав только крайние точки, всегда за конечное число итераций
можно найти оптимальное решение. Напротив, в задачах нелинейного
программирования, если в ограничениях есть нелинейность, выпуклость
(вогнутость) допустимого множества и конечность числа его крайних точек
необязательны. Из-за этих особенностей и возникают основные трудности
решения задач нелинейного программирования.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
262
Классический метод определения условного экстремума
Для определения условного экстремума могут быть использованы методы
дифференциального исчисления, когда F(
П
) имеет не ниже второй
производной. Процесс решения задачи заключается в определении внутри
допустимого множества всех стационарных точек функции F(П
1
, …,П
k
),
удовлетворяющих условию
;0
дП
)П,...,П,П(дF
j
k21
= (j=1, 2,…, k).
Затем все найденные стационарные точки проверяются на максимум (минимум)
и сравниваются с максимальными (минимальными) значениями, которых
достигает целевая функция на границах допустимого множества.
Недостатком классического метода является отсутствие
стандартизованного метода, пригодного для любых видов ограничений.
Пример. Найти максимум функции
F(П
1
, П
2
)=10П
1
+20П
2
+П
1
П
2
–2П
1
2
–2П
2
2
при П
1
≥0; П
2
≥0.
Для определения относительного экстремума функции F(П
1
, П
2
) имеем
два уравнения:
0П4П10
дП
дF
12
1
=−+= ; 0П4П20
дП
дF
21
2
=−+= ,
решив которые, найдем П
1
0
= 4; П
2
0
= 6.
Чтобы доказать, что найденные стационарные точки являются точками
максимума (минимума), необходимо исследовать F(
П
) в окрестности
стационарных точек и определить, является ли она выпуклой (вогнутой).
Необходимые для такого доказательства теоремы рассмотрены в курсе
дифференциального исчисления.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
263
Метод неопределенных множителей Лагранжа
Используя метод множителей Лагранжа, можно отыскать максимум (или
минимум) функции при ограничениях типа равенств. Поскольку, как было
показано ранее, в большинстве случаев с введением дополнительных
неизвестных удается перейти от неравенств к равенствам, метод множителей
Лагранжа получил широкое распространение.
Основная идея метода заключается в переходе от задачи на условный
экстремум к задаче отыскания экстремума специально построенной функции
Лагранжа без ограничений.
Рассмотрим следующую задачу.
Минимизировать
F (П
1
, П
2
, …, П
k
) (220)
при ограничениях
112
212
12
(,,...,)0;
(,,...,)0;
(,,...,)0,
k
k
lk
fППП
fППП
fППП
=
=
=
LLLLL
(221)
причем функции F(
П
) и
()
f
П
предполагаются дифференцируемыми. Вводится
набор переменных λ
1
, …, λ
l
(по числу функциональных ограничений), которые
называются множителями Лагранжа, и составляется функция Лагранжа
следующего вида:
L (П
1
, П
2
, …, П
k,
λ
1
, …, λ
l
) = F (П
1
, …, П
k
)+
( )
l
lf
П ,...,П
ii1k
i=1
∑
. (222)
Точка П
1
0
, …, П
k
0
представляет собой решение задачи (220) при
ограничениях (221), если будут выполнены следующие равенства:
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
264
0),...,,П,...,П,П(L
дП
дL
l1
0
k
0
2
0
1Пj
i
== λλ , (223)
(j=1, 2, …, k);
0),...,,П,...,П,П(L
д
дL
l1
0
k
0
2
0
1i
i
== λλ
λ
λ
, (224)
(i=1, 2, …, l).
При использовании метода неопределенных множителей Лагранжа для
функции вида (220) и ограничений вида (221) применяется следующий
алгоритм.
Шаг 1. Составляется функция Лагранжа (222).
Шаг 2. Находятся частные производные выражения (222) по всем
переменным П
j
(j=1, …,k) или λ
i
(i=1, …,l) и составляется система, включающая
(k+l) уравнений (223) и (224) с (k+l) переменными.
Шаг 3. Решаются уравнения (223) и (224) и находятся значения
параметров П
1
0
, П
2
0
, …, П
k
0
, соответствующие экстремуму функции F(
П
).
Шаг 4. В полученной точке экстремума исследуется функция F(П) на
максимум (или минимум).
Пример. Электроэнергия потребителю может быть передана от двух
источников питания. Обозначим W
1
и W
2
количество электроэнергии в год,
передаваемое от первого и второго источников соответственно.
Ежегодные затраты на выработку и передачу электроэнергии от каждого
из источников З
1
(W
1
) и З
2
(W
2
) определяются выражениями
З
1
(W
1
) = а
0
+ а
1
W
1
+ а
2
W
1
2
, (а
0
, а
1
, а
2
> 0);
З
2
(W
2
) = b
0
+ b
1
W
2
+ b
2
W
2
2
, (b
0
, b
1
, b
2
> 0).
В течение года потребителю требуется W
r
электроэнергии. Здесь
W
r
= W
1
+W
2
– ограничение.
Требуется распределить электроэнергию от источников потребителю
таким образом, чтобы общие затраты были минимальны.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
265
Решение. Функция Лагранжа для этой задачи
L (W
1
, W
2
, λ) = а
0
+ а
1
W
1
+ а
2
W
1
2
+ b
0
+ b
1
W
2
+ b
2
W
2
2
+ λ (W
r
– W
1
–W
2
),
откуда
,0Wa2a
дW
дL
L
121
1
W
1
=−+== λ
,0Wb2b
дW
дL
L
221
2
W
2
=−+== λ
.0WWW
д
дL
L
21r
=−−==
λ
λ
Решая эту систему, находим искомые значения W
1
0
и W
2
0
:
;
)ba(2
ab
W
ba
b
W
22
11
r
22
2
0
1
+
−
+
+
=
.
)ba(2
ab
W
ba
a
W
22
11
r
22
2
0
2
+
−
+
+
=
Минимальное значение среднегодовых затрат при этом составит
З
мин
= а
0
+ а
1
W
1
0
+ а
2
(W
1
0
)
2
+ b
0
+ b
1
W
2
0
+ b
2
(W
2
0
)
2
.
Метод золотого сечения
Этот метод обладает такими достоинствами, как простота и достаточно
высокая эффективность. Применяется для отыскания экстремума функции
одной переменной, заданной на определенном интервале.
Введем обозначение:
r = 0,5· (
51
−
)=0,618033… (225)
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
266
Значение этой константы станет ясным после того, как будет изложен
алгоритм поиска экстремального значения функции F(П), где П находится на
сегменте I[П
мин
, П
мак
].
Шаг 1. Примем А
1
=П
мин
; А
2
=П
мак
, Н=А
2
–А
1
, П
лев
=А
1
+r
2
Н, П
прав
=А
1
+rН.
Шаг 2. Сравним F(П
лев
) и F(П
прав
). В зависимости от результатов
сравнения перейдем к шагу 3 или к шагу 4.
Шаг 3. Если F(П
лев
) < F(П
прав
), примем А
2
=П
прав
и Н=П
прав
– А
1
. Прекратим
расчеты, если значение Н достаточно мало. В противном случае в качестве
нового П
прав
выберем предыдущее П
лев
, а в качестве нового П
лев
–
точку
(А
1
+ r
2
Н). Возвратимся к выполнению шага 2.
Шаг 4. Если F(П
лев
) > F(П
прав
), примем А
1
=П
лев
и Н=А
2
– П
лев
. Прекратим
расчеты, если значение Н достаточно мало. В противном случае в качестве
нового П
лев
выберем предыдущее П
прав
, а в качестве нового П
прав
–
точку
(А
1
+ rН). Возвратимся к выполнению шага 2.
При заданном в выражении (225) значении r алгоритм обладает тремя
важными свойствами. Во-первых, после каждой итерации новое значение Н в
1/r раз меньше предыдущего значения Н. Следовательно, после n итераций
оптимальное значение П
0
находится на известном сегменте, длина которого
равна r
n
(П
мак
- П
мин
). Значения r
n
для n≤10 представлены в табл. 4.
Таблица 4
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r
n
0,6180
0,3820
0,2361
0,1459
0,0902
0,0557
0,0344
0,0213
0,0132
0,0081
Во-вторых, после каждой итерации П
лев
и П
прав
находятся на одинаковом
расстоянии от ближайших к ним концов сегмента, т.е. П
лев
– А
1
= А
2
- П
прав
.
В-третьих, при выполнении шага 2 (на всех итерациях, кроме первой)
новой является только одна из точек П
лев
и П
прав
, так что необходимо
дополнительно вычислить только одно значение F(П).
Отметим, что адаптивный процесс (процесс последовательного
уточнения решения) обеспечивает получение информации только о сегменте,
на котором находится оптимальное значение П
0
. Однако для практических
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
267
расчетов, например, при выборе оптимальных сечений проводов и кабелей,
оптимальной мощности трансформаторов, оптимального номинального
напряжения и т.п. этот метод достаточно эффективен.
Пример. Задана функция
06;
()
12612.
ПприП
FП
ПприП
≤≤
=
−≤≤
Найти область оптимальных значений параметра П.
Расчет удобно вести в табличной форме (табл.5). Исходный сегмент
принимаем равным I[0; 10].
Таблица 5
Итерация
Шаг Результаты расчета
0 1 А
1
=0; А
2
=10; Н=10; П
лев
=3,82; П
прав
= 6,18
1 2
4
F(3,82)=3,82; F(6,18)=5,82;
А
1
=3,82; (А
2
=10); Н=10-3,82 =6,18;
П
лев
=6,18 ; П
прав
= 3,82+(0,618)6,18=7,64
2 2
3
F(6,18)=5,82; F(7,64)=4,36;
(А
1
=3,82); А
2
=7,64; Н=7,64-3,82 =3,82;
П
прав
=6,18 ; П
лев
= 3,82+(0,382)3,82=5,28
3 2
4
F(5,28)=5,28; F(6,18)=5,82;
А
1
=5,28; (А
2
=7,64); Н=7,64-5,28 =2,36;
П
лев
=6,18 ; П
прав
= 5,28+(0,618)2,36=6,74
В данном примере расчет практически может быть закончен на четвертой
итерации. Оптимальным является единственная точка при П=6 и F(П)=6 (легко
проверить графически, построив прямые линии заданной функции F(П)).
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
268
Вопросы для самопроверки
1. Назовите область применения методов линейного программирования,
приведите конкретные примеры возможности его применения.
2. Какие виды алгебраических преобразований линейных
оптимизационных моделей вы знаете?
3. Что такое симплексный метод? Что дает его применение?
4. В каких задачах электроэнергетики применяется симплексный метод?
5. Дайте общую характеристику задачи о выборе оптимальной
конфигурации электрической сети.
6. В чем сущность метода условного экстремума?
7. Оптимизация СЭС с помощью метода неопределенных множителей
Лагранжа.
8. Метод золотого сечения и его сущность.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
269
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. В.М. Блок, Г.К. Обушев, Л.Б. Паперно и др. Пособие к курсовому и
дипломному проектированию для электроэнергетических специальностей:
Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высш. школа, 1981. – 304 с.
2. Вагнер Г. Основы исследования операций: В 2-х т. – М.: Мир, 1973.
3. Электрические системы. Кибернетика электрических систем / Под ред.
В.А, Веникова. – М.: Высш. школа, 1974. – 328 с.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. –
М.: Радио и связь, 1983. – 416 с.
6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее
инженерное применение. – М.: Высш. школа, 2000. – 383 с.
7. Гук Ю.Б. Анализ надежности электроэнергетических установок. – Л.:
Энергоатомиздат, 1988. – 224 с.
8. Жежеленко И.В., Саенко Ю.Л. Показатели качества электроэнергии и их
контроль на промышленных предприятиях. – М.: Энергоатомиздат, 2000. –
252 с.
9. Жежеленко И.В. и др. Оптимизация систем электроснабжения
целлюлозно-бумажных предприятий / Жежеленко И.В., Долгополов В.П.,
Слепов Ю.В., Хойнов В.И. – М.: Лесная промышленность, 1980. – 200с.
10. Жежеленко И.В., Саенко Ю.Л., Степанов В.П. Методы вероятностного
моделирования в расчетах характеристик электрических нагрузок
потребителей. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 128 с.
11. Жежеленко И.В., Савина Н.В., Саенко Ю.Л. Повышение эффективности и
качества электроснабжения промышленных предприятий. – К.: РДЭНТП. –
24 с.
12. Железко Ю.С. Выбор мероприятий по снижению потерь электроэнергии в
электрических сетях: Руководство для практических расчетов. – М.,
Энергоатомиздат, 1989. – 176 с.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
270
13. Железко Ю.С., Артемьев А.В., Савченко О.В. Расчет, анализ и
нормирование потерь электроэнергии в электрических сетях: Руководство
для практических расчетов. – М., изд-во НЦ ЭНАС. 2005. – 280 с.
14. Зайченко Ю.П. Исследование операций. – Киев: Вища школа, 1975. – 319с.
15. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М:
Статистика, 1979. – 279 с.
16. Коваленко И.Н. Теория вероятности и математическая статистика. – М.:
Высш. шк., 1982. – 256 с.
17. Китушин В.Г. Надежность электрических систем. – Новосибирск: изд-во
НГТУ, 2003. – 256 с.
18. Курбацкий В.Г., Родина С.И. Методы и модели оптимизации развития
электроэнергетических систем. – Братск: ГОУ ВПО «Бр.ГТУ», 2003. –
108 с.
19. Миронов С.Ф., Слепов Ю.В., Степанов В.П. Оптимизация систем
электроснабжения. Конспект лекций. Куйбышев: КПТИ, 1984. – 41 с.
20. Модели оптимизации развития энергосистем: Учеб. для электроэнергет.
спец. вузов / Д.А. Арзамасцев, А.В. Липес, А.Л. Мызин; Под ред. Д.А.
Арзамасцева. – М.: Высш. шк., 1987. – 272 с.
21. Оптимизация режимов электростанций и энергосистем: Учеб. для вузов /
В.А. Веников, В.Г. Журавлев, Т.А. Филиппова. – М.: Энергоиздат, 1981. –
464 с.
22. Оптимизация параметров электрических сетей. Под ред. Г.В.
Сербиновского. – М.: Энергия, 1978. – 144 с.
23. Оптимизация режимов энергетических систем / Под ред. В.М. Синькова. –
Киев: Вища школа, 1976. – 307 с.
24. Расчеты и анализ режимов работы сетей / Под ред. В.А. Веникова. – М.:
Энергия, 1974. – 335 с.
25. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая
статистика. – М.: Наука, 1985. – 320 с.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com