Савина Н.В. Применение теории вероятности и методов оптимизации в системах электроснабжения
Подождите немного. Документ загружается.
101
()
ха
F х
ва
−
=
−
,
она изменяется по линейному закону (см. рис. 49)
Графически:
Рис. 48. Закон распределения равномерной величины
Рис. 49. Функция распределения равномерной величины
Вероятность попадания х в интервал ),(
21
xx при
1212
;xaxb
и xx
≥≤<
равна:
22
11
21
12
1
()()
хх
хх
xx
Px х xfxdxdx
baba
−
≤<===
−−
∫∫
. (66)
Данный закон распределения вероятностей широко используется при
анализе погрешностей измерений параметров режима, расхода электроэнергии,
анализа качества электроэнергии.
Рассмотрим, чему равны числовые характеристики при равномерном
законе распределения.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
102
2
22
[]
2()2()2
b
в
a
а
x
xbaab
M х dx
bababa
−+
====
−−−
∫
, (67)
т.е. математическое ожидание соответствует середине интервала границ
существования рассматриваемой случайной величины. Аналогично можно
вывести выражение для дисперсии при равномерном законе распределения:
12
)(
2
ab
D
−
= . (68)
Пример. Определить вероятность попадания возможных значений тока,
протекающего по проводнику, в заданный интервал, если числовые
характеристики соответственно равны:
[
]
[
]
2
100;100
МАDА
Ι=Ι= .
Рассмотреть на примерах следующих интервалов:
(
)
(
)
(
)
90110;115;90,
III
А
<<<>.
Числовые характеристики случайной величины при равномерном законе
распределения определяются по выражениям:
( )
2
2
12
ав
М
ва
D
+
=
−
=
или
2
23
ав
М
ва
σ
+
=
−
=
где
2
D
σ
=
.
Решая полученную систему уравнений, определим границы закона
распределения а; в:
3;
3.
аМ
вМ
σ
σ
=−
=+
В нашем случае:
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
103
[
]
[
]
[] []
310031082,7;
3100310117,3.
аМА
вМА
σ
σ
=Ι−⋅Ι=−⋅=
=Ι+⋅Ι=+⋅=
Плотность закона распределения равна:
() ( )
11
0,0291/
117,382,7
fI
А
ва
===
−−
.
Построим равномерный закон распределения:
Рис. 50
Определяем вероятности попадания в заданный интервал,
предварительно показав его на графике закона распределения:
Рис. 51
( )
21
11090
901100,8
117,382,7
р I
ва
Ι−Ι−
<<===
−−
;
( ) ( ) ( )
11582.7
115011582,71150.95
117.382.7
р I р I р I
−
<=<<=<<==
−
.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
104
Примечание: в интервале от 0 до 82,7 ток для данного закона
распределения не существует.
Рис. 52.
( ) ( )
117,390
9090117.30,8
117,382,7
р I р I
−
>=<<==
−
.
Примечание: в интервале от 117,3 до ∞ ток для данного закона
распределения не существует.
Простейшее нормальное распределение
Простейшим нормальным называют распределение вероятностей
непрерывной случайной величины, если ее дифференциальная функция имеет
вид:
2
2
1
()
2
x
fxe
π
−
= . (69)
В этом случае функция распределения равна:
2
2
111
()()
22
2
х
x
Fxedx
Ф x
π
−
−∞
==+
∫
, (70)
а вероятность попадания возможных значений случайной величины в заданный
интервал
(
)
12
,
хх
2
1
2
1221
111
()()()
22
2
х
x
х
Px
х xedx МФx Фx
π
−
≤<==−
∫
, (71)
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
105
где
2
2
0
2
()
2
х
x
Ф xedx
π
−
=
∫
- функция Лапласа или интеграл вероятностей,
справочная величина.
Интеграл вероятностей является нечетной функцией, т.е.
(
)
(
)
ФхФх
−= и
имеет вид, показанный на рис. 53.
(
)
()
41
41
прихФх
прихФх
≥=
≤−=−
Рис. 53. Интеграл вероятностей
Вид простейшего нормального закона распределения показан на рис. 54.
2
π
Рис. 54. Простейшее нормальное распределение
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
106
Для этого закона распределения математическое ожидание равно:
222
2
222
111
()0
2
222
xxx
x
Mхedxcdde
πππ
+∞+∞+∞
−−−
−∞−∞−∞
===−=
∫∫∫
т.е. математическое ожидание равно 0. Аналогично можно доказать, что
дисперсия равна 1:
[
]
1
D х
=
.
Общее нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной
случайной величины Х, если дифференциальная функция имеет вид:
2
2
2
)(
2
1
)(
x
x
mx
x
exf
σ
πσ
−−
= . (72)
Тогда функция распределения будет:
2
2
()
2
111
()()
22
2
x
x
xm
х
x
xm
Fxedx Ф
σ
σ
σπ
−−
−∞
−
==+
∫
. (73)
Вероятность того, что
Х
примет значения, принадлежащие интервалу
),( ba
11
().
22
bm
а m
Paxb ФФ
σσ
−−
<<=−
(74)
Общее нормальное распределение или нормальный закон распределения
вероятностей показано на рис. 55.
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
107
σ
2
π
Рис. 55. Нормальный закон распределения
Данный закон широко используется при определении электрических
нагрузок, при оценке качества электроэнергии, при прогнозировании спроса
мощности, электропотребления, при оценке напряжения, пробое изоляции.
Определим числовые характеристики для данного закона распределения:
2
2
()
2
1
||
2
х
xm
х
M
х xedx
σ
σπ
−−
+∞
−∞
=
∫
. (75)
Введём новую переменную
σ
mx
Z
−
= , получим:
222
222
111
()()
222
zzz
M
х zmedzzedzmedzm
σσ
πππ
+∞∞+∞
−−−
−∞−∞−∞
=+=+=
∫∫∫
. (76)
Следовательно, математическое ожидание равно m:
(
)
Мх m
=
.
Аналогично можно доказать, что дисперсия
2
х
D
σ
=
.
Пример. Определить вероятность показания возможных значений
напряжения на шинах подстанции в заданный интервал при нормальном законе
распределения, если числовые характеристики равны:
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
108
(
)
10,2;
0,2.
U
М U кВ
кВσ
=
=
Рассмотреть на примере интервалов:
(
)
(
)
(
)
9,5;10,5;0;11;9,5U
кВ
> .
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал при
нормальном законе распределения равна:
( )
21
12
11
22
xx
х m х m
рх X хФФ
σσ
−−
<<=−
.
Тогда
( )
( ) ( ) ( ) ( )
110,510,219,510,2
9,510,5
20,220,2
1111
1,53,51,53,5.
2222
р U ФФ
ФФФФ
−−
<<=−=
=−−=+
По /3/ определяем значения интеграла вероятностей для значений
случайной величины 1,5 и 3,5:
(
)
(
)
1,50,8664;3,50,9995,
ФФ==
()
11
9,510,50,86640,99950,933,
22
р U<<=⋅+⋅=
( ) () ( )
11110,21010,21111
01145,1111,
20,220,22222
рU ФФФФ
−−
<<=−=−−=⋅+⋅=
( )( )
()() ()
110,219,510,2
9,59,5
20,220,2
111111
3,513,50,9950,9998.
222222
р U р U ФФ
ФФФ
∞−−
>=<<∞=−=
=∞−−=⋅+=+⋅=
В некоторых задачах систем электроснабжения исследуемая случайная
величина имеет возможные значения только в заданных техническими
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
109
условиями пределах:
max
х
и
min
х
. Тогда возможно применение так называемого
усеченного нормального закона распределения вероятностей с числовыми
характеристиками m и
σ
и плотностью распределения вероятностей:
()
( )
2
2
2
1
2
х m
ус
fx Ке
σ
σπ
−−
= , (77)
где коэффициент усечения равен:
maxmin
1
ус
К
х mxm
FF
σσ
=
−−
−
. (78)
Графическое изображение усеченного нормального закона приведено на
рис. 56.
Рис. 56. Усеченный нормальный закон распределения
Если случайная величина существенным образом описывается кроме
математического ожидания и дисперсии моментами высших порядков, то
целесообразно применять статистический А-ряд Шарлье, для которого
плотность распределения вероятностей имеет вид:
() ()
()
()
()
()
34
000
624
кх
SЕ
fxfzfzfz
=−+, (79)
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
110
где
xm
z
σ
−
= ;
(
)
0
fz
- плотность распределения простейшего нормального закона;
(
)
(
)
3
0
fz
,
(
)
(
)
4
0
fz
- соответственно третья и четвертая частная производная
от
(
)
0
fz
.
Мы рассмотрели два наиболее распространенных в электроэнергетике
закона распределения вероятностей: равномерный и нормальный. По
остальным законам распределения вероятностей, широко применяемым в
системах электроснабжения, информация сведена в табл. 1.
Биноминальное распределение дискретной случайной величины
Это распределение соответствует схеме независимых испытаний с двумя
исходами. Пусть происходит n испытаний, в каждом из которых событие «А»
может произойти с вероятностью
р
или не произойти с вероятностью
q
.
Вероятность того, что «А» произойдёт в первых
m
испытаниях и не произойдёт
в остальных случаях по схеме независимых испытаний равна:
mmmnm
nn
р Cpq
−
= . (80)
Это формула биноминального распределения.
Очевидно
0
1
n
i
m
n
p
=
=
∑
, т.к. она охватывает все случаи.
Итак, рассматривая число возникновения события A при
n
испытаниях
как случайную дискретную величину
m
, запишем формулу для вероятности
дискретной величины:
!
()
!()!
mnm
n
р mpq
mnm
−
=
−
. (81)
Для нее математическое ожидание и дисперсия равны:
(
)
(
)
;.
М mnpDmnpq
==
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com