Савина Н.В. Применение теории вероятности и методов оптимизации в системах электроснабжения

Подождите немного. Документ загружается.

от минус бесконечности до плюс бесконечности. Возможные значения

непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены, т.к.

непрерывно заполняют некоторый промежуток, т.е. даже в весьма малых

интервалах они могут принимать бесконечное множество значений.

Пример непрерывной случайной величины – параметры режима –

бесчисленное множество ординат непрерывных графиков напряжения, тока,

мощности.

Для непрерывной случайной величины вероятность любого отдельного

значения равна нулю, т.е. это событие невозможно, но в то же время факт

принятия этого отдельного значения – событие возможное. Действительно, по

определению:

()

рxx

== , при 1=

M , а

∞

→

()0

рxx

. (38)

В данном случае нулевое значение вероятности попадания случайной

величины в определённую точку связано не с невозможностью самого события,

а с бесконечным множеством таких случаев, когда оно может произойти.

Поэтому для непрерывных случайных величин определяют вероятность

попадания не в точку, а в некоторый интервал, определяемый конкретными

условиями задачи.

Смешанной случайной величиной называется случайная величина,

возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток и

принимают отдельные дискретные значения.

Примером смешанной случайной величины служит нагрузка ЭП с

непрерывным графиком за время включения, но работающего с паузами или

участками холостого хода (рис.39).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

Рис. 39

2.2. Законы распределения случайных величин

Значения, которые случайная величина может получить с той или иной

вероятностью в рассматриваемом случайном явлении, называются её

возможными значениями. Так, случайные величины X,Y,Z будут иметь

соответственно возможные значения x,y,z. Совокупность возможных значений

случайной величины и вероятностей того, что она примет эти возможные

значения, образует закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величиной называется соотношение,

устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и

соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может задаваться в табличной, графической и

аналитической формах.

Для дискретных случайных величин закон распределения случайной

величины наиболее просто задаётся в табличной форме – в виде таблицы

распределения. В верхней строке этой таблицы указываются все значения,

принимаемые этой случайной величиной, а в нижней – количество этих

значений. Такая таблица называется рядом распределения.

Поскольку подсчёт вероятностей ведётся по всей совокупности значений

случайной величины, т.е. мы имеем полную группу несовместных событий, то

сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины

равна единице.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

Пример. На ТЭЦ работают четыре генератора. Вероятность отказа одного

составляет 02,0=

q . Требуется найти вероятность одновременного выхода из

строя нескольких генераторов.

Вероятность безотказной работы одного генератора будет

110.020.98

ГГ

рq

=−=−=

Случайной величиной является число генераторов, вышедших из строя.

Эта величина дискретна и может принимать значения от 0 до 4, то есть

{

}

0;1;2;3

m = .

Вероятность выхода из строя генераторов определяем по схеме

независимых испытаний

mmnmm

рр cpq

−

== .

Таблица распределения имеет вид:

m 0 1 2 3 4

р 0,92237 0,0753 0,0023

310

−

⋅

Сумма вероятностей всех возможных значений рассматриваемой

дискретной величины равна:

∑

Ряд распределения становится более наглядным, если его представить

графически. Для этого по оси абсцисс откладываются значения дискретной

случайной величины, а по оси ординат – их вероятности. Полученные точки

соединяются отрезками прямых, хотя в промежутках между дискретными

случайными величинами график не имеет смысла. Полученная фигура

называется многоугольником распределения.

Сумма ординат - вершин многоугольника распределения, равна 1. Это

тоже одна из форм закона распределения. Для нашего примера многоугольник

распределения будет иметь вид, приведенный на рис. 40.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

Рис. 40

Примером задания закона распределения дискретной случайной

величины в аналитической форме служит формула схемы независимых

испытаний, т.е. биноминальный закон распределения вероятностей.

Для непрерывной случайной величины ряд распределения не существует,

т.к. вероятность любого конкретного значения равна 0. Поэтому для

непрерывных случайных величин определяют вероятность попадания не в

точку, а в некоторый интервал, а универсальной характеристикой случайной

величины любого типа является функция распределения. То есть, для

количественной оценки вероятностей как непрерывных, так и дискретных, и

смешанных случайных величин вводят функцию распределения. Нам удобно

воспользоваться не вероятностью события Х=х, а вероятностью события Х<х,

где х – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события очевидно

зависит от х, т.е. является функцией от х. Эта функция и является функцией

распределения и обозначается F(x).

Функцией распределения случайной величины называется вероятность

того, что случайная величина Х будет принимать значения, меньшие некоторой

неслучайной величины х, т.е. вероятность выполнения неравенства X<x, или

()()

р Xx

. (39)

Текущие значения F(x) получаются суммированием вероятностей

случайных величин, меньших х.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

Примеры функций распределения:

Рис. 41

Функция распределения F(x) дискретной случайной величины четырёх

ЭП, построенная по многоугольнику распределения, - это ступенчатая линия со

скачками вероятностей в точках мощности.

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины:

Рис. 42

F(x) смешанной случайной величины – кусочно-непрерывная линия со

скачками в точках, соответствующих ее дискретным значениям.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

Рис. 43

Функция распределения – самая универсальная характеристика

случайной величины: она полностью характеризует случайную величину с

вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Это интегральный закон распределения.

Свойства функции распределения

1) Функция распределения – неубывающая функция своего аргумента,

т.е. при

xx > , )()(

xFxF > ,

2) при

(

)

xFх

→−∞→

, то есть

(

)

F х

→

3) при

(

)

xFх

→+∞→

, то есть

(

)

F х

→

Следовательно, F(x) – это положительная возрастающая функция,

изменяющаяся от 0 до 1.

Чтобы найти функцию распределения F(x) дискретной случайной

величины, можно использовать ряд распределения, производя суммирование

слева направо.

Для примера с генераторами ТЭЦ, приведенного на стр. 83

F(0)=0; F(1)=0,92237; F(2)=0,99767; F(3)=0,99997, F(4)=1.

Алгоритм этого построения:

1) при x ≤ 0 F(x ≤ 0) = F(0) = 0;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

2) при 0 < x ≤ 1 F (x) = р(X<x) = р(x=0) = 0,92237;

3) при 1< x ≤ 2 F(x)=р(X<x)=р(x=0)+ р(x=1)=0,92237+0,0753=0,99767;

4) при 2<x≤3 F(x)=P(x=0)+P(x=1)+P(x<2)= 0,92237+0,0753+0,0023=

=0,9997;

5) при 3<x≤4 F(х)=р(х=1)+р(х=2)+р(х=3)= 0,92237+0,0753+0,0023+

+0,00003 = 1.

Таким образом, мы убедились, что функция распределения любой

дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция,

скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям

случайной величины и равна вероятностям этих значений. Сумма всех скачков

F(x) = 1.

Для непрерывной случайной величины функция распределения F(x)

задаётся аналитически или графически.

По заданной F(x) можно определить вероятность попадания непрерывной

случайной величины в некоторый заданный интервал значений );(

xx . Если

известны значения )(

xF и )(

xF , то вероятность попадания непрерывной

случайной величины Х в интервал

(,)

определяется как разность )(

xF и

)(

xF :

1221

()()()

Х xFxFx

≤<=−

. (40)

Пример: случайная величина Х задана интегральной функцией

распределения:

()0,750,751

при x

Fxx при x

при x





≤−



=+−<≤







(41)

Определить вероятность того, что в результате измерений величина Х

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

примет значение, заключённое в интервале







Решение

()

[ ]

1113133

000,750,750,7500,750,25

3334344

PxFF



<<=−=⋅+−⋅+=⋅+−=







Второй универсальный характеристикой случайной величины любого

типа является плотность распределения. Рассмотрим её.

Дифференциальным законом распределения, )(xf , случайной величины

Х называют производную от её интегрального закона распределения или от

интегральной функции, то есть

)()( xFxf

′

Часто вместо термина «дифференциальный закон» говорят «плотность

распределения вероятностей».

Плотностью распределения вероятностей случайной величины

называется функция )(xf , выражающая вероятность попадания случайной

величины на участок [

x ; xx ∆+

] оси абсцисс при

→

∆

или это отношение

вероятности попадания случайной величины в бесконечно малый интервал к

величине этого интервала:

(

)

()()[]

()()limlim

dFx

FxxFx рx Хх x

fxFx

xxd

∆→∞∆→∞

+∆−≤<+∆

′

====

∆∆

. (42)

Текущие значения )(xf получаются графическим или аналитическим

дифференцированием.

)(

xdF

= или )()( xdFdxxf

, (43)

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

отсюда

()()

Fxfxdx

−∞

∫

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет

значения, лежащие в интервале (α, β), определяется равенством:

( ) ()

р Xfxdx

αβ<<=

∫

. (44)

Это выражение получено следующим образом, Если )(xf задана

аналитически, то вероятность попадания случайной величины Х в интервал

),(

, где

, равна:

()()()()()()

PxFFfxdxfxdxfxdx

ββ

αββα

−∞−∞

<<=−=−=

∫∫∫

, (45)

т.е. равна интегралу от )(xf , взятому в пределах рассматриваемого интервала.

Основные свойства дифференциального закона

1) Дифференциальный закон есть неотрицательная величина, т.е. 0)(

≥

xf .

2) Интеграл от дифференциального закона распределения )(xf в пределах

от

∞

−

до

равен интегральному закону.

()()

fxdxFx

−∞

∫

. (46)

3) Интеграл от дифференциального закона распределения, взятый в

пределах от

∞

−

до

∞

равен 1, то есть

()1

fxdx

+∞

−∞

∫

Размерность )(xf обратна единице измерения случайной величины:

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

например, плотность

распределения случайной величины – мощности

измеряется в кВт

-1

Обычно )(xf изображается в виде кривых. Площадь под кривой )(xf

равна вероятности попадания случайной величины в рассматриваемый

интервал.

Рис. 44

Вероятность попадания в заданный интервал

∆Χ

равна площади

выделенной фигуры.

Функция распределения )(xF и плотность распределения )(xf полностью

описывают случайную величину. Однако, в практических задачах такое

описание может оказаться трудно осуществимым. Поэтому используют

числовые характеристики, отражающие существенные особенности законов

распределений.

Их в теории вероятностей называют моментами. В практических задачах

электроснабжения чаще всего оперируют начальными моментами I и II

порядков и центральными моментами II, III, IV порядков.

2.3. Классификация случайных величин

Числовые характеристики случайных величин и их свойства.

Зачастую нет необходимости характеризовать случайную величину

исчерпывающим образом. Часто достаточно указать только отдельные

числовые параметры, которые выражают наиболее существенные черты

распределения случайной величины: среднее значение, степень разброса

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com