Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача

Подождите немного. Документ загружается.

Л. Больцман показал, что в необратимых процессах тер-

модинамическая вероятность каждого последующего состояния

больше, чем предыдущего. Если считать термодинамический

процесс последовательностью состояний, то термодинамическая

вероятность w будет возрастающей функцией, т. е. dw > 0 (для

обратимых процессов все состояния равновероятны, при этом dw =

0). Формально термодинамическая вероятность и энтропия системы

близки по смыслу, что и позволило Л. Больцману представить

энтропию системы в форме

,ln w

(1.86)

где k = 1,38054·10

–26

кДж/кг — постоянная Больцмана.

Л. Больцман полагал, что “природа стремится от состояний,

менее вероятных, к состояниям, более вероятным”. Это

утверждение также можно считать формулировкой второго начала.

Следует помнить, что принцип возрастания энтропии применим

только к изолированным системам. Кроме того, любая

термодинамическая система должна быть замкнутой, поэтому

использовать его за пределами этих ограничений, например, для

анализа процессов во Вселенной, недопустимо.

Соотношение (1.85) в сочетании с уравнением первого начала

позволяет объединить оба основных закона (начала)

термодинамики. Из уравнения (1.85) следует, что

≤ ;

объединенное уравнение первого и второго начал

термодинамики примет вид

или

.ddd

ddd

pvрsT

vpesT

−≥

≥

(1.87)

(1.88)

Соотношения (1.87) и (1.88) справедливы для любых

процессов — обратимых и необратимых.

1.5.6. Т–s-диаграмма состояний. Изменение энтропии в

процессах идеального газа

Из формулы (1.85) следует, что теплота произвольного об-

ратимого процесса, идущего от состояния 1 к состоянию 2,

∫

−

sTq

Если по оси абсцисс отложить энтропию системы, а по оси

ординат — абсолютную температуру, то площадь под кривой

процесса 1–2 в такой диаграмме состояний будет равна теплоте,

подведенной (отведенной) в данном процессе (рис. 36). Это

обстоятельство делает диаграмму T–s чрезвычайно удобной, и

наряду с p–v-диаграммой ее широко используют в термодинамике.

По аналогии с диаграммой p–v (рабочей) Т–s-диаграмму называют

тепловой диаграммой состояний.

Рис. 36 Рис. 37

Применим Т–s-диаграмму к анализу процессов идеального

газа. Изменение энтропии газа в обратимых процессах х = const

можно оценить, используя объединенное уравнение первого и

второго начал (1.87):

≥

Если подставить в эту формулу значение de = c

dT и поделить

обе части на Т, то получим

но для идеального газа

= , поэтому

Рассчитаем изменение энтропии в произвольном обратимого

процессе 1–2. При этом вспомним, что разность s

– s

, не зависит

от пути интегрирования, поскольку s — функция состояния.

Изобразим процесс 1–2 в диаграмме состояний v–T(она “ничем не

хуже”, чем р–v или Т–s-диаграммы, а в данном случае делает

рассуждения более наглядными). Переведем рабочее тело из

состояния 1 в состояние 2 не по первоначальному пути 1а2, а по

ломаной 1b2, состоящей из отрезков изохоры v = const и изотермы

Т= const (рис. 37). Поскольку на прямой 1b dv = 0, а на прямой b2 dT

= 0,

1221

∫∫∫

+==−=∆

−

cssss

но, с другой стороны, Т

= Т

, v

= v

отсюда

.lnln

+=∆

−

(1.89а)

Аналогично, используя р–Т-диаграмму, получим соотношение

.lnln

−=∆

−

(1.89б)

Уравнения (1.89а) и (1.896) справедливы для любого

обратимого процесса идеального газа х = const. Рассмотрим

частные случаи: Т = const, v = const, p = const, q = 0 и n = const (рис.

38).

Изотермический процесс 1–2Т изображен на тепловой ди-

аграмме горизонтальной прямой, его теплота

(

)

1221

ssTq

−

а изменение энтропии, на основании соотношений (1.89а и 1.89б)

(

)

(

)

.lnln

211212

ppRvvRsss

=−=∆

(1.90)

Чтобы получить уравнение изохорного процесса 1–2v, ис

пользуем уравнение (1.89а). При v

= v

из него следует, что

(

)

.ln

1212

TTcsss

vmvv

=−=∆

(1.91)

Если в изохорном процессе заданы начальная и конечная

удельные энтропии s

и s

, то формула (1.91) позволяет определить

конечную температуру

(

)

[

]

./exp

1212

vmvv

cssTT −=

(1.92)

Аналогичный анализ для изобарного процесса 1–2р дает:

(

)

,ln

1212

TTcss

pmp

=−

(1.93)

Поскольку с

> c

, экспонента (1.94) на рис. 39 идет более

полого, чем экспонента (1.92).

Адиабата 1–2s на тепловой диаграмме — вертикальная

прямая, совпадающая с линией s = const. Теплота в этом процессе

не подводится и не отводится (q

1–2s

= 0), изменение энтропии равно

нулю (s

– s

= 0).

В политропном процессе (n = const) из уравнения Tv

n–1

const следует, что

(

)

;

)1(1

2112

−

TTvv

кроме того, политропная теплоемкость

−

−=

−

vvn

поэтому из формулы (1.89а) следует, что при

()()

.lnln

const,

121212

TTcTT

csss

nnnvnn

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=−=∆

(1.95)

Формулы (1.90), (1.91), (1.93), (1.95) позволяют вычислить

изменение энтропии. Истинное же значение энтропии в точке на

диаграмме состояний неизвестно: энтропия, как и другие функции

состояния, определена с точностью до постоянной. Для того чтобы

иметь конкретные значения s, договариваются о точке, где

энтропии приписывают нулевое значение. Такая точка для газов

соответствует нормальным условиям (T

= 273,15 К; p

= 760 мм рт.

ст.). Если энтропию отсчитывать от этой точки, то результаты

совпадут с табличными значениями энтропии:

(

)

(

)

,lnln

vvRTTcs

где v

— удельный объем газа при нормальных условиях.

В Т–s-диаграмме состояний удобно сравнивать

эффективность различных циклов. Покажем, в частности,

некоторые важные свойства цикла Карно. В осях Т–s он имеет вид

прямоугольника, причем площадь под верхней изотермой равна

подведенной теплоте, а под нижней — теплоте отведенной.

Сравним термические КПД двух циклов: обратимого цикла

Карно С и произвольного обратимого цикла А, расположенного в

том же интервале температур T

и Т

(см. рис. 39).

Термический КПД цикла С зависит только от температур T

)(

ssT

−=

−

−=−=η

где

)();(

432431

ssTqssTq

−=−= — теплота, подведенная и

отведенная в цикле Карно, соответственно.

Поскольку в Т–s-диаграмме теплота эквивалентна площади

под кривой процесса,

пл.

;

21пл.

34пл.

eabcf

eadcf

fbe

fde

−=−=η

где

, — теплота, подведенная и отведенная в цикле А,

соответственно.

Согласно рис. 39, .поэтому,,

2211

ACAC

qqqq η>η<>

Таким образом, термический КПД цикла Карно больше,

чем термический КПД любого другого цикла в том же

интервале температур. Другими словами — цикл Карно является

своего рода эталоном, поскольку его термический КПД —

наивысший из всех возможных в данном температурном

интервале. Поэтому о термодинамическом совершенстве реального

цикла судят, сравнивая его термический КПД с термическим КПД

цикла Карно.

При анализе эффективности циклов часто используют

понятие среднеинтегральной температуры подвода и отвода

теплоты. Если в процессе 1–2 подводится или отводится теплота

Рис. 40.

2121

∫

−−

sTq

где

21−

T — температура процесса (зависящая, в общем случае, от

параметров рабочего тела), то, на основании теоремы о среднем,

),(

122121

ssTq

−

где

21−

T — среднеинтегральная температура процесса 1–2; поэтому

)./(

122121

ssqT

−

(1.96)

Среднеинтегральная температура процессов подвода и отвода

теплоты позволяет рассчитать термический КПД произвольного

цикла D (см. рис. 40). На участке abc этого цикла теплота

подводится, так как здесь ds > 0 и, поэтому Tds = dq > 0. На участке

cda теплота отводится (здесь ds < 0 и dq < 0). Подведенная теплота

),(

1 achabc

ssTqq −==

где

T — среднеинтегральная температура подвода теплоты;

отведенная теплота

),()(

2 acccaccda

ssTssTqq −=−==

где

T — среднеинтегральная температура отвода теплоты.

Следовательно, термический КПД цикла D

.11

−=−=η

(1.97)

Формулу (1.97) широко используют при оценке

эффективности циклов двигателей и холодильных машин.

1.5.7. Термодинамическая шкала температур

С помощью цикла Карно можно ввести температурную

шкалу, которая не зависит от свойств термометрического тела, —

термодинамическую шкалу температур.

У. Томсон (Кельвин) рассмотрел совокупность элементарных

циклов Карно, осуществляемых между температурами Т

и Т

, Т

и Т

и т. д. (рис. 41). Для таких циклов

;...;;

===

После преобразований получим последовательно:

;...;

;...;;

−

Если принять, что Т

– Т

= T

– T

= T

– T

=z, то в каждом из

элементарных циклов Карно термический КПД будет одним и тем

же.

Итак, отношение температурных интервалов равно

отношению теплоты, преобразуемой в работу в элементарных

циклах, а оно никак не связано с родом вещества, используемого в

термометрии.

Кельвин зафиксировал нижний температурный уровень на

отметке Т

0а

=–273,15 °С, что соответствует состоянию, когда

движение микрочастиц должно прекратиться (абсолютному нулю

температур). Если теплота отводится при Т

0а

=0,

,1=η

что

противоречит второму началу, поэтому абсолютный нуль

температур недостижим.

Пусть цикл Карно ABCD осуществляется в интервале

температур от T

= 100 °С до Т

= 0 °С — между точками кипения

воды и таяния льда (индексы соответствуют англ. saturation и

melting).

Если разбить цикл ABCD на 100 одинаковых циклов Карно,

то работа каждого из них составит 0,01 от общей работы цикла

ABCD, причем эта калорическая величина будет соответствовать

единице температуры — одному градусу (1 °С совпадает по

величине с 1 К).

Практическая реализация термодинамической шкалы

потребовала бы точных измерений количества теплоты на

изотермах, что связано с большими трудностями в постановке

экспериментов. В интервале температур 1…1530 К

термодинамическую шкалу температур реализуют с помощью

идеально-газовых термометров. Их устройство чрезвычайно

просто. В сосуде постоянного объема находится газ, при нагреве

давление в сосуде увеличивается, а температуру газа рассчитывают

по уравнению Клапейрона-Менделеева

.const p

T ⋅==

Рис. 41.

Использование идеально-газового термометра не умаляет

ценности главного вывода, сделанного Кельвином: существуют

температурные шкалы, не зависящие от свойств

термометрического тела, а идеально-газовая температура лишь

приближенно совпадает с одной из этих шкал.

1.6. ЦИКЛЫ ПОРШНЕВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ

В зависимости от процесса, в котором подводится теплота,

поршневые двигатели внутреннего сгорания (ДВС) делятся на

несколько типов. ДВС карбюраторного типа работают на бензине,

подвод теплоты в них осуществляется в изохорном процессе v =

const. Дизельные ДВС работают на тяжелых топливах, теплота в

них подводится в изобарном процессе р = const. Конструктивно

оба типа ДВС близки друг к другу (рис. 42).

Вспомним последовательность процессов в цилиндре ДВС:

1. Всасывание: поршень 3 из верхнего положения идет вниз,

через открытый клапан 1 топливная смесь (воздух в дизельном

ДВС), поступает в цилиндр.

2. Сжатие: поршень 3 движется вверх, оба клапана 1 и 2

закрыты, топливная смесь (воздух в дизельном ДВС) сжимается,

одновременно повышается температура в цилиндре. В дизельном

ДВС в конце сжатия в цилиндр специальным насосом подается

порция топлива.

3. Расширение (рабочий ход): оба клапана 1 и 2 закрыты, за

счет электрической искры в карбюраторном ДВС (или под

воздействием высокой температуры в ДВС дизельном) топливо

воспламеняется и сгорает. Продукты сгорания, расширяясь,

перемещают поршень 3 вниз. При этом совершается работа,

которая может быть использована почти целиком.

4. Выхлоп: клапан 2 открывается (клапан 1 закрыт), поршень

3 идет вверх и выталкивает продукты сгорания.

Далее процессы в цилиндре повторяются.