Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача

Подождите немного. Документ загружается.

241

Все сказанное справедливо для стабилизированного

движения, которое наблюдается лишь на некотором удалении от

входа жидкости в трубу. Процесс стабилизации сводится к

следующему.

При входе в трубу вблизи стенок появляется динамический

пограничный слой. Если течение ламинарное (рис. 118, а), то

толщина этого слоя δ

плавно увеличивается; при δ

= r

слой

заполняет все сечение канала, после чего течение стабилизируется.

На начальном участке l

течение носит ламинарный характер, но

эпюра скоростей здесь еще не имеет традиционного вида (2.165).

Если же течение турбулентное (рис. 1 18,6), то на участке l

происходит смыкание турбулентных пограничных слоев толщиной

, а затем развитая турбулентность наблюдается почти во всем

сечении трубы; лишь у самых стенок остается тонкий вязкий

подслой, в котором скорость падает до нуля.

Длина начального участка при ламинарном режиме

= 0,05dRe

(т. е. тем больше, чем больше Re

), при турбулентном

— l

=15d (не зависит от числа Re

Описанная картина течения определяет особенности

конвективного теплообмена в трубах и каналах.

Рис. 118.

242

При ламинарном течении теплота передается в радиальном

направлении только теплопроводностью. Поскольку слои жидкости

движутся с различными скоростями w(у) (см. рис. 118,а), вдоль

потока теплота передается конвективным путем.

Если на входе в трубу (при х = 0) температура жидкости Т

постоянна по сечению и в общем случае не равна температуре

стенок T

, то по мере движения вдоль трубы значение Т

меняется.

Вначале теплообмен происходит только в тонком пристенном слое

(А), затем в передачу теплоты вовлекается все большая часть потока

(В, С, D, Е) (рис. 119). Картина сходна с формированием эпюры

скоростей (рис. 118,а). Толщина теплового пограничного слоя ∆

увеличивается, на удалении от входа l

(англ, heat — тепловой) ∆

d/2, слои смыкаются, зависимость T

(d) становится параболической

(эпюра D). Обычно считают, что l

= 0,05dRe

; на практике

ламинарный режим характерен для движения вязких жидкостей,

таких как масло, дизельное топливо и т. д.

Рис. 119.

243

Вспомним, что коэффициент теплоотдачи определяется в

общем случае по формуле (2.118). На участке х ≤ l

градиент

температуры

∂

убывает быстрее, чем разность T

– T

, поэтому

местный коэффициент теплоотдачи снижается. При х > l

обе

величины меняются пропорционально, значение α сохраняется

почти неизменным. Поскольку речь идет о местном, зависящем от

координаты х, значении α, температуру T

рассматривают как

среднюю в соответствующем сечении F:

()

.d,

FrxT

fff

∫

Средний коэффициент теплоотдачи на участке длиной х

−

=α

где q — среднее значение q(x) на длине участка;

T — средняя

температура стенок на той же длине.

В случае обогрева стенок паром, когда изменение

(

)

невелико, либо принимают

21 ff

где

TT — значения

T в начале и в конце рассматриваемого

участка трубы, либо рассматривают среднелогарифмическую

температуру:

∆

−

∆

±=

где

222111

wfwf

TTTTTT

−

=∆−=∆ — температурные напоры в

начале и конце участка; знак + выбирают, исходя из направления

теплового потока.

При электрообогреве стенок (q(x) = const) всегда пользуются

первой из приведенных выше формул.

244

На рис. 119 видно, что участок, на котором стабилизируется

всегда больше, чем участок стабилизации α:

00 hh

ll >

Для прямых труб постоянного сечения обычно определяют именно

среднее значение α .

2.8.6. Теплообмен на стабилизированном участке течения.

Интеграл Лайона

Рассчитаем коэффициент теплоотдачи на участке

стабилизированного теплообмена (α = const) при граничных

условиях II рода q

= const. При массовом расходе G

на элементе

длины dx выполняется первое начало термодинамики:

(

)

,ddd

xdqxTTdTGc

wfwfpf

−

απ=

(2.167)

где d = 2r

— диаметр трубы, поэтому

const.

wrc

wdGc

fpf

(2.168)

Таким образом, при q

= const средняя температура T

увеличивается линейно. Определим среднюю энтальпию h и

среднюю температуру T

в любом сечении трубы F

. Поскольку и

скорость, и энтальпия распределены по сечению F

неравномерно,

средняя энтальпия

∫

Fwh

(2.169)

Равенство (2.169) для несжимаемой жидкости при h = c

= const переходит в выражение для средней температуры

FwT

∫

== (2.170)

245

Для круглой трубы dF = 2πrdr (здесь r — текущий радиус) и

равенство (2.170) принимает вид

,d2

∫∫

== RTWR

(2.171)

где .;

W ==

Интеграл (2.171) возьмем по частям, полагая Т = u, WRdR = dv:

.ddd2

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∫∫∫

TRWRRWRTT

(2.172)

Рассмотрим первый интеграл правой части уравнения (2.172):

d2d

∫∫

∫

rwr

RWR

Отсюда следует, что

.dd2

∫∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−= TRWRTT

(2.173)

Для того чтобы определить член dT, обратимся к уравнению

энергии (2.123), которое в цилиндрических координатах и при

осевой симметрии потока примет вид

() ()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

λ+λ

∂

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

λ+λ

∂

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

TfTf

rfpf

(2.174)

где w

— радиальная составляющая скорости.

В стационарном режиме ,0

∂

а на участке

стабилизированного течения ,0=

∂

и, как следует из уравнения

неразрывности,

,0=

∂

т. е. w

= const. Однако на стенках (при r =

246

) w = 0, значит, в любой точке сечения w

= 0. Особо следует

сказать о λ

— турбулентной теплопроводности. Рассматривая

теплообмен в турбулентном пограничном слое, мы установили, что

турбулентные пульсации переносят (дополнительно к

теплопроводности) значительную теплоту поперек основного

течения. Влияние пульсационных процессов учитывает закон,

аналогичный закону Фурье, поэтому совместный перенос теплоты

молекулярной и турбулентной теплопроводностью можно оценить

по соотношению

(

)

.gradTq

λ−=

(2.175)

Отметим, что слагаемые в правой части уравнения (2.174)

неравноценны. Как показал еще Л. Прандтль,

∂

поэтому

последним слагаемым можно пренебречь, после чего уравнение

примет вид

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

λ+λ

∂

rrx

Tffpf

(2.176)

На стабилизированном участке течения (и теплообмена) не

только средняя, но и местная температура должна изменяться

линейно, поэтому в уравнении (2.176) производную в левой части

можно заменить на константу из уравнения (2.168), при этом

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

λ+λ

∂

rrwrc

fpf

(2.177)

Вновь используем безразмерные скорость W и радиус R:

;1dd

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

λ R

RRWR

(2.178)

проинтегрировав, получим

.1d

RRWR

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∫

(2.179)

Уравнение (2.179) разрешим относительно

∂

, после этого

уравнение (2.173) примет форму

247

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

RRWR

(2.180)

Это равенство удобней представить в безразмерной форме:

2Nu

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∫

RRWR

(2.181)

Уравнение (2.181) (интеграл Лайона) позволяет вычислить

=Nu

, а затем и α при условии, что известен профиль

скорости на участке стабилизированного течения. Формула

справедлива как для ламинарного, так и для турбулентного течения.

Рассмотрим оба варианта подробнее.

2.8.7. Теплообмен при ламинарном течении в трубах

При ламинарном режиме Re

< 2300, λ

= 0, а профиль

скорости на стабилизированном участке имеет вид (2.166) или,

поскольку

ww 2

()

.12,12

ww −=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

(2.182)

Подставим значение W в интеграл Лайона (2.181) при

= 0, найдем

248

()

.36,4,36,4

48d

d28

d12

2Nu

RRR

=α≈=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∫∫

∫

(2.183)

Таким образом, коэффициент теплоотдачи на

стабилизированном участке течения и теплообмена автомоделен

(т. е. независим) относительно числа Рейнольдса Re

. Однако

формула (2.183) имеет ограниченное применение. Дело в том, что

длина участка тепловой стабилизации при Re

< 2300 оказывается

очень большой. Действительно, при q

= const l

/d = 0,055 Re

Для высоковязких жидкостей, например для органических

теплоносителей, у которых Рr

= 10…100, при Re

= 10

получаем

/d ≈ 5,5·(10

…10

), и при d = 10 мм = 10

–2

м длина участка

стабилизации составит l

= 5,5·(1…10) м. Как правило, реальная

длина теплообменных участков оказывается значительно меньшей,

а это значит, что пограничные слои не успевают сомкнуться и

число Нуссельта можно рассчитывать по формуле (2.148).

Необходимо только учесть, что жидкость в ядре потока на входном

участке трубы ускоряется, чего нет при обтекании плоской

поверхности, поэтому формула для расчета местных

коэффициентов теплоотдачи (при l << l

) имеет вид

PrRe335,0Nu

1,0

25,0

33,05,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

fxf

(2.184)

где x

xwx

;Re;Nu

= — координата, отсчитанная от

входного сечения трубы.

Если l и l

— величины одного порядка, то формула (2.184)

оказывается непригодной, и необходимо использовать

эмпирическое уравнение подобия

249

PrRe4,1Nu

25,0

33,0

4,0

dfdf

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(2.185)

которое справедливо при Re

> 10 и l/d > 10 (здесь ε

—

коэффициент, учитывающий зависимость α от l/d и Re

),.

Формулы (2.183)–(2.185) не учитывают, что плотность жидкости по

сечению и длине трубы при теплообмене не остается постоянной.

Это приводит к появлению подъемной силы, а значит, в число

определяющих критериев должно войти число Рэлея Ra

= Gr

·Рг

Однако эксперименты показали, что подъемная сила заметно

влияет на теплообмен лишь при Ra

> Ra

= 8·10

. Режим

теплообмена при Ra

< Ra

называют вязкостным, и формулы

(2.183)-(2.185) относятся именно к этому режиму. При Ra

> 8·10

теплообмен называют вязкостно-гравитационным, и здесь Nu

f(Re

, Ra

). Теплообмен при вязкостно-гравитационном режиме

исследован недостаточно, для расчета коэффициентов теплоотдачи

следует обращаться к специальной литературе.

2.8.8. Теплообмен при турбулентном течении в трубах

Профиль скорости в трубе на стабилизированном участке при

> Re

обычно описывают набором из трех уравнений,

пригодных соответственно для вязкого подслоя, пристенного

турбулентного слоя и турбулентного течения в ядре. Однако с

достаточной точностью можно представить профиль скорости

степенной зависимостью (закон одной седьмой):

()

,74,8

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∗

vrr

(2.186)

в которой в качестве масштаба скорости использована так

называемая «динамическая» скорость (скорость трения)

∗

250

Формула (2.186) удовлетворительно согласуется с известным

соотношением для коэффициента трения при турбулентном

течении в трубах

31,0

=ξ

(2.187)

Кроме профиля скорости при турбулентном течении в

интеграл Лайона (2.181) необходимо подставить значение

турбулентной теплопроводности λ

. Обычно эффективную

теплопроводность λ

+λ

представляют в виде λ

(1+λ

/λ

), для чего

необходимо определить отношение

ffTf

ffTT

ffpf

fpfT

ρνν

λρ

(2.188)

где

fpf

= — турбулентная температуропроводность;

=Pr

— турбулентный аналог числа Прандтля; µ

—

турбулентная динамическая вязкость.

Обычно

Pr считают постоянной величиной (

Pr =0,8).

Величину µ

определяют, исходя из модели Л. Прандтля,

следующим образом:

()

∂

−χρ=µ

(2.189)

где χ = 0,4 — одна из универсальных констант турбулентности.

Подставляя значение w из равенства (2.186) в формулу (2.189)

и учитывая, что

∗

wv , получим

()

.Pr1Re25,0

fdf

R−=

(2.190)

Интеграл Лайона (2.181) с учетом равенств (2.186) и (2.190)

позволяет получить формулу