Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача

Подождите немного. Документ загружается.

211

Рис. 109.

В частности, вдоль оси х действует сила давления

,ddddddddd

zyx

zypzyx

∂

=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

и сила вязкости

.ddddddddd

zyx

zyszyx

∂

=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

С учетом закона вязкого трения (2.120)

,dµdµd

VwV

xxx

∇=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

где ∇

— оператор Лапласа для компонента скорости w

Уравнение движения (2.124) в проекции на ось х принимает вид

VwV

dµd

dρ

∇+

∂

−=

(знак "–" означает, что положительному ускорению

dτ

— всегда

соответствует понижение давления р в направлении движения).

По оси у действуют аналогичные силы р

р,у

и p

s,y

; поэтому

VwV

dµd

dτ

dρ

∇+

∂

−=

По оси z кроме сил р

р,z

и p

s,z

действует сила тяжести p

= ρ

gdV

(g — ускорение свободного падения), следовательно,

212

VwV

dµddρ

dρ

∇+

∂

−=

Таким образом, получены три уравнения в проекциях на оси

х, у и z; в векторной форме они сводятся в общее уравнение

движения

wpVg

µdρ

ρ ∇+∇−=

(2.125)

где ∇p = gradр.

В уравнении (2.125) появилась дополнительная переменная

р — давление. Для замыкания системы требуется еще одна

зависимость — уравнение сплошности (или неразрывности)

потока — частный случай закона сохранения массы.

Согласно этому закону, количество несжимаемой жидкости,

втекающее в объем V, равно количеству жидкости, вытекающей из

него, и, следовательно, изменение массового расхода

0dρ ==∆

∫

VwG ,

(2.126)

где F — замкнутая поверхность выделенного объема V.

По теореме Остроградского-Гаусса,

.)ddiv(ρd

)ρ()ρ()ρ(

dρ

∫∫∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

==∆

zfyfxf

VwV

VwG

Поскольку для несжимаемой жидкости ρ

= const, из равенства

(2.126) следует, что

∂

(

)

0div =w

(2.127)

Уравнения (2.118), (2.123), (2.125) и (2.127) образуют замкнутую

систему: из нее можно получить поля давления, скорости и

температуры, а затем рассчитать плотность теплового потока.

Однако для каждого частного случая к перечисленным уравнениям

необходимо добавить условия однозначности:

213

1)задать форму и размеры поверхности, омываемой жид-

костью, или форму канала, по которому течет жидкость (гео-

метрические условия однозначности);

2)задать величины λ

, c

, ρ

, µ, β как функции состояния

жидкости (физические условия однозначности);

3)задать значения Т

, р

, w

, — значения Т, w и р на

поверхности, омываемой жидкостью (граничные условия

однозначности);

4)если теплообмен нестационарный, необходимо задать

значения Т, w и р по всему объему жидкости, а также поле

температуры на поверхности Т

в начальный момент (начальные

условия однозначности).

Как видим, даже постановка задачи конвективного тепло-

обмена является достаточно сложной. Ее решение (в принципе

точное) во многом обесценивается:

громоздкостью математического аппарата;

погрешностями в задании параметров;

многочисленными и не всегда корректными исходными

допущениями.

Особенно большие трудности при решении задач

конвективного теплообмена возникают при турбулентном течении

жидкости (см. разд. 2.8.1).

В настоящее время такие задачи решают численными

методами, но компьютерные решения обычно носят частный

характер; кроме того, для них в полной мере продолжают

действовать последние два из перечисленных недостатков.

Как видим, при исследовании конвективного теплообмена

возможности аналитического метода еще меньше, чем при

описании процессов теплопроводности. В то же время не всегда

удается исследовать процесс экспериментально (это дорого,

сложно, долго и т. д.). Промежуточный подход, который на

практике оказался весьма плодотворным, связан с теорией

подобия.

2.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

214

2.7.1. Подобие физических явлений

Понятие подобия пришло в физику из геометрии Эвклида, где

речь шла о геометрически подобных фигурах и телах.

Геометрически подобные объекты описывают одинаковыми (с

точностью до масштаба) зависимостями: подобны, например, все

"египетские" прямоугольные треугольники с соотношением сторон

3:4:5, чему бы ни равнялась меньшая из длин — 3 мм или 3 км.

Такое же сходство физики заметили, когда получили

математическое описание, казалось бы, физически различных

процессов — протекания постоянного электрического тока по

проводнику, течения жидкости в трубах и передачи теплоты путем

теплопроводности. Напомним, что формальная аналогия закона

Ома для участка цепи постоянного тока:

∆

(здесь I — ток в цепи, ∆U — разность потенциалов, R

—

электрическое сопротивление проводника) и уравнения

стационарной теплопроводности для пластины

∆

202

(∆T — разность температур на поверхностях пластины, R

—

внутреннее термическое сопротивление) привела к появлению

метода ЭТА (электротепловой аналогии).

Если различные по природе явления описываются

тождественными дифференциальными уравнениями, их относят к

одному и тому же классу. Если у таких явлений качественно

совпадают (т. е. отличаются лишь численными значениями)

условия однозначности, то они становятся еще ближе, их называют

явлениями одного рода (в нашем примере условие U = const на

концах проводника с сопротивлением R

качественно совпадает с

215

граничным условием I рода Т = const на поверхности пластины с

внутренним термическим сопротивлением R

Когда в явлениях одного рода все физические величины

распределены в пространстве и во времени сходным образом,

говорят о физическом подобии (температура в сечении пластины

меняется так же линейно, как и потенциал — вдоль электрического

проводника).

Подобными могут быть, в частности, явления одной

физической природы, отличающиеся геометрическим масштабом,

свойствами материальных сред, уровнем потенциалов, температур

и т. д.

В общем случае для подобия физических явлений, относя-

щихся к одному классу и роду, необходимо выполнение трех

условий.

1. Явления должны происходить в геометрически подобных

системах.

2. Нестационарные явления должны быть гомохронными:

каждому моменту одного из них должен соответствовать

единственный момент другого. Примером могут служить процессы

теплопроводности для двух пластин, у которых совпадают числа

Фурье. В этом случае

ττ

;FoFo

где a

, l

, a

, l

, — соответственно значения

температуропроводности и определяющего размера для тел 1 и 2.

Если a

≠ a

, l

≠ l

, то и τ

≠ τ

, но при Fo

= Fo

тепловой

процесс в обеих пластинах достигает одной и той же стадии.

3. Отношения одноименных величин, существенных для

процесса, в сходственных точках в сходственные моменты должны

быть равны друг другу. В нашем последнем примере это означает,

что

,, CC

=== — безразмерные величины

216

(множители преобразования), не зависящие ни от координат, ни

от времени.

Все три условия кажутся почти очевидными, однако

пользоваться ими непосредственно, без дополнительных

ограничений, нельзя. Первые попытки создать модели паровых

котлов, ориентируясь только на геометрическое подобие,

гомохронность и постоянство множителей преобразования,

закончились провалом: результаты опытов никак не

соответствовали процессам в реальных котлах.

Дело в том, что множители преобразования нельзя

назначать произвольно. Ответ на вопрос, как их выбирать, дают

теоремы подобия (см. разд. 2.7.2). Физические параметры объектов

и явлений (размеры, скорость, физические свойства и т. д.) теория

подобия требует объединять в так называемые критерии (числа)

подобия — безразмерные степенные комплексы, составленные из

величин, характеризующих исследуемый процесс. У физически

подобных процессов числа подобия совпадают.

Некоторые числа подобия мы использовали в теории

теплопроводности: число Био

Bi =

(λ

— теплопроводность,

твердого материала) характеризует соотношение внутреннего и

внешнего термических сопротивлений, число Фурье

= —

"безразмерное время" и т. д.

Критерии подобия обозначают обычно первыми двумя

буквами фамилий выдающихся ученых. Так, кроме упомянутых

величин Вi и Fо, используют безразмерные комплексы Rе (число

Рейнольдса), Рr (число Прандтля), Nu (число Нуссельта) и др.; всего

в теории подобия таких величин более 200.

В современной литературе принято называть безразмерный

комплекс числом, когда он упоминается "вместе с фамилией"

(число Нуссельта, число Фурье); если же комплекс связывают с

физической стороной процесса, его называют критерием.

Например: "Число Фурье — критерий, характеризующий

нестационарность процесса теплопроводности".

217

Кроме чисел подобия приходится иметь дело с

безразмерными соотношениями однородных величин

(симплексами), безразмерной длиной

L =

, безразмерной

температурой

и др.; в теории подобия они равноправны с

комплексами.

2.7.2. Теоремы подобия

Практическое применение теории подобия сводится к тому,

что физическое явление изучают на модели, т. е. в удобных для

опыта и расчетов масштабах величин, а затем полученные

результаты обобщают на более широкий круг подобных явлений.

При этом требуется заранее знать:

какие величины надо измерять в опыте на модели;

как обобщать результаты опыта;

на какие явления можно распространить полученные данные.

Ответ на эти вопросы дают теоремы подобия. Первую

теорему подобия называют теоремой Ньютона (в 1685 г.

И. Ньютон вывел ее частный случай для подобных механических

систем). Согласно этой теореме, подобные явления имеют

одинаковые критерии подобия. Таким образом, теорема Ньютона

отвечает на первый вопрос: в опыте надо измерять величины,

входящие в критерии подобия.

Вторая теорема подобия математически доказана А. Федер-

маном в 1911 г., а в современном виде ее представил в 1914 г.

Э. Бэкингем: всякое уравнение, связывающее между собой n

физических величин, может быть приведено к зависимости

между i безразмерными комплексами этих величин, причем

i = n – k,

218

где k — число первичных величин (таких, как длина, масса, время,

температура), используемых при описании явления

Э. Бэкингем обозначал безразмерные комплексы π

, π

и т. д.,

поэтому вторую теорему подобия иногда называют "π-теоремой".

Важно помнить, что π-теорема устанавливает минимальное

значение i. Вообще же количество комплексов может быть любым,

но не меньшим, чем i = n – k. π-теорема отвечает на второй вопрос:

если мы знаем значения n и k, то результаты опытов надо

представить в форме уравнения подобия

0,),π,...,π,F(π

(2.128)

где i = n – k.

Третья теорема подобия доказана в 1931 г.

М.В. Кирпичевым и А.А. Гухманом: подобны между собой те

явления, у которых совпадают с точностью до численных

значений однотипные условия однозначности и равны

определяющие критерии.

Здесь новым для нас является понятие определяющего

критерия: такой критерий включает в себя независимую

переменную. Определяющие критерии целиком состоят из величин,

входящих в условия однозначности.

Искомые (зависимые) величины входят в определяемые

критерии подобия.

Теорема Ньютона критерии на определяющие и определяемые

не разделяла; она требовала, чтобы в подобных явлениях совпадали

и те и другие. Теорема Кирпичева-Гухмана уточняет: для подобия

Первичной называют величину, которая вводится для

данного класса явлений безотносительно к другим величинам и

может быть измерена непосредственно в любой системе единиц.

Вторичная величина выражается через первичные на основе

физических представлений, законов: например, скорость

(вторичная величина), равная отношению первичных величин:

длины и времени.

219

достаточно обеспечить равенство одних только определяющих

критериев, а определяемые совпадут сами собой.

Таким образом, согласно этой теореме, разрешается и третий

вопрос: результаты, полученные на модели, можно распространять

на все явления, у которых определяющие критерии такие же, как у

модели.

Заметим, что перечисленные выше условия подобия

(геометрическое подобие, гомохронность, равенство множителей

преобразования) были условиями необходимыми, в то время как

равенство определяющих критериев подобия — достаточное

условие подобия.

Таким образом, теория подобия является основой

правильного моделирования физических явлений. Рассмотрим, как

ее применить к исследованию конвективного теплообмена.

2.7.3. Уравнения подобия

Уравнения вида (2.128) можно получить по-разному. Единого

строгого подхода здесь не существует, поэтому теорию подобия и

относят к приближенным.

Один из удобных приемов, позволяющих получить уравнение

подобия для процессов конвективного теплообмена, разработал в

1915 г. Дж. Рэлей; сейчас этот прием называют методом

размерностей. Он не требует полной постановки задачи, а исходит

из интуитивных (и, следовательно, не вполне строгих)

представлений о том, какие переменные влияют на искомую

величину (например, на коэффициент теплоотдачи α). Согласно

представлениям Рэлея, к числу таких переменных относятся

характерный размер l, скорость потока жидкости w, а также

физические параметры λ

, c

, , β, µ = νρ

. Кроме того, заранее

задается формула размерности

,λνρα

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

cwlC

(2.129)

где С, b, с, d, е, f, g — постоянные коэффициенты.

220

Такой способ задания α называют гомогенной функцией: в

правой части выполняются только операции умножения и

возведения в степень (в виде гомогенной функции аргументов π

,..., π

, принято записывать и уравнение (2.128)).

Обозначим первичные величины: [L] — длина, [М] — масса,

[T] — время, [θ] — температура. В уравнение (2.129) входит семь

величин (n = 7), из них первичных — четыре (k = 4).

Согласно π-теореме, i = n – k = 7 – 4 = 3, следовательно,

уравнение подобия, составленное на основе равенства (2.129),

должно содержать не менее трех критериев подобия. Проверим,

будет ли выполняться это условие.

Выразим размерности всех вторичных величин в равенстве

(2.129) через размерности первичных:

[]

;

Кмсс

ммкг

Кмс

мН

Км

Вт

32222

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅⋅

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

[]

[

]

[

]

;м Ll

[]

;

ν;

кг

ρ;

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

[]

;

θКкгс

ммкг

Ккг

мН

Ккг

Дж

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

[]

θКмсс

ммкг

Кмс

мН

Км

Вт

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅⋅

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

Получим новый вид формулы размерностей (2.129):

[]

θθθ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Это уравнение станет безразмерным, если приравнять

размерности — показатели степени при первичных величинах [М],

[L], [T], [θ] в обеих его частях:

1 = d + g — для массы [М];

0 = b + c – 3d + 2e + 2f + g — для длины [L];