Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача

Подождите немного. Документ загружается.

181

вначале кривые )(ln

=ϑ f и )(ln

f будут иметь различный

характер, а начиная с некоторого τ станут параллельными

прямыми.

Таким образом, можно выделить две стадии процесса —

начальную и регулярную; в последней избыточная температура

во всех точках тела меняется во времени экспоненциально:

поскольку

,ln

−

(2.93)

τ−

(2.94)

Величина m > 0 не зависит от координат и времени; она

характеризует интенсивность отвода или подвода теплоты,

называется темпом охлаждения (или темпом нагрева) и входит в

экспоненциальную функцию (2.94) в виде множителя при времени

τ.

Для двух произвольных моментов τ' и τ" > τ' по формуле

(2.93) определим

lnln

′

−

′′

′

−

′

(2.95)

где ϑ

′′

′

, — значения ϑ, соответствующие моментам τ' и τ".

Итак, если представить кривую охлаждения в

полулогарифмических координатах, то, начиная с некоторого

момента, она превратится в наклонную прямую, а темп охлаждения

тела будет угловым коэффициентом этой прямой: .tg

Используя понятие темпа охлаждения m, Г.М. Кондратьев

сформулировал две теоремы.

Первая теорема Кондратьева: темп охлаждения

однородного тела при конечном значении коэффициента

теплоотдачи α прямо пропорционален α и поверхности тела F и

обратно пропорционален полной теплоемкости тела сρV:

ψ=

(2.96)

182

Множитель

ϑ=

называют коэффициентом

неравномерности распределения температуры (

— среднее по

поверхности тела F значение

— то же значение, усредненное

по объему V).

При Вi→0 температура в теле распределяется почти

равномерно, поэтому .1,

≈

При Вi→∞, наоборот,

,0→ϑ

поскольку Т

→T

, поэтому .0

Следовательно, во всех

случаях

.10 ≤

≤

Вторая теорема Кондратьева: при Вi→∞ (или, что то же,

при α→∞) темп охлаждения m

∞

прямо пропорционален

температуропроводности тела:

∞

Kma

(2.97)

где К — коэффициент, зависящий только от формы и размеров

тела, его размерность — м

Например, для пластины толщиной 2δ при Вi→∞ и для

Fо>>0,3 :Fo

откуда,

≈µ=

τ−µ−

∞

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∞

Поэтому

()

δπ

— коэффициент пропорциональности

для регулярного нагрева (охлаждения) пластины.

Показано, что для шара радиусом r

()

;

для параллелепипеда размерами l

× l

()()()

;

lll

π+π+π

для цилиндра радиусом r

и длиной l

183

405,2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Соотношения (2.96) и (2.97) можно объединить, если ввести

обозначения:

M ==

∞

— относительный темп охлаждения,

B — модифицированное число Био

(в этих обозначениях М = ψВ).

Мы уже убедились, что коэффициент ψ определяется числом

Био; эксперимент показывает, что для тел произвольной формы

()

.BB44,11

−

++≅ψ

(2.98)

Формула (2.98) содержит оценку неравномерности

регулярного поля температуры в любом теле, если для него

известны величины λ, a, α, К, F и V.

Пользуясь теорией регулярного теплового режима, можно

определить теплофизические свойства материала, образующего

однородное тело. Если жидкость интенсивно перемешивать (α→∞),

то по формуле (2.97) удается определить a. Если на границе тела

поддерживать постоянное и конечное значение αа, то сначала

можно определить µ

(Вi), а затем и величину λ. В обоих случаях

кривые охлаждения представляют в полулогарифмических

координатах.

Выше речь шла о нагреве и охлаждении тел в среде с Т

=const

при Fо >> 0,3; такой процесс называют регулярным режимом

первого рода. Если температура среды меняется во времени

линейно (Т

= Т

+ ωτ) или гармонически (Т

= Т

+ Т

соsπωτ), то

говорят о регулярном режиме соответственно второго или

третьего рода (здесь ω, Т

, Т

— константы).

В 1967 г. А.В. Лыков показал, что все разновидности

регулярного режима характеризует одна особенность: скорость

184

нагрева тела прямо пропорциональна разности температуры среды

и среднемассовой температуры тела

(

)

.TTm

−=

τ∂

∂

−

(2.99)

Важно помнить, что в формуле (2.99) темп m зависит не

только от размеров, теплофизических свойств и граничных

условий, но и от того, как меняется температура среды Т

Метод регулярного теплового режима использует простой

математический аппарат и удобен как в эксперименте, так и при

расчете процессов нестационарной теплопроводности.

2.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Чаще всего расчеты теплопроводности начинают с оценки

стационарного поля температуры (если оно существует) и с

определения тепловых потоков.

Если тепловые процессы зависят от времени, переходят к

расчету нестационарной теплопроводности, рассматривая

стационарные решения как предельные. В обоих случаях

используют упрощенные модели тел (пластину, цилиндр, шар,

стержень). Важно помнить, что аналитических решений задачи

Фурье чрезвычайно много, но большинство из них громоздки,

требуют квалифицированного анализа, да и воспользоваться

справочной литературой удается далеко не всегда.

Можно, конечно, провести детальное аналитическое решение

краевой задачи или поставить специальный эксперимент — если

для этого есть время, средства и квалификация! Но нельзя

забывать, что расчетная модель может оказаться слишком грубой, а

теплофизические свойства материалов редко известны с точностью,

превышающей 10…20 %. Поэтому нельзя переоценивать и

точность полученных результатов; их необходимо обязательно

проверить в предельных случаях (на поверхности тела, при τ→∞,

α→∞ и т. д.), сопоставить с результатами испытаний,

185

наблюдениями, словом, не следует терять здравого смысла. Кроме

того, полезно вспомнить о приближенных (инженерных) методах

расчета, дающих приемлемую для практики точность.

2.5.1. Электротепловая аналогия

При расчете стационарной теплопроводности пластин и

оболочек мы ввели понятие термических сопротивлений —

внутреннего R

, внешнего R

и полного R

. Термин

“сопротивление” выбран не случайно, поскольку уравнение,

описывающее поле температуры в сечении пластины, совпадает по

структуре с законом Ома для участка цепи постоянного тока. На

рис. 80 показана так называемая тепловая цепь сопротивлений —

аналог электрической цепи.

Кроме перечисленных выше термических сопротивлений R

, R

, в расчет иногда вводят контактное термическое

сопротивление R

; его смысл поясняет рис. 98. Если две пластины

не находятся в идеальном тепловом контакте (из-за шероховатости,

присутствия

Рис. 98.

загрязнений, смазки и т. п.), то на границе возникает скачок

температуры .

22 wwtc

TTT

′

−

′

=∆ Поскольку в стационарной задаче

186

теплопроводности для пластины в любом поперечном сечении

q = idem, контактное термическое сопротивление

wwtc

′

−

′

∆

(2.100)

Итак, контактное термическое сопротивление численно равно

отношению разности температур на границе соприкосновения двух

шероховатых тел к плотности теплового потока на этой границе.

Простота формулы (2.100) обманчива, поскольку величину

T∆ измерить и тем более рассчитать весьма сложно. Обычно

значение R

задают по опытным данным, а в первом приближении

принимают равным нулю.

Формальное сходство уравнений тепло- и

электропроводности получило название электротепловой

аналогии (ЭТА). Метод ЭТА позволяет рассматривать систему тел,

в которой идут процессы теплопроводности, как тепловую цепь,

диалогичную цепи электрической. Обычно тепловые цепи

начинаются и заканчиваются в точках, имеющих постоянную

температуру — аналог постоянного потенциала в электрической

цепи.

Метод ЭТА кажется весьма простым, но в нем есть

существенная особенность, о которой следует помнить. Если

результаты расчета электрических цепей весьма точно

соответствуют эксперименту, то это связано в первую очередь с

тем, что удельные электрические сопротивления проводников и

изоляторов отличаются на много порядков. Теплопроводность

различных материалов таким свойством не обладает; она меняется

в пределах 0,01…400 Вт/(м·К), а для твердых материалов диапазон

изменений λ еще меньше. Во всех задачах, кроме явно одномерных

(см. рис. 77–84 и т. п.), приходится вводить дополнительное

допущение — гипотезу адиабатности или гипотезу

изотермичности.

187

Рис. 99.

Если пластину мысленно “разбить” изотермами Т = const (рис.

99,a), то тепловую цепь составят три внутренних сопротивления, а

при “разбиении” сечениями q = 0 (рис. 99,б) — четыре; результаты

расчета суммарных сопротивлений при этом будут такими:

;

4321

const

−

λλλλ

Σλ

λλ

Σλ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

RRRR

Расчеты дают близкие, но не идентичные результаты (в чем

легко убедиться, задав реальные размеры и теплопроводности

материалов). При построении тепловой цепи необходимо сразу же

остановиться на одной из схем или при возможности рассмотреть

обе. И помнить: для двумерных и трехмерных задач метод ЭТА

имеет ограниченную, а иногда сомнительную точность, его следует

считать лишь оценочным.

Мы подошли, по сути, к расчету составных тел: они

включают области с различными теплофизическими свойствами,

причем на границах областей соблюдаются условия IV рода. Это —

188

неподвижные соединения деталей, выполненные путем сварки,

пайки, склейки; посадочные соединения с натягом, различные

композиты (армированные пластики, железо-бетон и т. д.). Если

составное тело рассматривать как единое целое, следует ввести

теплопроводность λ

, которую называют эквивалентной. Ее

определяет соотношение

Σλ

∆

(2.101)

где

δ — размер (габарит) системы, для которого рассчитывается

величина λ

Поскольку

Σλ

зависит от размеров, расположения и свойств

элементов составного тела, общего правила для определения

значения λ

не существует, в каждом случае надо строить “свою”

формулу (2.101), определяя конкретный вид правой части.

Определим, например, значение λ

для сечения

армированного композитного покрытия (резинометаллической

гусеницы). На рис. 100 обозначим, как и прежде, цифрами

элементы, для каждого из которых будем определять внутреннее

термическое сопротивление

(для простоты все элементы

выбраны прямоугольными, а система координат — декартовой, но

общность рассуждений не нарушится и для более сложных

случаев). Поскольку “рисунок” сечения повторяется, а его

элементы обладают зеркальной симметрией, выберем

представительный элемент (рис. 100,a) и разобьем его адиабатными

и изотермическими сечениями (рис. 100,б,в).

189

Рис. 100.

Как видим, тепловые схемы заметно различаются, причем

расчет по схеме рис. 100,в кажется более компактным. Для него, в

частности,

111

87654321

const

−

λλλλλλλλ

Σλ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+++

RRRRRRRR

Метод ЭТА позволяет в общем случае решать и

нестационарные задачи: для этого либо переходят к аналогии с

переменным током и вводят электрические емкости, либо

рассчитывают “временные” омические сопротивления и

подключают их в узлы "стационарной" цепи сопротивлений (метод

Дж. Либманна); оба способа громоздки, их применяют

сравнительно редко. Иногда вместо расчета собирают реальные

цепи электрических сопротивлений или используют

электропроводную бумагу, электролиты и пр. Такой подход

активно развивался до появления компьютеров, сейчас он почти

вытеснен из практики, хотя иногда позволяет быстро получить

нужный результат.

190

Итак, метод ЭТА наиболее полезен при расчете одномерных

задач и для составных тел; в последнем случае надо помнить о его

приближенном характере.

Существует, кроме того, и более общее понятие о

термическом сопротивлении. Если через тело произвольной формы

проходит тепловой поток Q, а разность температур (наибольшая в

направлении потока) равна ∆T, то величину

К/Вт,,

∆

∗

называют термическим сопротивлением тела.

Для стержней и цилиндров неограниченной длины

рассчитывают удельную величину термического сопротивления

тела на единицу длины:

м)/Вт.К(, ⋅

∆

∗

При соблюдении граничных условий III рода (теплопередача

при разности температур жидкостей

∆

−

TTT

ff 21

К/Вт.,

∗

∆

Поскольку ,

2121 wwff

TTTTTT

−

∆

−

=∆

во всех случаях

∗∗

> RR

Величины

∗

∗∗

RRR

,, многочисленных и разнообразных по

форме тел сведены в таблицы; фрагмент такой таблицы

представлен на рис. 101.