Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача

Подождите немного. Документ загружается.

191

Рис. 101.

2.5.2. Графический метод

Если тело имеет сложную форму, то рассчитать поле

температуры, даже стационарное, методом ЭТА затруднительно.

Удобней обратиться к графическому методу, который требует

лишь простейших расчетов и, как сказано в одном руководстве,

обладает “поразительной точностью”.

Графический метод реализует векторную форму закона

Фурье, согласно которому в окрестностях любой точки тела

изотермическая поверхность перпендикулярна вектору теплового

потока. Если изотермические поверхности проведены “достаточно

густо”, то вместо векторов можно провести кривую q = const

(линию теплового тока), пересекающую все изотермические

поверхности по нормалям (рис. 102).

192

Рис. 102.

Графически это означает, что в каждой точке сечения линия

тока перпендикулярна изотерме, а вектор теплового потока

направлен к линии тока по касательной. Если построить

пересекающиеся семейства линий T = const и q = const, которые

будут в каждой точке пересечения взаимно перпендикулярны, то

удастся определить тепловой поток и поле температуры в сечении

тела.

Решение задачи разделяют на три этапа.

1. Вычерчивают, соблюдая масштаб, сечение расчетной

области.

2. Наносят линии T = const и q = const, добиваясь, чтобы

диагонали косоугольных четырехугольников делили одна другую

пополам и были взаимно перпендикулярны. Изотермы, кроме того,

должны быть перпендикулярны адиабатным границам (поскольку

на них q = 0), а также осям симметрии области, если они есть.

3. Уточняют расположение линий сетки, пока не будут

выполнены положения второго этапа, а затем определяют тепловой

поток, пользуясь законом Фурье.

193

Рассмотрим в качестве примера составную область (см. рис.

102), включающую Н-образную “вставку” (похожее сечение может

иметь теплоизолированная стенка кузова, усиленная армирующим

ребром). На границах области заданы температуры ,и

21 ww

TT т. е.

поддерживаются граничные условия I рода. Требуется определить

тепловой поток, идущий через “вставку”, — ее обычно называют

тепловым мостиком (если автомобиль оставили на улице, а ночью

были заморозки, все такие мостики утром станут ясно видны: на

них по-другому, чем на прочих местах, оседает иней).

Считаем задачу стационарной, а все границы “вставки”, кроме

выделенных жирной линией, — адиабатными; теплопроводность

материала вставки постоянна и равна λ. Исходя из соображений

симметрии, вычертим в удобном масштабе 1/2 сечения вставки, а

затем проделаем операции, указанные в этапах 1 и 2. Тепловой

поток мы разделили на составляющие Q

, Q

и Q

, причем их

сумма равна общему тепловому потоку:

∑

(2.102)

Для каждой ячейки (одна из них показана на рис. 102) можно

записать уравнение Фурье

iii

∆

−

λ=

∆

(2.103)

(в формуле (1.103) полагаем, что в направлении, перпендикулярном

плоскости чертежа, размер ∆z = 1). Поскольку в каждой ячейке ∆x =

∆y, перепад температур между соседними изотермами будет

одинаковым. Если теперь между изотермами на чертеже М

промежутков (у нас М= 13), то

(

)

()

.;;

2121

1 ww

TT −

∆

−

=−

Условие ∆x = ∆y — одно из очень важных: именно оно

определяет, с каким интервалом следует проводить линии обоих

семейств (чем больше линий, тем точнее решение). Вначале задают

величину ∆y (например, так, чтобы изотермы шли с шагом в 5 или

194

10 К), а потом определяют число “каналов” (Q = const по

соотношению ∆x = ∆y; при этом линии тока разделят сечение на N

частей (у нас N = 4), поэтому

NQQ

Формула (2.104) примет вид

(

)

()

NNQQQ −

−λ

===

∑

(2.104)

Теперь можно “оцифровать” чертеж: если, например, Т

400 К, Т

= 300 К, то изотермы пойдут с шагом 100/13 = 7,7 К.

Отношение N/М = S называют формфактором теплопровод-

ности; с учетом такого обозначения тепловой поток

()

TSTTSQ

∆

−

λ=

(2.105)

где ∆T — наибольший перепад температуры на исследуемой

области.

Мы провели расчет на единицу длины “вставки” (∆z = 1); в

общем случае величина S, как следует из формулы (2.105), должна

иметь размерность длины

[]

[

]

[

]

[

]

[][]

[]

.м

КВт

КмВт

⋅

∆λ

Значения S заранее рассчитывают для систем,

распространенных в практике, а затем сразу переходят к оценке

по формуле (2.105). Величину S можно определить и графическим

методом, а иногда — даже аналитически.

Показано, в частности, что для пластины размерами h×b×δ S =

hb/δ, а для полого цилиндра D × d × h —

()

= (см. рис. 74).

Hа рис.103 представлены значения формфактора S для цилиндра с

эксцентричным каналом (рис. 103,а), бруса с каноническим каналом

(рис. 103,б), канала круглого сечения (рис. 103,в) и цилиндрической

полости конечной глубины в полуограниченном теле (рис. 103,г).

195

Рис. 103.

Заметим, что формфактор S связан с термическим

сопротивлением тела R* зависимостью

∗

поэтому формулы

и таблицы в обоих случаях взаимозаменяемы: достаточно,

например, сопоставить формулы, приведенные на рис. 101 и 103,б.

Модификации графического метода существуют и для других

видов граничных условий, но они менее удобны. Еще одно

ограничение связано с тем, что метод применим лишь для

стационарных задач: при решении задач нестационарных пришлось

бы

для каждого выбранного момента проводить свой расчет,

корректируя температурное поле на границе по результатам

предшествующих выкладок.

2.5.3. Метод конечных разностей

Основная идея метода состоит в том, что непрерывный

процесс теплопередачи заменяют дискретным; при этом изотермы

из плавных линий превращаются в ломаные. Математически метод

конечных разностей означает замену дифференциального

уравнения теплопроводности алгебраическим уравнением, где роль

приращений

∂τ∂∂ ,, выполняют конечные разности .,,

∆τ∆∆

196

Рис. 104.

Впервые такой подход реализовал немецкий теплотехник

Э. Шмидт в 1924 г.; следуя его идеям, рассмотрим задачу

нестационарной теплопроводности пластины при граничных

условиях I рода с произвольным начальным распределением

температуры.

Разобьем пластину (рис. 104) на слои произвольно малой

толщины ∆х и присвоим им индексы n–1, n, n+1,... Интервалам

времени ∆τ присвоим обозначения k

–1, k, k+1,... Температуру n-го

слоя в момент времени k будем обозначать Т

n,k

Заменим дифференциальное уравнение Фурье

∂

τ∂

∂

конечно-разностным приближением

∆

τ∆

∆

(2.106)

Переход к алгебраическому уравнению (2.106) означает, что

температура в сечении пластины меняется по ломаной линии — она

соединяет точки 1, 2, 3, ..., лежащие в среднем сечении каждого

слоя толщиной ∆х.

Соединим эти точки для некоторого момента τ = k∆τ и

получим ломаную 1–2–3.

В пределах любого n-го слоя перелом линии означает, что aналог

частной производной

∆

имеет два значения — “левое”

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

“правое”

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

197

;

,,1

,1,

knkn

∆

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

−

Aналог второй частной производной

()

knknkn

TTT

,,1,1

−+

∆

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

−+

+−

(2.107)

Аналог производной

τ∂

∂T

,1,

∆

−

τ∆

∆

+ knkn

(2.108)

С учетом подстановок (2.107) и (2.108) перепишем уравнение

(2.106):

;

,,1,1,1,

TTT

knknknknkn

∆

−

∆

−

−++

(2.108)

отсюда

,1,1

,1,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∆

τ∆

=−

−+

knkn

(2.109)

Поскольку ∆х и ∆τ мы задали произвольно, их соотношение может

быть любым. Выберем его так, чтобы

∆

, тогда из равенства

(2.109) получим

(

)

,1,11, knknkn

TTT

−++

(2.110)

т. е.

температура в n-м слое в момент (k+1)∆τ равна полусумме

температур в двух соседних слоях в момент k∆τ. На рис. 104

решение (2.110) представлено графически: точка 2 получается, если

соединить отрезком прямой точки 1 и 3.

Поскольку величина

∆

равна числу Фурье для слоя

толщиной ∆х, условие

∆

можно записать короче: Fо = 0,5.

198

Таким образом, для решения задачи методом Шмидта

необходимо:

разбить сечение на n слоев толщиной ∆х каждый;

выбрать интервал времени ∆τ, удовлетворяющий условию Fо

= 0,5;

задать начальное распределение температур 1–2–3–...;

последовательно определить температуры в моменты ∆τ,

2∆τ,..., k∆τ,..., используя соотношение (2.110) или эквивалентное

ему графическое построение.

Э. Шмидт предложил свой метод именно как

графический,

хотя сейчас его используют в основном как компьютерный.

Существуют двух- и трехмерные варианты метода конечных

разностей.

Дальнейшее развитие описанный подход получил в 1946 г.,

когда А.П. Ваничев предложил его модификацию —

метод

элементарных балансов, который позволил решать задачи

теплопроводности для составных тел и для сред с переменными

теплофизическими свойствами.

Метод элементарных балансов (применительно к одномерным

задачам) предполагает, что теплоемкость каждого n-го слоя

“сосредоточена” в некоторой точке 1 (рис. 105); со своими

“соседями” — точками 2 и 3 — точка 1 соединена

тепловыми

связями, по которым передается теплота. В основе метода

Ваничева лежат три постулата.

Рис. 105.

1. Изменение температуры между расчетными точками

(узлами) происходит по линейному закону и определяется

термическим сопротивлением тепловых связей.

2. Изменение температуры во времени происходит скачками.

3. Увеличение энтальпии элементарного объема,

прилегающего к данному узлу, пропорционально приращению

температуры в этом узле.

Если в сечении выделить слой ∆х, а все расчеты вести

для

пластины единичной площади, то элементарный объем слоя

199

(

)

xxxV ∆=⋅∆⋅∆=

Теплота, переданная слою по связи 2–1, на основании

постулата 1,

()

1221

τ∆∆−

∆

= xTT

а переданная по связи 3–1–

()

;

1331

τ∆∆−

∆

= xTT

здесь T

, T

— температуры узлов, рассчитанные в один и тот же

момент.

За время ∆τ температура узла 1 изменится, поскольку к нему

подведена теплота Q

,+Q

; это изменение, в силу постулата 3,

определится из соотношения

() ()

132312111

TTT

QQTTVc −+τ∆

∆

=+=τ∆−

′

(2.111)

где

′

— температура узла 1, рассчитанная в конце интервала

времени ∆τ (в соответствии с постулатом 2 температура узла

меняется скачком).

Соотношение (2.111) — уравнение теплового баланса (отсюда

и название метода); из него следует, что

1321

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

τ∆λ

+−+

τ∆λ

′

TTT

Если учесть, что

()

,Fo,,

∆

τ∆

∆==

xVa

то

последнее равенство примет вид

1321

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−++=

′

TTTT

(2.112)

Потребуем, как и прежде, чтобы Fо = 0,5, тогда

′

(2.113)

Как видим, уравнение (2.113) имеет тот же смысл, что и

уравнение (2.110). В то же время условие Fо = 0,5 для уравнения

200

(2.112) не является обязательным; можно задавать любые значения

Fо < 0,5. Например, при Fо = 1/3 равенство (2.112) принимает вид

()

1321

TTTT ++=

′

а при Fо = 1/4 —

()

1321

TTTT ++=

′

В правую часть этих формул входит величина T

: для расчета

каждой последующей температуры в узле 1 надо знать предыдущее

ее значение. Чем меньше Fо, тем точнее решение, но одновременно

с точностью, увеличивается трудоемкость (или применительно к

компьютерному варианту — время счета).

Для двумерных задач теплопроводности составляется

аналогичная расчетная схема (рис. 106); если положить,

что

,Foa,

∆

=δ=∆=∆

yx то в узле 0 в каждый последующий

момент времени температура

043211

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−++++=

′

TTTTTT

а при Fо = 1/4

()

43211

TTTTT +++=

′

Рис. 106.

Трехмерные задачи решают, рассматривая пространственные

тепловые связи.

И метод Шмидта, и метод Ваничева реализуют

явные

конечно-разностные схемы: каждую последующую (во времени)