Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача

Подождите немного. Документ загружается.

221

–3 = – с – е – 2f – 3g — для времени [T];

–1 = – f – g — для температуры [θ].

В четыре уравнения входят шесть неизвестных, система

незамкнута, но позволяет выразить одни показатели степени через

другие. После несложных преобразований получим

.1;

;;1

dgedc

edb

−=−=

−

Формула размерностей (2.129) примет вид

λνρ

lwl

cwl

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

Сгруппировав члены с одинаковыми показателями степени,

получим

νλ

fpf

wlc

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

но ,

fpf

= поэтому

νν

ννλ

wlwl

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−−

Полученные безразмерные комплексы и представляют собой

критерии подобия:

Nu =

— число Нуссельта, характеризует интенсивность

конвективного теплообмена (этот определяемый критерий внешне

похож на число Био

Bi =

, но в числе Bi теплопроводность λ

относилась к материалу твердого тела, а не к жидкости; кроме того,

и размеры l в этих критериях разные: в Bi входит характерный

размер твердого тела, а в Nu — потока жидкости;

222

= — число Рейнольдса, характеризует отношение

масштабов сил инерции и вязкости и определяет

гидродинамический режим течения жидкости;

Pr =

— число Прандтля, характеризует физические

свойства жидкости;

=Pe

—

число Пекле, его можно представить как

произведение чисел Re и Рr:

;

PrRePe

Twcwlc

fpf

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

====

здесь числитель характеризует плотность теплового потока,

переносимого конвективным путем, а знаменатель —

теплопроводностью.

Итак, формула размерностей (2.129) приняла вид уравнения

подобия

,PrReNu

(2.130)

где m = d – 1, n = d — постоянные величины. В нем три

безразмерных комплекса, что соответствует требованиям π-

теоремы; величины С, m и n должны определяться в ходе

эксперимента.

Заметим, что вид уравнения (2.130) предопределен исходной

(и не слишком строгой) зависимостью (2.129). В ней, в частности,

не учтено действие архимедовых сил, существенных для свободной

конвекции, поэтому уравнение (2.130) применяют в случаях, когда

преобладает вынужденное движение жидкости. Для теплообмена

при свободной конвекции уравнение подобия принимает форму

()

,RaPrGrNu

CC ==

(2.131)

223

где

∆= β

— число Грасгофа, которое характеризует

соотношение архимедовых сил и сил вязкости в потоке.

Произведение Ra = Gr⋅Рr называют числом Рэлея, этот

критерий, сокращающий запись, широко используют в равенствах

вида (2.131).

Если преобразовать β∆T:

ρρ

−

∆

∆∆

≈∆

∂

=∆=

(здесь ρ

и ρ

— плотность жидкости в двух различных точках), то

получим

ρρ

−

Для многофазных сред, состоящих из ряда однофазных

областей жидкости или газа с плотностями ρ

и ρ

, вместо числа

Gr используют число Архимеда:

ρρ

−

смысл которого ясен из структуры формулы.

2.7.4. Правила моделирования

В уравнениях (2.130) и (2.131) мы достаточно произвольно

задавали размер l. Кроме того, не было наложено никаких

ограничений на температуру, при которой выбраны λ

, c

, ρ

, ν и β.

В эксперименте эти величины надо задавать более обоснованно.

Размер l, входящий во все критерии, где он необходим для

"выравнивания" размерностей, назовем характерным размером.

Его выбирают из числа реальных размеров системы так, чтобы в

224

наибольшей степени учесть физическую картину явления. Если

жидкость течет по достаточно длинной горизонтальной трубе, то в

качестве размера l разумно выбрать диаметр трубы d, а при

свободной конвекции вблизи вертикальной трубы или стенки — ее

высоту h. Выбор, помимо прочего, связан со сложившейся

традицией

и должен удовлетворять трем требованиям: 1) быть

существенным для изучаемого процесса; 2) поддаваться

измерению; 3) оставаться неизменным в ходе эксперимента.

Аналогично подходят и к выбору характерной температуры:

ее либо замеряют (или задают) в зоне, где жидкость хорошо

перемешивается, либо берут как среднее значение:

−

полагая, что T

и T

всегда можно проконтролировать. И в этом

случае на выбор Т влияют перечисленные выше соображения.

Поскольку выбор значений l и Т не является вполне

однозначным, надо точно знать, каким образом выбраны эти

величины в опытах — как собственных, так и описанных в

литературе. Будем далее обозначать такой выбор индексами;

например, символ Nu

означает, что число Нуссельта рассчитано по

характерному размеру d, а теплопроводность λ

, входящая в него,

взята из таблиц при температуре Т

Если значение критерия усредняется по некоторому

параметру, например по длине трубы, обозначим это символом N

;

если черта над символом отсутствует, речь либо идет о местном

значении Nu

= Nu

(x) , либо величина Nu одинакова во всей

области, где исследуют конвективный теплообмен.

Безразлично в принципе, считать характерным размером диаметр

или радиус трубы, толщину или половину толщины пластины и

т. д. "Как договорились, так и выбирают", но нужно

всякий раз

убедиться, что именно выбрано в качестве характерной величины!

225

Однородные функции, используемые в уравнениях подобия,

удобны при построении графиков. Действительно, уравнение

(2.130) после логарифмирования примет вид

.logPrlogRelogNulog Cnm

++=

(2.132)

В логарифмических координатах линии (2.132) являются

прямыми и составляют с осью Re

угол ϕ = arctg m (рис. 110).

Чтобы определить величину С, запишем уравнение подобия (2.132)

в виде

.logPrlog

log Cn

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(2.133)

Рис. 110. Рис. 111.

Величина m известна, поэтому все данные лягут на прямую,

наклоненную к оси

Pr под углом ψ = arctg n (рис. 111); из графика

найдем сначала log С, а затем и саму величину С.

Экспериментальные точки не дают информации о виде

формул (2.130)–(2.133), поэтому при обработке данных точки

наносят на сетку логарифмических координат, а затем осредняют

одним из известных способов. Если точки ложатся на одну прямую,

то формулы (2.130)–(2.133) справедливы во всем диапазоне

изменения величин, в противном случае прибегают к линейной

аппроксимации по участкам (рис. 112), и на каждом из участков I,

II, III определяют значения С, m, n. Напомним, что данные,

226

полученные в экспериментах (как в собственных, так и

приводимых в литературе), можно использовать только для

физически подобных явлений и при условии, что область

изменения критериев (Re, Gr, Рг и др.) не шире той, что

использовалась в опытах. Если эти ограничения отбросить, то

ошибка может оказаться непредсказуемо большой.

Рис. 112.

2.8. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В

ОДНОФАЗНОЙ СРЕДЕ

2.8.1. Режимы течения жидкостей и газов

Опыты показывают, что в течении жидкостей и газов имеются

два резко различающихся режима. Первый, при котором отдельные

струи (слои) движутся устойчиво, без случайных изменений

вектора скорости по направлению и модулю, называют

ламинарным. При ламинарном течении частицы жидкости могут

двигаться по стационарным траекториям, как бы "вдоль волокон"

(лат. lamina — волокно). Второй режим, когда траектории частиц

меняются во времени хаотично, а в потоке возникают нерегулярные

пульсации скорости, давления, температуры и других параметров

(такое течение, строго говоря, никогда не бывает стационарным),

называют турбулентным.

227

Ламинарное течение наблюдается при низких скоростях

течения или при большой вязкости жидкости. Более точно

определить ламинарное течение можно как поток, в котором силы

инерции и вязкости имеют близкий порядок. Мерой отношения

этих сил является число Рейнольдса, поэтому при малых значениях

Re течение ламинарное, а с увеличением Re оно переходит в

турбулентную форму. Для труб и каналов критическим является

crl

= 2300. При Re < 2300 течение ламинарное, при Re > 104 =

cr2

наблюдается развитое турбулентное течение, а область 2300

< Re < 10

называют переходной. Для течений других видов

значения Re

, могут сильно отличаться от указанных выше.

Например, при обтекании плоской поверхности

105

Re ⋅≈=

, но всегда при Re < Re

cr1

, режим течения

ламинарный, а при Re > Re

cr2

— турбулентный.

2.8.2. Пограничный слой

Установлено, что вблизи твердой поверхности продольная

скорость потока падает и на самой поверхности обращается в нуль.

Это связано с тем, что непосредственно прилегающие к

поверхности частицы жидкости тормозятся, "прилипают" к ней, а

трение между слоями жидкости обеспечивает более или менее

плавный переход от нулевой скорости на поверхности к скорости,

которую имеет поток, набегающий на обтекаемое тело, или поток в

центральной части трубы или канала. Область течения, в которой

скорость изменяется от нуля на поверхности до скорости

набегающего потока, называют динамическим пограничным слоем

(рис. 113).

228

Рис. 113.

За пределами динамического пограничного слоя скорость по

нормали к поверхности не меняется

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

, что и позволяет

определить толщину слоя δ

. Если даже пластину обтекает

турбулентный поток, то в пограничном слое, образующемся вблизи

ее передней кромки, течение будет ламинарным. Но при

достижении

(т. е. по мере удаления от передней

кромки) в пограничном слое возникают и усиливаются пульсации,

пока наконец в точке х

сr2

, где число Рейнольдса становится равным

= , турбулентным не станет весь слой, за исключением

тонкой области, называемой вязким подслоем. Толщина этого

подслоя уменьшается с увеличением скорости набегающего потока,

а скорость жидкости в подслое падает до нуля линейно.

В разделе 2.6.1 мы упоминали о существовании теплового

пограничного слоя. Рассмотрим теплообмен жидкости с

температурой T

и поверхности с температурой T

Непосредственно вблизи поверхности жидкость принимает

температуру T

, а поскольку вдали от поверхности температура

жидкости равна T

, существует область течения, в которой

температура жидкости изменяется от T

до T

. Это и есть тепловой

пограничный слой. Толщина его ∆

, зависит от скорости,

229

физических свойств жидкости и уменьшается с увеличением числа

Re. Соотношение толщин δ

, и ∆

; зависит от числа Рг (как будет

показано в разд. 2.8.3, в ламинарной части пограничного слоя

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

). В турбулентном пограничном слое основное

изменение температуры происходит в вязком подслое (где, кстати,

и температура, и скорость меняются линейно). Толщины

динамического и теплового пограничных слоев здесь примерно

равны: δ

, = ∆

Чем тоньше пограничный слой, тем больше градиент тем-

пературы у поверхности и тем, следовательно, выше коэффициент

теплоотдачи α. Именно поэтому турбулентное течение

обеспечивает более интенсивный конвективный теплообмен, чем

ламинарное. Теория пограничного слоя создана Л. Прандтлем в

1904–1910 гг. и с тех пор получила значительное развитие.

Представление о пограничном слое позволило разделить

поток жидкости на две зоны: в пристенном слое действуют силы

вязкости и теплота передается молекулярным путем

(теплопроводностью). В ядре потока силами вязкости можно

пренебречь, здесь отсутствует градиент температуры и,

следовательно, "поперек потока" механизм теплопроводности не

действует, теплота передается только конвективным путем.

2.8.3. Теплообмен в ламинарном пограничном слое на

плоской поверхности

Если в общей постановке задача конвективного теплообмена,

как правило, не имеет законченного аналитического решения, то

теплообмен в ламинарном пограничном слое на плоской

поверхности — исключение: расчет можно "довести до конца",

если использовать излагаемый ниже интегральный метод.

Рассмотрим стационарный конвективный теплообмен не-

сжимаемой жидкости в пределах ламинарного пограничного слоя,

230

т. е. при Re

< Re

xcr

, где

= . Будем полагать, что

поверхность, достаточно протяженная вдоль оси z (тогда все

производные по z можно считать равными 0), полубесконечна по х,

а силой тяжести в потоке можно пренебречь в сравнении с силами

вязкости и инерции. Кроме того, при обтекании плоской

поверхности "бесконечным" потоком gradp = 0. Л. Прандтль

показал, что в этом случае

∂

, а

система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена

(см. разд. 2.6.2) принимает вид

α,0

,λρ

,µρ

fyxff

−

∂

−

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

(2.134)

Преобразуем систему уравнений (2.134). Если

проинтегрировать первое и второе уравнения "поперек

пограничных слоев" δ

, и ∆

то получим

()

;νd

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∂

∫

ywww

(2.135)

()

∆

∂

ϑ∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϑ−ϑϑ

∂

∫

(2.136)

где ϑ = Т – T

, ϑ

= Т

– T

— избыточные температуры, текущая и

предельная соответственно; w

— скорость в ядре потока.

Соотношения (2.135) и (2.136) можно получить также,

составив уравнения баланса импульсов и теплоты для

динамического и теплового пограничных слоев.