Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача

Подождите немного. Документ загружается.

231

Распределения скорости и избыточной температуры в

ламинарном пограничном слое хорошо аппроксимируют полиномы

третьей степени:

;

δδδ

2100

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

lll

aaww

(2.137)

2100

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

+ϑ=ϑ

lll

(2.138)

где a

,...,а

и b

,...,b

— постоянные коэффициенты.

Коэффициенты полиномов (2.137) и (2.138) можно определить

из граничных условий для скорости и температуры:

;0;0;;0

δ0

∂

www

(2.139)

0;0;;0

∂

ϑ∂

∂

ϑ∂

ϑ=ϑ=ϑ

∆=

∆==

(2.140)

(последние условия в равенствах (2.139) и (2.140) соответствуют

первым двум уравнениям системы (2.134), поскольку

→=

→

ww ). Подставляя соотношения (2.139) и (2.140) в

полиномы (2.137) и (2.138) соответственно, получим

;

δ2

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(2.141)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

ϑ=ϑ

(2.138)

Расчет коэффициента теплоотдачи а на основе последнего

уравнения системы (2.134) приводит теперь к выражению

∆

=α

(2.143)

232

Таким образом, для окончательного расчета а необходимо

найти ∆

, например, из уравнения (2.136), но туда входит еще и δ

(косвенно, через w

), поэтому придется решить также уравнение

импульсов (2.135). Подставляя w

из уравнения (2.141) в уравнение

(2.135), найдем

280

=δ

(2.144)

а подставляя w

, δ

, ϑ в уравнение (2.136), получим

;

∆

(2.145)

280

xν

=∆

(2.146)

(чтобы получить последние два результата, мы допустили, что ∆

≤

и что ∆

и δ

одинаковым образом зависят от продольной

координаты х). Подставим теперь ∆

в формулу (2.143); получим

,Pr335,0

xν

λ=α

(2.147)

откуда легко получить уравнение подобия

.PrRe335,0Nu

33,05,0

fxf

(2.148)

Этот результат позволяет рассчитать местные значения α, в то

время как для практических расчетов часто достаточно знать

средние по длине пластины значения коэффициента теплоотдачи

∫

α=α

при L < x

cr1

. Интегрирование α по х приводит к

уравнению подобия

PrRe67,0Nu

25,0

38,05,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

fLf

(2.149)

233

В уравнение (2.149) дополнительно введен поправочный

множитель М.А. Михеева

25,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

. Смысл его станет ясен, если

вспомнить, что для капельных жидкостей число Прандтля Рr

снижается с увеличением Т

,. Отсюда следует, что при T

> T

25,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

, а при T

< T

25,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

, т. е. множитель

25,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

учитывает связь коэффициента теплоотдачи с

направлением теплового потока.

Поправка

25,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

необходима при расчете коэффициента

теплоотдачи для капельно-жидких теплоносителей; для газов число

Рr меняется слабо и при умеренных перепадах

температуры .1

25,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

2.8.4. Теплообмен в турбулентном пограничном слое на

плоской поверхности

Турбулентное течение, как отмечалось, характеризуется

пульсациями скорости, температуры, давления и т. д. Если

использовать достаточно точный измеритель скорости в

пограничном слое, который сможет фиксировать мгновенные ее

значения w

и w

, то при продольном обтекании плоской

поверхности мы получили бы примерно следующие графики (рис.

114).

234

Рис. 114.

Скорость w

в любой момент времени можно представить в

виде

www

′

(2.150)

где

— среднее значение скорости w

, a

′

— продольные

пульсации.

Поперечная составляющая скорости

yyy

www

′

(2.151)

но ,0=

w поэтому ,

′

где

′

— поперечная пульсация

скорости w

. При отсутствии значительных продольных градиентов

температуры составляющая скорости

′

не оказывает заметного

влияния на теплообмен, а вот составляющая

′

в пограничном

слое, где поперечные перепады температуры и скорости

значительны, играет существенную роль. Если представить, что в

турбулентном пограничном слое макроскопическая, но малая

частица 1 переместилась в положение 2 (рис. 115), то условие

неразрывности потребует, чтобы переход был скомпенсирован:

частица 2 должна перейти в положение 1. Переходы 1–2 и 2–1

обеспечат сохранение сплошности потока, и уравнение

неразрывности не нарушится. Однако частица 1 имела скорость w

а перешла в область частицы 2, где средняя продольная скорость

равна w

, и наоборот. Подобных обменов происходит много,

235

поэтому “сверху вниз” идет массовый поток ту, равный массовому

потоку частиц “снизу вверх”. Кажется, что такой обмен должен

приводить к выравниванию скорости, однако в действительности

профиль средней скорости сохраняет устойчивость.

Рис. 115.

Это говорит о том, что выравниванию скоростей препятствует

какая-то сила, а именно сила трения между слоями. Таким образом,

на основе теоремы сохранения количества движения мы имеем

право записать

(

)

21 xxyT

wwmS

−

(2.152)

Здесь S

— турбулентное касательное напряжение трения;

— массовый поток, связанный с турбулентными пульсациями.

Но этот же массовый поток

переносит энтальпию: частица 1

несет поток энтальпии ,

1 ypf

mTc

а частица 2 — .

2 ypf

mTc

Разность

потоков энтальпии определяет плотность теплового потока в

направлении, перпендикулярном поверхности:

(

)

TTmcq

ypft

−

(2.153)

236

Исключая

из уравнений (2.152) и (2.153), получим

(

)

pfT

cTTS

−

(2.154)

Уравнение (2.154) записано для двух произвольных точек 1 и

2. Если его применить для крайних точек турбулентного

пограничного слоя (на верхней границе

, ,

1 f

TT = , a на

нижней

ww =

— скорости на границе вязкого подслоя толщиной

TT =

— температуре на границе вязкого подслоя), то получим

(

)

0 v

pfvfT

cTTS

−

(2.155)

В пределах вязкого подслоя δ

, где скорость и температура

изменяются линейно, плотность теплового потока и напряжение

трения остаются постоянными, следовательно, в формуле (2.155) q

и S

можно заменить на q

и S

. Эти величины связаны со

скоростью и температурой на границе вязкого подслоя:

()

STTq

µ=−

поэтому

(

)

wvwf

STT

−

(2.156)

Исключая T

из равенств (2.155) и (2.156), получим

()

1Pr1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−+

=α

pfw

(2.157)

Соотношение (2.157) называют уравнением аналогии

Рейнольдса: речь идет об аналогии между коэффициентом

теплоотдачи α и напряжением трения S

Остановимся на этом подробнее. Вспомним, что для газов

число Pr ≈ 1, поэтому близко к 1 и выражение в квадратных скобках

в формуле (2.157). Если теперь воспользоваться

237

обычным соотношением ,

(где С

— коэффициент

трения), то формула (2.157) примет вид

pff

(2.158)

Обозначение St принято для числа Стантона (Stanton

number), которое легко выразить через другие критерии подобия:

PrRe

ffx

(2.158)

откуда, при Pr ≈ 1,

.Re

PrRe

ffx

≈=

(2.159)

Формула (2.159) выражает суть аналогии Рейнольдса

наиболее наглядно. Для того чтобы получить расчетные значения

, а затем и α, необходимо использовать данные гидродинамики

для коэффициента трения C

(например, в виде уравнения C

0,0592 Re

–0,2

). При этом для газов

.Re0296,0Nu

8,0

(2.160)

Для капельных жидкостей соответствующая формула имеет

более сложную структуру:

PrRe0296,0Nu

25,0

4,08,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ffx

(2.161)

Поправочный множитель

25,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

играет здесь ту же роль,

что и в уравнении для ламинарной части пограничного слоя (2.149).

Посмотрим, как изменяется коэффициент теплоотдачи α

вдоль поверхности. Согласно формуле (2.148), в ламинарной части

слоя α

lam

~ х

–0,5

, а в турбулентном пограничном слое α

turb

~ х

–0,2

(см.

формулу (2.160)). Зависимость α

trans

(x) для переходной области на

рис. 116 показана штриховыми линиями.

238

Рис. 116.

В разд. 2.8.3 мы вывели формулу для расчета а при условии L

< x

crl

. Если же длина поверхности настолько велика, что L > x

cr2

, то

значение α находят путем вычисления трех интегралов:

,ddd

transturblam

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α+α+α=α

∫∫∫

cr cr

crcr

xxx

(2.162)

где α

lam

, α

turb

, α

trans

— значения коэффициента теплоотдачи для

ламинарного, турбулентного и переходного участков течения

соответственно.

Последний интеграл мало влияет на α, так как x

crl

достаточно

близко к x

cr2

, поэтому выражение (2.162) сводят к более простому:

,dd

turblam

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α+α=α

∫∫

(2.163)

где α

lam

и α

turb

определяют по формулам (2.148) и (2.161)

соответственно.

Подставим их значения, проинтегрируем и приведем

равенство (2.162) к безразмерному виду; получим

()

[]

PrReRe037,0PrRe67,0Nu

25,0

4,05,0

8,033,05,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+=

(2.164

)

239

В качестве критического принимают обычно Re

crl

= 5·10

Если Re

>> Re

crl

, то формула (2.164) упрощается:

PrRe037,0Nu

25,0

4,08,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(2.165)

При расчетах конвективного теплообмена газовых потоков с

плоской поверхностью множитель

25,0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

в формулах (2.164) и

(2.165) можно опустить.

Более строгий вывод уравнений подобия для конвективного

теплообмена в ламинарном и турбулентном пограничных слоях

требует численного интегрирования системы уравнений (2.134).

2.8.5. Теплообмен при вынужденной конвекции в трубах и

каналах

Мы рассмотрели конвективный теплообмен для случая, когда

жидкость ограничена твердой поверхностью только с одной

стороны; такой процесс происходит, например, при течении по

достаточно глубокому открытому каналу, при обтекании тела,

движущегося в весьма большом объеме жидкости, и т. д. Если

сечение потока ограничено со всех сторон, то характер движения и

теплообмен со стенками заметно меняются. На начальном участке

пограничный слой ведет себя так же, как при обтекании плоской

поверхности, но затем он может достичь толщины, равной радиусу

трубы или канала.

Затем уже не удастся разделить поток на невозмущенное ядро и

динамический пограничный слой: силы трения проявятся по всему

сечению. Поскольку трение связано с изменением скорости,

следует в первую очередь установить, как меняется эпюра

скоростей в зависимости от числа Рейнольдса.

В трубах режим движения зависит от числа Рейнольдса

; в качестве характерного размера выбирают диаметр

трубы, а среднюю скорость задают из соотношения

240

где G

— объемный расход жидкости; F — площадь поперечного

сечения трубы (для круглых труб диаметром d F = πd

/4).

Напомним, что при Re

< 2,3·10

течение носит ламинарный

характер, при Re

> 10

является турбулентным, а область 2,3·10

< 10

характеризует переходный режим течения.

При ламинарном течении жидкости по трубе диаметром 2r

скорость w(y) на расстоянии у от оси трубы определяется

соотношением Пуазейля:

,1)(

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

wyw

где w

— скорость на оси трубы.

При турбулентном течении профиль скоростей по форме

близок к трапеции, параболическое соотношение (2.166) не

выполняется. Обычно используют зависимость

(

)

;Re

при Re

< 2,3·10

принимают 5,0

; при больших значениях Re

пользуются экспериментальными данными (рис. 117).

Рис. 117.