Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Глава 5. Кинематика в теории относительности

171

На рис. 5.11 изображены также интервалы времени между

событиями, заданные в условии задачи, –

τ

1

,

τ

2

и Δ

τ

. Эти интервалы

времени относятся к событиям, происходящим в одной точке про-

странства, – A и B в системе S (интервал

τ

1

), A

1

и B

1

в системе S'

(интервал

τ

2

), A

1

и C

1

в системе S' (интервал Δ

τ

). В соответствии со

следствием преобразований Лоренца – "замедлением времени" (см.

Теоретический материал, формулу (5.6)) – эти интервалы времени,

соответствующие тем же парам событий, измеренные по часам

другой системы отсчета, увеличиваются в

γ

раз (см. рис. 5.11), где

()

2

/1

1

cU−

=

γ

.

II. Пусть в момент в момент вспышки света на носу первого

звездолета (событие A) второй звездолет находился на расстоянии

L

A

в системе отсчета S. Тогда интервал времени Δt

A

между собы-

тиями A и A

1

в этой системе отсчета с учетом скорости сближения

звездолетов равен:

Uc

L

t

+

=

A

Δ . (5.66)

Вспышка света на корме первого звездолета (событие С),

произошедшая одновременно с первой вспышкой на его носу (со-

бытие A) будет зарегистрирована на втором звездолете через время

C

Δt по часам первого звездолета:

Рис. 5.11

A B A

1

B

1

t'

С

1

C

γ

τ

1

Δ

τ

2

τ

1

C

γ

Δ

τ

A B A

1

B

1

t

С

1

γ

τ

2

Δt

A

Δt

C

Δ

t

B

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

172

Uc

lL

t

+

=

0A

C

Δ . (5.67)

Интервал времени Δt

B

между событиями B и B

1

в системе от-

счета S с учетом уменьшения расстояния между звездолетами за

время

τ

1

равен:

Uc

UL

t

+

−

=

1A

B

Δ

τ

. (5.68)

Как видно на рис. 5.11, рассматриваемые интервалы времени

связаны между собой соотношениями:

τ

γ

ΔΔΔ

AC

+= tt , (5.69)

21AB

ΔΔ

γ

τ

+−= tt . (5.70)

III. Решаем полученную систему уравнений (5.66) – (5.70)

относительно искомых величин l

0

и U:

2

1

0

Δ

τ

cl = , (5.71)

cU

2

1

2

1

ττ

+

−

= . (5.72)

Подставив в (5.71) и (5.72) заданные численные значения

τ

1

,

τ

2

и Δ

τ

, определим собственную длину первого звездолета l

0

и ско-

рость относительного движения звездолетов U:

l

0

= 600 м,

cU

5

3

=

. (5.73)

Задача 5.9

(Инвариантность пространственно-временных интервалов)

В некоторой системе отсчета происходят два события со сле-

дующими пространственно-временными координатами: x

1

= 0;

t

1

= 0 (событие А) и x

2

= 5 м; t

2

= 10

−8

c (событие В). Определить:

1) в какой системе отсчета эти события происходят на мини-

мальном расстоянии друг от друга

min

Δx

′

, найти это расстояние и

скорость движения системы отсчета V;

2) в какой системе отсчета эти события происходят с мини-

мальным временным интервалом

min

Δt

′

, найти этот интервал и

скорость системы отсчета V;

Глава 5. Кинематика в теории относительности

173

3) могут ли эти события находиться в причинно-

следственной связи.

Решение

I. В условии задачи заданы пространственно-временные ко-

ординаты событий А и В в системе отсчета S. Определим величину

квадрата пространственно-временного интервала (5.9) между этими

событиями:

016ΔΔ

2222

2

12

>=−= мtcxS , (5.74)

где

12

Δ xxx −= и

12

Δ ttt

−

= .

Так как 0

2

12

>S , то интервал между рассматриваемыми со-

бытиями – пространственно-подобный, и поэтому события А и В

не могут быть связаны причинно-следственной связью (см.

п. 5.1.4. Пространственно-временной интервал)

II. Поскольку пространственно-временной интервал инвари-

антен (

1212

SS

′

=

), то величина x

′

Δ будет минимальна в системе S',

когда 0Δ

=

′

t :

( )()

2

12

2

121212

min

Δ ttcxxSSx −−−==

′

=

′

. (5.75)

Очевидно, что

0Δ

min

=

′

t в той же системе отсчета S'.

Для определения скорости системы отсчета S' можно вос-

пользоваться одним из преобразований Лоренца (5.4):

γβ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

′

c

x

tt

Δ

ΔΔ

. (5.76)

III. Используя (5.76) при 0Δ

=

′

t , получим:

12

Δ

xx

tt

c

x

tc

c

V

−

===

β

и

12

2

xx

tt

cV

−

= . (5.77)

Подставив численные значения пространственно-временных

координат событий в (5.75) и (5.77), получим значения искомых

величин:

min

Δx

′

= 4 м,

5

3

=

β

и cV

5

3

= .

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

174

Задача 5.10

(Преобразования скоростей)

Два стержня одинаковой собственной длиной l

0

движутся в

продольном направлении навстречу друг другу параллельно общей

оси с одной и той же по величине скоростью V относительно лабо-

раторной системы отсчета S (рис. 5.12). Чему равна длина каждого

стержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем.

Решение

I. Свяжем систему отсчета S' с первым стержнем (см.

рис. 5.12). Скорость этой системы отсчета относительно лабора-

торной системы S совпадает со скоростью первого стержня

1

υ

и

равна V. Скорость второго стержня относительно той же системы S

равна V−

=

2

υ

.

Определим длину второго стержня относительно системы от-

счета S', связанной с первым стержнем. Для этого необходимо про-

вести измерение координат концов второго стержня в системе S'

одновременно. Пусть события А и В состоят в том в системе S' од-

новременно фиксируются положения двух концов второго стержня.

II. В соответствии со следствием преобразований Лоренца –

"

сокращением длины" – в системе отсчета S', для которой события

А и В происходят одновременно, наблюдается сокращение про-

странственного интервала – длины второго стержня:

2

0

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−==

′

c

l

υ

γ

, (5.78)

где

2

υ

′

– скорость второго стержня относительно системы отсчета

S'. Определим эту скорость, используя формулу преобразования

скоростей (5.21):

Рис. 5.12

Y

X

S

1

υ

2

υ

Y'

X'

S'

Глава 5. Кинематика в теории относительности

175

2

1

2

1

c

V

c

V

+

−=

−

=

′

υ

. (5.79)

III. Подставив найденную скорость

2

υ

′

(5.79) в соотношение

(5.78), получим:

22

0

2

02

1

4

1

Vc

l

c

V

ll

+

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−=

′

. (5.80)

Связав систему отсчета S' со вторым стержнем, аналогичным

образом можно получить длину первого стержня в системе отсчета,

связанной со вторым стержнем:

22

01

V

c

Vc

ll

+

−

=

′

. (5.81)

Задача 5.11

(Преобразования скоростей)

Два неподвижных прожектора излучают узкие пучки света в

противоположных направлениях относительно оси Y лабораторной

системы отсчета (см. рис. 5.13). С какой скоростью U эти прожек-

торы должны двигаться в направлении, перпендикулярном оси Y,

чтобы пучки света распространялись под углом

α

= 90° друг к дру-

гу?

Решение

I. В соответствии с условием задачи направим ось Y лабора-

торной системы отсчета S вдоль пучка света, излучаемого одним из

прожекторов (рис. 5.13), а ось X − в направлении их движения.

Свяжем систему отсчета S′ с прожекторами, движущимися со ско-

Рис. 5.13

X

Y

U

X

Y

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

176

ростью U относительно лабораторной системы S, и направим ее

оси X' и Y' вдоль осей X и Yсоответственно.

II. Поскольку прожектора покоятся относительно системы S',

то проекции скоростей распространения двух пучков света относи-

тельно этой системы в соответствии с условием задачи равны:

0

21

=

′

=

′

xx

υ

, c

y

=

′

1

υ

и c

y

−

=

′

2

υ

. (5.82)

Запишем формулы преобразования (сложения) скоростей

(5.22) для определения проекций скоростей распространения пуч-

ков света относительно лабораторной системы отсчета S:

2

1

c

U

x

υ

′

+

′

+

=

,

2

1

c

U

x

υ

′

+

′

+

=

, (5.83)

2

1

2

1

c

U

c

U

x

y

υ

′

+

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

= ,

2

1

c

U

c

U

x

y

υ

′

+

′

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

= . (5.84)

Для того чтобы пучки света распространялись под углом

°= 90

α

в лабораторной системе отсчета, необходимо выполнение

следующих условий:

yx 11

υ

=

и

yx 22

υ

−= . (5.85)

III. Определим проекции скоростей распространения пучков

относительно системы отсчета S (5.83) и (5.84) с учетом соотноше-

ний (5.82):

U

хx

=

21

υ

,

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

c

U

c

y

υ

,

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−=

c

U

c

y

υ

. (5.86)

Подставив полученные значения проекций скоростей в

(5.85), определим, с какой скоростью U должны двигаться прожек-

торы в направлении, перпендикулярном лучам, для того, чтобы

пучки света распространялись под углом 90° друг к другу:

2

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

c

U

cU . (5.87)

Следовательно

2

c

U = . (5.88)

Глава 5. Кинематика в теории относительности

177

Задача 5.12

(Преобразования скоростей)

Стержень АВ ориентирован параллельно оси X' в системе от-

счета S' и движется в этой системе со скоростью cU 7,0

=

′

, направ-

ленной противоположно оси Y' (см. рис. 5.14). Система S' в свою

очередь движется со скоростью cV 6,0

=

относительно лаборатор-

ной системы отсчета S в направлении ее оси Х, совпадающей по

направлению с осью X'. Найти угол между стержнем и осью Х в

системе S.

Решение

I. Пусть интересующими нас событиями будут события C и

D, состоящие в том, что в некоторый момент времени концы

стержня совпали с осью X' в системе отсчета S'. Пространственно-

временные координаты событий C и D в системе отсчета S равны

(

1

x ,

1

y ,

1

t ) и (

2

x

,

2

y

2

t

), а в системе отсчета S' – (

1

x

′

,

1

y

′

,

1

t

′

) и

(

2

x

′

,

2

y

′

,

2

t

′

) (см. рис. 5.15).

X

X'

Y

Y'

S

S'

V

A

B

U'

Рис. 5.14

Рис. 5.15

X

X'

Y

Y'

S

S'

V

1

x

′

2

x

′

U'

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

178

II. События C и D в системе отсчета S' происходят одновре-

менно, то есть

0Δ

12

=

′

−

′

=

′

ttt . (5.89)

В отличие от системы S' в системе S события C и D происхо-

дят не одновременно. В соответствии с преобразованиями Лоренца

интервал времени tΔ между событиями C и D в системе S с учетом

(5.89) равен:

()

2

12

/1

ΔΔ

Δ

cV

x

c

V

t

ttt

−

′

+

′

=−= . (5.90)

Поскольку

0Δ

12

>

′

−

′

=

′

xxx

, то

0Δ

12

>

−

=

ttt

. Это означает,

что в системе отсчета S концы стержня A и B пересекут некоторую

произвольную прямую y = y

0

в разные моменты времени, сначала

А, потом через интервал времени tΔ – B (см. рис. 5.16).

Таким образом, в системе отсчета S стержень оказывается

наклоненным к оси Х под углом

ϕ

. В тот момент времени, когда

конец А достиг прямой y = y

0

, конец В оказался выше этой прямой

на расстоянии

tUy

y

ΔΔ = , (5.91)

где

y

U – скорость, с которой стержень движется вдоль оси Y в

системе S. При этом согласно (5.7), в системе отсчета S произойдет

сокращение интервала

12

Δ xxx

−

=

:

()

2

/1Δ

Δ

Δ cVx

x

x −

′

=

′

=

γ

. (5.92)

Рис. 5.16

X

Y

S

1

x

2

x

U

y

0

y

yΔ

ϕ

A

B

Глава 5. Кинематика в теории относительности

179

Угол поворота стержня в системе S определяется следующим

образом:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

x

y

Δ

arctg

ϕ

. (5.93)

Проекция скорости стержня

y

U на ось Y лабораторной сис-

темы отсчета S в соответствии с одной из формул преобразования

(сложения) скоростей (5.22) равна

()

x

y

U

c

V

UcV

U

′

+

′

⋅−

=

2

1

/1

. (5.94)

В соответствии с условиями задачи

0

=

′

x

U

, UU

y

′

−=

′

. (5.95)

III. Искомый угол

ϕ

между стержнем и осью Х в системе S

находим, решая полученную систему уравнений (5.90) − (5.95):

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

′

=

2

/1

arctg

cVc

VU

ϕ

. (5.96)

Подставляя в (5.96) численные значения скоростей движения

стержня и системы S', заданные в условии задачи, получаем:

°

≅

7,27

ϕ

.

Рис. 5.17

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

30

60

90

ϕ,

ο

V

/

c

27,7

o

1

2

3

ϕ

пред

= 36,9

o

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

180

Проанализируем зависимость угла

ϕ

(5.96) от скорости дви-

жения V системы отсчета S' при различных скоростях движения

стержня U'. На рис. 5.17 изображены графики зависимости

()

cV /

ϕ

при трех значениях параметра cU /

′

. График 1 соответствует зна-

чению 999,0/ =

′

cU , график 2 − заданному в условии задачи значе-

нию 7,0/ =

′

cU , а график 3 − 3,0/

=

′

cU .

Как видим, при заданной скорости движения системы отсче-

та S' в лабораторной системе отсчета S угол между движущимся

стержнем и осью X имеет предельное значение

пред

ϕ

, определяемое

графиком 1 на рис. 5.17.

5.4. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Найти собственную длину стержня, если в лабораторной сис-

теме отсчета его скорость V = c/2, длина l = 1 м и угол между ним и

направлением движения

ϑ

= 45°.

Ответ:

()

(

)

м08,1/1sin/1

2

0

=−−= cVcVll

ϑ

.

Задача 2

Два стержня одинаковой собственной длиной l

0

движутся на-

встречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В сис-

теме отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени

между моментами совпадения левых и правых концов стержней

оказался равным Δt. Какова скорость одного стержня относительно

другого?

Ответ:

()

2

0

2

0

Δ

Δ2

ltc

tcl

V

+

=

.

Задача 3

Стержень, длина которого в системе отсчета S равна L, рас-

положен в ней так, что составляет с осью X угол

ϑ

. Система отсче-

та S' движется относительно системы S

со скоростью V = c/2 в сто-

рону, противоположную оси Y. Определить какой угол

ϑ

' состав-

ляет стержень с осью

X' системы отсчета S' и чему равна длина L'

стержня в этой системе.

Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Подождите немного. Документ загружается.