Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты

361

Выберем декартову систему координат лабораторной систе-

мы отсчета, связанной с трубой, ось X которой направим вдоль

трубы (см. рис. 9.13).

II. Запишем уравнение стоячей волны (см. (9.53)):

()

(

)

2coscos),(

+= tkxCxt . (9.138)

Поскольку у закрытого конца трубы частицы не испытывают

смещения из положения равновесия, то в любой момент времени:

()

(

)

02coscos)0,(

tCt

. (9.139)

Частицы, находящиеся вблизи открытого конца трубы, испы-

тывают одинаковое максимальное смещение из положения равно-

весия. При этом не происходит изменение плотности воздуха. Сле-

довательно, в соответствии с (9.34), можно записать:

),(Δ

∂

−=

. (9.140)

Подставляя результат дифференцирования (9.138) по

x в

(9.140), получим:

()( )

02cossin

),(

=++=

∂

ϕπνψ

tkLkC

. (9.141)

III. Решая совместно систему уравнений (9.139) и (9.141) для

любого момента времени, получим:

cos =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

πν

. (9.142)

Следовательно, искомые частоты нормальных колебаний

частиц воздуха в трубе, на которых резонирует труба, равны:

)12( +=

, n = 1, 2, 3, …. (9.143)

Заметим, что такими же собственными частотами обладает

стержень, закрепленный с одного конца (см. табл. 9.1).

Рис. 9.13

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

362

Для длин стоячих волн, соответствующих этим нормальным

колебаниям, можно записать:

или

)12(

. (9.144)

Полученное соотношение (9.144) означает, что при образова-

нии стоячей волны в трубе, закрытой с одного конца, на длине тру-

бы должно "укладываться" нечетное число четвертей длин волн.

Подставляя численные значения заданных в условии задачи

физических величин, входящих в (9.143), получим искомые значе-

ния частот, на которых будет резонировать труба:

Гц)10050( n

9.4. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Найти волновой вектор k и скорость

упругой волны, в ко-

торой смещение частиц среды меняется по закону:

)cos(

zyxt

−−−= , заданному в декартовой системе коор-

динат.

Ответ:

zyx

eeek

++= ,

222

γβαω

++=c , где

zyx

eee ,, –

орты декартовой системы координат.

Задача 2

Упругая продольная волна распространяется вдоль стержня с

плотностью

= 4,0 г/см

и модулем Юнга E = 100 ГПа. Найти ско-

рость

υ частиц среды в точках, где относительная деформация

стержня

01,0=

Ответ:

ρε

Eeυ −=

, где e − единичный вектор вдоль направле-

ния распространения волны;

м/с50=υ .

Задача 3

Изотропно излучающий точечный источник звука, мощность

которого

N = 0,1 Вт, находится в центре полого кругового цилинд-

ра радиусом

R = 1 м и высотой h = 2 м. Полагая, что стенки цилин-

дра полностью поглощают звук, найти среднее значение потока

Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты

363

энергии J звуковой волны, падающей на боковую поверхность ци-

линдра.

Ответ:

()

=+=

21 hRNJ 0,07 Вт.

Задача 4

Человек с хорошим слухом может слышать звук с колебани-

ем давления до Па10Δ

4−

=P при частоте

= 2 кГц. Найти ампли-

туду смещения частиц воздуха

в такой волне. Атмосферное

давление считать равным

P = 10

Па, плотность воздуха

= 1,3 кг/м

и показатель адиабаты 4,1

Ответ: м109,1

−

⋅≅=

ργπν

Задача 5

В однородной среде распространяется плоская экспоненци-

ально затухающая гармоническая упругая волна. Найти разность

фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц среды

отличаются на

= 1%, если коэффициент затухания

= 0,42 м

–1

длина волны

= 50 см.

Ответ: При

()

(

)

δλ

πη

δλ

21ln2Δ

≅

−

−=

≅ 0,3 рад.

Задача 6

Медный стержень длиной L = 50 см закреплен в середине.

Найти частоты продольных собственных колебаний в диапазоне

частот от 20 до 50 кГц. Модуль Юнга для меди

E = 1,2·10

Н/м

, а

плотность

= 8,9⋅10

кг/м

Ответ:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

34.7

кГц; четыре колебания с

частотами 25,7; 33,0; 40,4 и 47,7 кГц.

Задача 7

Две струны, сделанные из одного материала, имеют одинако-

вую длину и натяжение. Как относятся периоды их собственных

колебаний, если диаметр одной струны в два раза больше диаметра

другой.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

364

Ответ: Период колебания тонкой струны в 2 раза меньше.

Задача 8

Стержень с закрепленными концами имеет длину L = 3 м. В

стержне возбуждается звуковая волна, основная частота которой

равна

= 700 Гц. Какова скорость звука c в стержне? Какие обер-

тоны может иметь звук, издаваемый стержнем?

Ответ: Lc

= = 4200 м/с; обертоны –

, где n = 2, 3 ….

Задача 9

В незакрепленном алюминиевом стержне длиной L = 1 м

возбуждается поперечная упругая волна. Найти частоты собствен-

ных колебаний стержня в диапазоне частот от 1 кГц до 10 кГц.

Плотность алюминия

= 2,7⋅10

кг/м

, а модуль сдвига G = 26 ГПа.

Ответ: n

1,3=⋅=

кГц; три колебания с частотами 3,1; 6,2

и 9,3 кГц.

Задача 10

Гидролокатор подводной лодки, всплывающей вертикально,

излучает короткие звуковые импульсы длительностью

. Найти

скорость

U всплытия лодки, если длительность сигналов, принятых

приемником гидролокатора после отражения от горизонтальной

поверхности дна равна

τ, а скорость распространения ультразвука в

воде равна

Ответ:

ττ

−

cU .

Литература

365

ЛИТЕРАТУРА

Учебники

1. А. Н. Матвеев. Механика и теория относительности. − М. Изд.

дом «Оникс 21 век», 2003. − 432 с.

2. В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев. Механика. − М.:

Изд. центр «Академия», 2004. − 480 с.

3 С. П. Стрелков. Механика. − СПб.: «Лань», 2005. − 560 с.

4. Д. В. Сивухин. Общий курс

физики. В пяти томах. Т. 1.

Механика. − М.: ФИЗМАТЛИТ / МФТИ, 2005. − 559 с.

5. С. Э. Хайкин. Физические основы механики. − СПб.: «Лань»,

2008. − 768 с.

6. И. И. Ольховский. Курс теоретической механики для физиков. −

СПб.: «Лань», 2009. − 576 с.

7. В. В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парыгин.

Основы

теории колебаний. − М.: Наука, 1978. − 392 с.

Сборники задач

1. Сборник задач по общему курсу физики. В пяти книгах. Кн. I.

Механика. Под ред. И. А. Яковлева. − М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ,

2006. − 240 с.

2. И. Е. Иродов. Задачи по общей физике. − СПб.: «Лань», 2006. −

416 с.

3. Сборник задач по общему

курсу физики. В трех частях. Ч. 1.

Механика. Термодинамика и молекулярная физика. Под ред.

В. А. Овчинкина. − М.: Изд-во МФТИ, 2002. − 448 с.

Учебные пособия

1. Методика решения задач механики. Под ред. А. Н. Матвеева. −

М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1980. − 160 с.

2. Л. П. Авакянц, Р. Э. Шихлинская,

А. П. Штыркова. Разработка

семинаров по механике и теории относительности. Под ред.

А. Н. Матвеева. Изд-во Моск. ун-та, 1984 г. 148 с.

3. Л. П. Авакянц, Р. Э. Шихлинская, А. П. Штыркова. Разработка

семинаров по механическим колебаниям и волнам в упругой

среде. Под ред. А. Н. Матвеева. Изд-во Моск. ун-

та, 1986 г. 76 с.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

366

Справочная литература

1. Физический энциклопедический словарь. Гл. ред.

А. М. Прохоров. − М.: «Советская энциклопедия, 1984. − 944 с.

2. Физическая энциклопедия. В пяти томах. − М.: «Советская

энциклопедия, 1988 − 1998. − 3538 с.

3. Физические величины: Справочник. Под ред. И. С. Григорьева и

Е. З. Мейлихова. − М.: Энергоатомиздат, 1991. − 1232 с.

Учебное издание

РУСАКОВ Вячеслав Серафимович

СЛЕПКОВ Александр Иванович

НИКАНОРОВА Елена Александровна

ЧИСТЯКОВА Наталия Игоревна

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Оформление переплета: Е.В. Брылина

Подписано в печать 15.12.2009 г.

Формат 60х90.16. Объем 23 п. л. Тираж 500 экз.

Заказ №

Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

119991, ГСП1, Москва, Ленинские

горы, д. 1, стр. 2

Отпечатано в Типографии МГУ им. М.В. Ломоносова