Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач
Подождите немного. Документ загружается.
ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания
301
где
пр
x – координата точки крепления левой нити к пружине,
пр,0
x
– координата той же точки при нерастянутой пружине.
Поскольку нити по условию задачи нерастяжимы, изменение
угла поворота блока и изменение координат тела и точки крепле-
ния нити к пружине связаны соотношениями:
r
xΔ
Δ
=
α
, (8.116)
R
x
пр
Δ
Δ =
α
. (8.117)
Дифференцируя (8.116) по времени, получаем уравнение ки-
нематической связи углового ускорения блока и ускорения тела:
r
x
&&
&&
=
α
. (8.118)
Исключая изменение угла поворота блока
α
Δ
из (8.116) и
(8.117), получаем уравнение кинематической связи изменений ко-
ординат точки крепления левой нити к пружине и тела:
r
R
xx ΔΔ
пр
=
. (8.119)
Воспользовавшись (8.119), преобразуем (8.115) к виду:
r
R
xxkT )(
02
−= , (8.120)
где
0
x – координата тела в положении, когда пружина не растяну-
та.
В результате записана полная система уравнений (8.113),
(8.114), (8.118) и (8.120), которая с учетом начальных условий по-
зволяет получить закон движения тела.
III. Исключая
α
,
1
T и
2
T из системы уравнений (8.113),
(8.114), (8.118) и (8.120), получаем дифференциальное уравнение
второго порядка для координаты тела
x
:
0)(
2
2
0Арх
2
=−++−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
r
R
xxkFmgxx
r
J
m
&&&
η
. (8.121)
Найдем координату тела
ðàâí
x в положении равновесия, при
котором отсутствуют колебания (
0
=
x
&
и 0
=
x
&&
):
2
2
Арх0равн
)(
kR
r
Fmgxx −+= . (8.122)
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
302
Сделаем замену переменных, означающую введение коорди-
наты тела
ξ
, отсчитываемой от положения равновесия:
равн
xx −
=
ξ
. (8.123)
В этом случае из (8.121) получим уравнение для координаты
тела
ξ
:
0
2
2
2
2
=
+
+
+
+
ξξ
η
ξ
Jmr
kR
Jmr
r
&&&
, (8.124)
которое имеет вид уравнения затухающих колебаний (см. (8.33) в
п. 8.1. Теоретический материал).
Сравнивая полученное уравнение с (8.33), для коэффициента
затухания
δ
и частоты собственных незатухающих колебаний
0
ω
можно записать:
)(2
2
2
Jmr
r
+
=
η
δ
, (8.125)
Jmr
kR
+
=
2
2
0
ω
. (8.126)
Решением уравнения (8.124) является функция
)cos()(
0
ϕωξ
δ
+=
−
tАet
t
, (8.127)
где
22
0
δωω
−= − частота затухающих колебаний, определяемая
параметрами рассматриваемой колебательной системы, A − ам-
плитуда и
0
ϕ
− начальная фаза, определяемые начальными усло-
виями.
При произвольном выборе начала отсчета лабораторной сис-
темы координат закон движения тела будет иметь вид:
)cos()(
0равн
ϕω
δ
++=
−
tАextx
t
, (8.128)
С учетом начальных условий, заданных в задаче,
равн
)0( xtx =
=
, (8.129)
0
)0( Vtx =
=
&
(8.130)
находим амплитуду колебаний тела A и начальную фазу
0
ϕ
:
22
0
0
δω
−
=
V
A
, (8.131)
ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания
303
2
0
π
ϕ
−= . (8.132)
Искомый в задаче закон движения тела описывает затухаю-
щие колебания относительно положения равновесия (см. рис. 8.26):
(
)
te
V
xtx
t 22
0
22
0
0
равн
sin)(
δω
δω
δ
−
−
+=
−
. (8.133)
Следует отметить, что полученное решение справедливо при
малом затухании, когда
0
ω
δ
<
(см. п. 8.1.2. Собственные затухаю-
щие колебания). Если неравенство не выполняется, то решением
уравнения (8.121) является функция (8.41)
tt
eAeAxtx
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−
++=
2
0
22
0
2
21равн
)(
ωδδωδδ
, (8.134)
где коэффициенты
1
А и
2
А определяются начальными условиями
(8.129) и (8.130):
2
0
2
0
21
2
ωδ
−
=−=
V
AA . (8.135)
При этом закон движения тела принимает вид:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+− tt
ee
V
xtx
2
0
22
0
2
2
0
2
0
равн
2
)(
ωδδωδδ
ωδ
. (8.136)
Выражение (8.136) описывает апериодический процесс (см.
рис. 8.27), при котором в системе не возникает колебаний, она экс-
поненциально приближается к положению равновесия.
Рис. 8.26
)(tx
t
равн
x
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
304
Задача 8.7
(Свободные затухающие колебания)
Тонкий однородный диск массой m и радиусом R, подвешен-
ный в горизонтальном положении к упругой нити, отклонили на
угол
0
α
от положения равновесия и отпустили с нулевой началь-
ной угловой скоростью. Диск совершает крутильные колебания в
вязкой жидкости (см. рис. 8.28). Сила вязко-
го трения, действующая на единицу площади
поверхности диска со стороны жидкости,
равна
υf
η
−
=
в
, где const
=
η
,
υ
– скорость
данного элемента диска относительно жид-
кости. Момент упругих сил со стороны нити
равен
α
DM =
упр
, где D – постоянный коэф-
фициент,
α
– угол поворота диска относительно положения равно-
весия. Найти закон движения диска.
Решение
I. Используем динамический метод решения задачи. Диск
будем считать абсолютно твердым телом. На него действуют три
силы: сила тяжести, упругая сила со стороны нити и сила вязкого
трения, действующая со стороны жидкости. Под действием указан-
ных сил диск совершает затухающие крутильные колебания вокруг
вертикальной оси, проходящей через центр диска.
II. Запишем уравнение
моментов (см. (6.48) в п. 6.1.2. Гла-
вы 6) для диска относительно вертикальной оси, проходящей через
его центр:
вупр
MMJ +
=
α
&&
, (8.137)
Рис. 8.28
Рис. 8.27
)(tx
t
равн
x
ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания
305
где J – момент инерции диска относительно оси вращения, M
в
–
момент сил вязкого трения. Момент силы тяжести относительно
указанной оси равен нулю.
Момент инерции диска относительно его оси, совпадающей с
осью вращения, равен (см. (6.44) в Главе 6):
2
2
mR
J =
. (8.138)
Запишем момент d
M
в
силы трения, действующей на кольце-
образный элемент поверхности диска радиусом
r и площадью
d
S = 2
π
rdr:
αηπηυπ
&
rrrrrM d2d2d
3
в
−=−= . (8.139)
Учитывая, что сила вязкого трения действует на обе поверх-
ности диска, найдем суммарный момент сил трения, интегрируя по
обеим поверхностям диска:
απηαπη
&&
4
0
3
в
22 RdrrM
R
−=⋅−=
∫
. (8.140)
III. Уравнение движения диска получаем подстановкой
(8.140) в (8.137) с учетом (8.138) и заданного в условии задачи вы-
ражения для момента упругих сил:
0
22
2
2
=++
αα
πη
α
mR
D
m
R
&&&
. (8.141)
Сравнивая (8.141) с уравнением затухающих колебаний
(8.33), получим выражения для коэффициента затухания
δ
и час-
тоты собственных незатухающих колебаний диска
0
ω
:
m
R
2
πη
δ
= , (8.142)
2
0
2
mR
D
=
ω
. (8.143)
В случае слабого затухания (
0
ω
δ
<
) решение уравнения
(8.141) имеет вид (см. (8.34)):
)cos(
0
ϕωα
δ
+=
−
tAe
t
, (8.144)
где
22
0
δωω
−= – частота собственных затухающих колебаний
диска,
A – амплитуда,
0
ϕ
– начальная фаза.
С учетом начальных условий, заданных в задаче,
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
306
0
)0(
α
α
==t , (8.145)
0)0(
==t
α
&
(8.146)
находим амплитуду
A и начальную фазу
0
ϕ
колебаний диска:
0
α
=
A
, (8.147)
0
0
=
ϕ
. (8.148)
Искомый в задаче закон движения диска описывает зату-
хающие колебания относительно положения равновесия (см.
рис. 8.29):
(
)
tet
t 22
00
cos)(
δωαα
δ
−=
−
, (8.149)
Полученное решение справедливо при малом затухании ко-
лебаний, когда
0
ω
δ
< (см. п. 8.1.2. Собственные затухающие коле-
бания). Если неравенство не выполняется, то решением уравнения
(8.141) является функция (8.41)
tt
eAeAt
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−
+=
2
0
22
0
2
21
)(
ωδδωδδ
α
, (8.150)
где коэффициенты
1
A и
2
A определяются начальными условиями
(8.145) и (8.146):
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
2
0
2
0
1
1
2
ωδ
δα
A . (8.151)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
2
0
2
0
2
1
2
ωδ
δα
A . (8.152)
При этом закон движения диска в жидкости принимает вид:
Рис. 8.29
)(t
α
t
0
α
0
ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания
307
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+− t
et
2
0
2
2
0
2
0
1
2
)(
ωδδ
ωδ
δα
α
t
e
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−+
2
0
2
2
0
2
0
1
2
ωδδ
ωδ
δ
α
. (8.153)
Выражение (8.153) описывает апериодический процесс (см.
рис. 8.30), при котором в системе не возникает колебаний, она экс-
поненциально приближается к положению равновесия.
Задача 8.8
(Вынужденные колебания, резонанс)
Тело массой m = 100 г, подвешенное на легкой пружине же-
сткостью k = 40 Н/м, совершает установившиеся колебания под
действием вертикальной вынуждающей силы ptFF cos
0
=
, частота
которой
p
= 25 рад/с и амплитуда Í1
0
=
F . Смещение тела из по-
ложения равновесия отстает по фазе от вынуждающей силы на
4/3
π
ϕ
−= . Определить добротность колебательной системы Q , а
также резонансную частоту
рез
p , соответствующие резонансу сме-
щения, и амплитуду смещения при резонансе
рез
A .
Решение
I. На тело, подвешенное на пружине действуют четыре силы:
сила тяжести, сила упругости со стороны пружины, сила сопротив-
ления воздуха и вынуждающая сила tpFF cos
0
=
. Как было отме-
чено в п. 8.1.1, постоянная сила тяжести не влияет на частоту соб-
ственных колебаний, она лишь смещает положение равновесия.
Рис. 8.30
)(t
α
t
0
α
0
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
308
Поэтому решение задачи будет справедливо как при вертикальных,
так и при горизонтальных колебаниях тела на пружине. По усло-
вию задачи пружина легкая, ее массой пренебрегаем, считая ее
равной нулю.
II. Искомая добротность колебательной системы определяет-
ся выражением (8.40):
δ
ω
2
=Q . (8.154)
Здесь ω – частота собственных затухающих колебаний тела, кото-
рая в соответствии с п. 8.1.2 равна:
22
0
δωω
−= . (8.155)
Частота собственных незатухающих колебаний
0
ω
тела на
невесомой пружине (см. (8.8)) определяется массой тела m и коэф-
фициентом жесткости пружины k:
m
k
=
0
ω
. (8.156)
Коэффициент затухания
δ
, входящий в формулы (8.154) и
(8.155), определяет заданный в условии задачи фазовый сдвиг
ϕ
между смещением и вынуждающей силой в соответствии с выра-
жением (8.46):
2
0
2
2
tg
ω
δ
ϕ
−
=
p
p
. (8.157)
Искомая резонансная частота при резонансе смещения в со-
ответствии с (8.48) определяется выражением:
22
0рез
2
δω
−=p . (8.158)
При резонансной частоте искомая амплитуда вынужденных
колебаний (см. (8.49)) равна:
22
0
0
резрез
2
)(
δωδ
−
==
m
F
pAA
. (8.159)
Получена полная система уравнений (8.154) – (8.159) относи-
тельно неизвестных в задаче величин – добротности Q , резонанс-
ной частоты
рез
p и амплитуды смещения при резонансе
рез
A .
III. Совместное решение уравнений (8.154) – (8.157) дает вы-
ражение для добротности колебательной системы:
ГЛАВА 8. Свободные и вынужденные колебания
309
4
1
)(
4
1
)(
222
2
22
0
22
22
0
−
−
=−
−
=
kmptg
kmp
ptg
p
Q
ϕωϕ
ω
. (8.160)
Искомую резонансную частоту
рез
p находим, решая систему
уравнений (8.156) – (8.158):
(
)
22
2
22
2
22
0
22
2
0рез
2
tg
2
)(tg
pm
kmp
m
k
p
p
p
−
−=
−
−=
ϕωϕ
ω
. (8.161)
Амплитуду смещения при резонансе
рез
A определяем, решая
систему уравнений (8.156), (8.157) и (8.159):
=
−
−−
==
2
22
0
22
2
0
2
0
2
0
резрез
4
)(tg
tg)(
)(
p
p
pm
pF
pAA
ωϕ
ωϕω
()
22
2
22
2
0
4
tg
tg)(
pm
kmp
m
k
kmp
pF
−
−−
=
ϕ
ϕ
. (8.162)
Подставляя численные значения заданных в условии задачи
величин в полученные формулы (8.160) − (8.162), получаем:
17,2
≈
Q ; рад/с0,19
рез
≈p ; см7,5
рез
≈
A .
Задача 8.9
(Вынужденные колебания, резонанс)
Горизонтальный пружинный маятник совершает вынужден-
ные колебания под действием гармонической силы
)cos()(
0
tpFtF = . Коэффициент затухания маятника равен
δ
, а час-
тота его собственных незатухающих колебаний –
0
ω
. Найти отно-
шение средней за период мощности вынуждающей силы F(t) при
частоте, соответствующей резонансу смещения, к максимальной
средней мощности этой силы.
Решение
I. Рассмотрим колебания маятника под действием гармониче-
ской вынуждающей силы
)cos()(
0
tpFtF
=
в установившемся ре-
жиме, когда собственными затухающими колебаниями можно пре-
небречь (см. п. 8.1.3).
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
310
II. В установившемся режиме координата и скорость маятни-
ка меняются по законам (см. (8.47) и (8.53)):
)cos()(
ϕ
+= tpatx , (8.163)
)sin()(
ϕ
υ
+−= tpapt . (8.164)
Запишем элементарную работу Ad вынуждающей силы F,
совершаемую за физически бесконечно малый интервал времени:
tttFxtFA d)()(d)(d
υ
=
=
, (8.165)
где в соответствии с условием задачи вынуждающая сила равна:
)cos()(
0
tpFtF = . (8.166)
Суммарную работу этой силы за период колебаний
T
нахо-
дим интегрированием элементарной работы:
∫
=
T
tttFA
0
d)()(
υ
. (8.167)
Запишем среднюю за период мощность вынуждающей силы:
∫
=
T
tttF
T
P
0
ср
d)()(
1
υ
. (8.168)
Система уравнений (8.163) – (8.168) позволяет получить за-
висимость средней мощности
ср
P вынуждающей силы от частоты
p. Для нахождения искомого в задаче отношения средней за период
мощности силы F при частоте, соответствующей резонансу смеще-
ния, к максимальной средней мощности этой силы необходимо
найти максимум средней мощности, а также дополнить получен-
ную систему уравнений выражениями (8.45), (8.46) и (8.48) для ам-
плитуды вынужденных колебаний )( pa
, фазы )( p
ϕ
и резонансной
частоты
рез
p при резонансе смещения:
()
22
2
22
0
0
4
)(
ppm
F
pa
δω
+−
= , (8.169)
2
0
2
2
)(tg
ω
δ
ϕ
−
=
p
p
p
. (8.170)
22
0рез
2
δω
−=p . (8.171)
III. Интегрируя (8.168) с учетом (8.167) и заданного в задаче
закона изменения вынуждающей силы F(t), получаем: