Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач
Подождите немного. Документ загружается.
В.С. Русаков, А.И. Слепков
Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова
МЕХАНИКА.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению 010700.62 «Физика»
и по специальности 010701.65 «Физика»
Москва
Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова
2010
Оглавление
2
В. С. Русаков, А. И. Слепков, Е. А . Никанорова,
Н. И. Чистякова. Механика. Методика решения задач / Учебное
пособие. М.: Физический факультет МГУ, 2010. 368 с.
ISBN 978-5-8279-0084-9
Учебное пособие по решению задач механики написано на основа-
нии многолетнего опыта проведения занятий по физике на физическом
факультете МГУ. При этом авторы стремились использовать
в первую
очередь наиболее характерные и типичные задачи. С этой целью наряду с
оригинальными задачами были использованы формулировки условий за-
дач из существующих учебников, задачников и учебных пособий, кото-
рые подвергались существенному исправлению и доработке.
Пособие разбито по главам, каждая из которых включает в себя
теоретический материал, основные типы задач
и методы их решения,
примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения.
Настоящее пособие предназначено для студентов высших учебных
заведений и имеет целью помочь им овладеть основными методами и
приобрести навыки решения задач механики.
Рецензенты: д.ф.-м. н., профессор Г.С. Плотников,
д.ф.-м. н., профессор А.
С. Илюшин
ISBN 978-5-8279-0084-9 © Физический факультет МГУ
им. М.В. Ломоносова, 2010 г.
© Коллектив авторов, 2010 г.
Оглавление
3
К читателям серии пособий
«УНИВЕРСИТЕТСКИЙ КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ»
На кафедре общей физики физического факультета МГУ им. М.В. Ло-
моносова создан и готовится к изданию «Университетский курс общей
физики», предназначенный для студентов физических специальностей
вузов.
Курс охватывает четыре раздела: «Механика», «Молекулярная фи-
зика», «Электромагнетизм» и «Оптика». Отличительной особенностью
данного
курса является то, что в нем в методическом отношении осущест-
влено единство основных форм обучения физике: лекции, лабораторные
работы и семинары. В системе университетского образования теоретиче-
ский материал излагается в основном в лекционных курсах, а умение ре-
шать задачи отрабатывается на семинарских занятиях. Развитие навыков
эксперимента и анализа его результатов происходит
в процессе занятий в
общем физическом практикуме. В связи с этим, каждый раздел курса со-
стоит из четырех пособий: «Лекции», «Лекционный эксперимент», «Ла-
бораторный практикум» и «Методика решения задач».
Каждая глава пособия «Лекции» содержит материал базового уров-
ня, соответствующего программе курса, и отражает современные тенден-
ции и технологии физического образования.
Лекции по каждой теме со-
провождаются демонстрацией основных физических экспериментов, опи-
сание которых представлено в пособии «Лекционный эксперимент».
Пособием, позволяющим развивать умение решать физические за-
дачи, является «Методика решения задач», которое составлено с таким
расчетом, чтобы им можно было пользоваться для самостоятельной рабо-
ты. Весь материал разбит на главы. Разбор задач
всех глав проводится по
единой схеме, причем каждую главу можно прорабатывать независимо от
других.
Неотъемлемой частью курса общей физики служит лабораторный
практикум. Материалы пособия «Лабораторный практикум» достаточны
для самостоятельной подготовки к выполнению работ. В связи с этим в
пособии имеется как общее теоретическое введение, так и более подроб-
ное изложение
теории к каждой лабораторной работе. Кроме того, в каж-
дой работе сформулированы цель и идея эксперимента, дано описание
установки и подробное изложение последовательности проведения экспе-
римента и обработки результатов.
Все пожелания и замечания по пособиям курса будут с благодарно-
стью приняты и рассмотрены на кафедре общей физики физического фа-
культета МГУ
им. М.В. Ломоносова.
Оглавление
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................................................................... 7
Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших
систем ................................................................................................ 9
1.1. Теоретический материал ................................................................. 9
1.2. Основные типы задач и методы их решения ............................... 16
1.2.1. Классификация задач кинематики ...................................... 16
1.2.2. Общая схема решения задач кинематики ........................... 16
1.3. Примеры решения задач ............................................................... 17
1.4. Задачи для самостоятельного решения......................................... 39
Глава 2. Динамика материальной точки и простейших
систем .............................................................................................. 45
2.1. Теоретический материал ............................................................... 45
2.1.1. Законы Ньютона ................................................................... 45
2.1.2. Законы, описывающие
индивидуальные свойства сил ..... 46
2.2. Основные типы задач и методы их решения ............................... 51
2.2.1. Классификация задач динамики .......................................... 51
2.2.2. Общая схема решения задач динамики с помощью
законов Ньютона .................................................................. 51
2.3. Примеры решения задач ................................................................ 52
2.4. Задачи для самостоятельного решения ........................................ 75
Глава 3. Законы изменения импульса и механической энергии
системы материальных точек..................................................... 80
3.1. Теоретический материал ............................................................... 80
3.1.1. Импульс механической системы ......................................... 80
3.1.2. Работа сил .............................................................................. 83
3.1.3. Энергия механической системы........................................... 87
3.1.4. Столкновение тел ................................................................. 89
3.2. Основные типы задач и методы их решения ............................... 89
3.2.1. Классификация задач ........................................................... 89
3.2.2. Общая схема решения задач ................................................ 90
3.3. Примеры решения задач ............................................................... 91
3.4. Задачи для самостоятельного решения ...................................... 112
Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных
системах отсчета. Силы инерции ............................................ 116
4.1. Теоретический материал ............................................................. 116
4.2. Основные типы задач и методы их решения ............................. 119
4.2.1. Классификация
задач ......................................................... 119
4.2.2. Общая схема решения задач механики в неинерциальных
системах отсчета с использованием законов Ньютона .... 120
Оглавление
5
4.3. Примеры решения задач ............................................................. 121
4.4. Задачи для самостоятельного решения ...................................... 142
Глава 5. Кинематика в теории относительности ................................. 146
5.1. Теоретический материал ............................................................. 146
5.1.1. Постулаты и основные понятия (специальной) теории
относительности .................................................................. 146
5.1.2. Преобразования Лоренца ................................................... 147
5.1.3. Следствия преобразований Лоренца ................................. 149
5.1.4. Пространственно-временной интервал ............................ 151
5.1.5. Преобразование (сложение) скоростей ............................ 154
5.2. Основные типы задач и методы их решения ............................. 155
5.2.1. Классификация задач кинематики в теории относитель-
ности ..................................................................................... 155
5.2.2. Общая схема решения задач кинематики в теории
относительности .................................................................. 156
5.3. Примеры решения задач ............................................................. 157
5.4. Задачи для самостоятельного решения ...................................... 180
Глава 6. Кинематика и динамика абсолютно твердого тела ............. 184
6.1. Теоретический материал ............................................................. 184
6.1.1. Кинематика абсолютно твердого тела .............................. 184
6.1.2. Динамика абсолютно твердого тела ................................. 190
6.2. Основные типы задач и методы их решения.............................. 198
6.2.1. Классификация задач кинематики и динамики абсолют
-
но твердого тела .................................................................. 198
6.2.2. Общая схема решения задач кинематики и динамики
абсолютно твердого тела .................................................... 199
6.3. Примеры решения задач ............................................................. 200
6.3.1. Кинематика абсолютно твердого тела .............................. 200
6.3.2. Динамика абсолютно твердого тела ................................. 208
6.4. Задачи для самостоятельного решения ...................................... 226
Глава 7. Законы сохранения момента импульса и энергии.
Гироскопы. Гироскопические силы . ...................................... 231
7.1. Теоретический материал ............................................................. 231
7.2. Основные типы задач и методы их
решения ............................. 237
7.2.1. Классификация задач ......................................................... 237
7.2.2. Общая схема решения задач .............................................. 237
7.3. Примеры решения задач ............................................................. 238
7.3.1. Законы сохранения импульса и механической энергии .. 238
7.3.2. Гироскопы. Гироскопические силы .................................. 258
7.4. Задачи для самостоятельного решения ...................................... 266
Оглавление
6
Глава 8. Свободные и вынужденные колебания систем с одной
степенью свободы. Резонанс ..................................................... 270
8.1. Теоретический материал ............................................................. 270
8.1.1. Собственные гармонические колебания .......................... 271
8.1.2. Собственные затухающие колебания ............................... 277
8.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс ................................. 281
8.2. Основные типы задач и методы их решения ............................. 284
8.2.1. Классификация задач ......................................................... 284
8.2.2. Общая схема решения задач .............................................. 285
8.3. Примеры решения задач ............................................................. 285
8.4. Задачи для самостоятельного решения ...................................... 322
Глава 9. Бегущие и стоячие
волны. Моды и нормальные частоты .326
9.1. Теоретический материал ............................................................. 326
9.1.1. Волновое уравнение ........................................................... 326
9.1.2. Плоские волны .................................................................... 327
9.1.3. Сферические волны ............................................................ 329
9.1.4. Скорости распространения упругих волн в различных
средах ................................................................................... 331
9.1.5. Энергетические соотношения ........................................... 336
9.1.6. Продольный эффект Доплера (классический) ................. 338
9.1.7. Собственные колебания распределенных систем ........... 339
9.2. Основные типы задач и методы их решения ............................. 344
9.2.1. Классификация задач ......................................................... 344
9.2.2. Общая схема решения задач .............................................. 345
9.3. Примеры
решения задач ............................................................. 346
9.4. Задачи для самостоятельного решения ...................................... 362
Литература ................................................................................................. 365
Предисловие
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Методическое пособие по решению задач механики предна-
значается для студентов физических специальностей высших учеб-
ных заведений и написано на основе многолетнего опыта проведе-
ния авторами занятий по общей физике со студентами физического
факультета Московского государственного университета
им. М. В. Ломоносова.
Опыт проведения занятий показывает, что в настоящее вре-
мя, к сожалению, наблюдается заметное снижение среднего уровня
подготовки выпускников средних учебных заведений в области
физики при сохранении высокого уровня у относительно неболь-
шой части вчерашних школьников. Преподаватели вынуждены
ориентироваться на среднего студента, и не имеют возможности
рассматривать на семинарах задачи повышенной сложности
. По-
этому возрастает роль методических пособий, ориентированных на
самостоятельную работу студентов.
Нами написано методическое пособие по решению задач ме-
ханики для студентов первого курса, в котором изложены основ-
ные методы решения задач различных типов и приведены основ-
ные теоретические сведения по каждой теме, необходимые при ре-
шении задач. Целью данного
пособия является:
1) помочь студентам овладеть основными методами решения
задач механики;
2) дать возможность сильным студентам не ограничиваться
задачами среднего уровня, разбираемыми на семинарских заняти-
ях, а ознакомиться с решением задач повышенной сложности.
Учебное пособие состоит из оглавления, девяти глав и списка
литературы. Разбиение на главы проведено в соответствии с тема-
ми
семинарских занятий со студентами первого курса физического
факультета МГУ.
Структура изложения всех тем одинакова, причем каждая
глава включает в себя следующие разделы:
1) теоретический материал,
2) основные типы задач и методы их решения,
3) примеры решения задач,
4) задачи для самостоятельного решения.
Теоретический материал, представленный в начале каждой
главы, содержит основные определения
физических понятий и ве-
личин, формулировки законов, а также необходимые для решения
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
8
задач формулы. Основные физические понятия выделены в тексте
жирным шрифтом. Часть формул, приведенных в Теоретическом
материале каждой главы, сопровождается кратким выводом. При
изложении теоретического материала были использованы широко
известные учебники, учебные пособия и справочная литература,
список которых приведен в конце книги.
В пособии дается классификация задач по каждой теме и
предлагаются
методы их решения. В каждой главе приведено под-
робное решение 10 – 12 задач и предложено 10 – 12 задач для само-
стоятельного решения с ответами. Авторы стремились использо-
вать в первую очередь наиболее характерные задачи. С этой целью
наряду с оригинальными задачами были использованы формули-
ровки условий задач из существующих учебников, задачников и
учебных пособий,
которые подвергались существенному исправле-
нию и коррекции. Решение каждой задачи излагается в соответст-
вии с предложенной в Теоретическом материале общей схемой ре-
шения задач по данной теме и сопровождается рисунками с изо-
бражением кинематических и динамических характеристик рас-
сматриваемой системы тел.
Особое внимание при изложении материала уделяется выбо-
ру моделей материальных
объектов и явлений на начальном этапе
решения задачи. Особенностью предлагаемого методического по-
собия является также изложение различных методов решения кон-
кретной задачи и их сравнение.
Пособие, изданное по главам небольшим тиражом, прошло
апробацию. Преподаватели, ведущие занятия на первом курсе фи-
зического факультета МГУ, в течение трех лет использовали его
при
проведении занятий и высказали свои замечания и предложе-
ния, которые были учтены авторами при подготовке книжного ва-
рианта. Авторы выражают глубокую благодарность всем препода-
вателям кафедры общей физики физического факультета МГУ за
плодотворные дискуссии и ценные замечания, высказанные в про-
цессе написания данного учебного пособия.
Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем
9
ГЛАВА 1
КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И
ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ
1.1. Теоретический материал
Физическая величина – это количественная характеристика
свойства материальных объектов или явлений (процессов). Каждая
физическая величина устанавливается однозначным способом ее
измерения – экспериментального определения или расчета. Опре-
деление физической величины указывает принципиальный способ
ее измерения.
Физическое понятие (модель объекта или явления) – это аб-
стракция
(филос.), которая отражает только основные, наиболее
существенные, свойства материальных объектов или явлений (про-
цессов).
Критерий правильности выбора модели. Если в данной зада-
че физическая величина, описывающая неосновное свойство, от
которого мы абстрагируемся, много меньше другой, характерной
для этой задачи, величины той же размерности, то модель выбрана
верно.
Заметим, что один
и тот же материальный объект или одно и
то же явление в различных условиях могут быть рассмотрены в
рамках различных моделей, если они удовлетворяют критериям
правильности выбора этих моделей.
Тело отсчета – тело, относительно которого рассматривается
движение других тел.
Часы – неподвижный относительно тела отсчета прибор для
измерения времени, принцип действия которого основан
на срав-
нении длительности исследуемого временного интервала с дли-
тельностью выбранного за эталон периодического процесса.
Система отсчета – совокупность системы координат1, свя-
занной с телом отсчета, и набора синхронизированных часов, раз-
мещенных в разных точках координатной системы.
Условие синхронизации часов A и B, расположенных в раз-
ных точках системы отсчета (в предположении об
изотропности
пространства):
1
Далее в тексте, если это не оговаривается особо, используется декартова
система координат.
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
10
2
A
2
A
1
B
tt
t
+
= . (1.1)
Здесь
A
1
t – момент времени излучения из точки A светового сигна-
ла (кванта света) по часам в точке A,
B
t – момент времени регист-
рации этого сигнала в точке B по часам в точке B,
A
2
t – момент
времени регистрации в точке A отраженного в точке B сигнала по
часам в точке A.
Материальная точка – физическое понятие (модель, абст-
ракция), представляющее тело, размерами (и формой) которого
можно пренебречь в условиях данной задачи.
Положение материальной точки относительно данной систе-
мы отсчета (в данной системе отсчета) S задается ее координатами
или радиус-вектором
r .
Радиус-вектор материальной точки
r
относительно дан-
ной системы отсчета – вектор, начало которого находится в начале
координат этой системы, а конец – в месте расположения матери-
альной точки (см. рис. 1.1а):
},,{ zyxzyx =++
=
kjir , (1.2)
где
i , j и k – орты декартовой системы координат: 1=i , 1=j ,
1=k ; x, y, z – координаты материальной точки.
Закон движения материальной точки относительно данной
системы отсчета – зависимость радиус-вектора или координат ма-
териальной точки от времени:
а б
Рис. 1.1. Радиус-вектор )(tr , перемещение )Δ( tt
+
r (а) и скорость )(tυ (б)
материальной точки
Y
Z
M
)(tr
)(tr
Δ
)( tt
Δ
+r
O
z
(
t
)
x
(
t
)
y(t)
Y
Z
M
)(tr
O
)(tυ
X
X