Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты

351

Задача 9.4

Амплитуда звуковой волны давлений

=

0

ΔP 10 Па. Найти

среднее значение потока энергии J, попадающего в ухо человека.

Считать площадь уха, ориентированного перпендикулярно направ-

лению распространения звуковой волны, s = 4 см

2

. Плотность воз-

духа в отсутствие волны

ρ

= 1,3 кг/м

3

, скорость звука в воздухе

c = 334 м/с.

Решение

I. Для решения задачи используем декартову систему коор-

динат. В качестве модели волны смещений выберем плоскую гар-

моническую волну, распространяющуюся вдоль оси X выбранной

системы координат. Процесс распространения звуковой волны счи-

таем адиабатическим.

II. Среднее значение потока энергии J, падающего перпенди-

кулярно поверхности уха площадью s, в соответствии с формулой

(9.48) равно:

cxtwsJ

T

),(=

. (9.98)

Как следует из (9.45), объемная плотность энергии плоской

гармонической волны равна:

2

),(

22

0

ρωξ

=

T

xtw

.

(9.99)

Следовательно, для определения плотности потока энергии

необходимо выразить амплитуду волны смещений

0

ξ

через ампли-

туду волны давлений

0

ΔP , заданную в условии задачи.

Запишем закон распространения волны смещений (9.8):

()

00

cos),(

ϕ

ω

ξ

+

−

= kxtxt . (9.100)

В соответствии с (9.34) относительное изменение плотности

воздуха, вызванное распространением звуковой волны, равно

x

ξ

ρ

′

−=

Δ

,

(9.101)

где

x

ξ

′

находим, используя (9.100):

)sin(

00

ϕ

ω

ξ

+

−

=

′

kxtk

x

. (9.102)

При адиабатическом процессе распространения звуковой

волны в газе относительные изменения плотности среды и давле-

ния связаны соотношением (см. (9.33) и (9.36)):

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

352

ρ

γ

ΔΔ

=

P

,

(9.103)

где

P

и

ρ

– давление и плотность воздуха в отсутствие волны.

Для определения амплитуды звукового давления воспользу-

емся также формулой (9.31) для скорости звуковой волны в возду-

хе:

ρ

γ

P

c =

2

. (9.104)

III. Решая систему уравнений (9.101) – (9.104), находим из-

менение давления воздуха, вызванное распространением в нем зву-

ковой волны:

)sin(Δ

00

2

ϕωρξ

+−−= kxtkcP . (9.105)

Следовательно, амплитуда звукового давления равна:

ωρξρξ

00

2

0

Δ ckcP == . (9.106)

Среднее значение потока энергии J, падающего перпендику-

лярно поверхности уха площадью s, получаем подстановкой в

(9.98) объемной плотности энергии волны (9.99) с учетом (9.106):

()

ρ

ρω

ρωρωξ

c

P

sc

c

P

scscxtwsJ

T

2

Δ

2

Δ

2

),(

2

0

2

22

0

22

0

==== . (9.107)

Подставив в (9.107) численные значения физических вели-

чин, заданных в условии задачи, окончательно получим:

J = 4.6⋅10

–5

Вт.

Задача 9.5

Точечный изотропно излучающий источник звука S находит-

ся на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его

центр P (см. рис. 9.9).

Рис.9.9

L

ρ

+d

ρ

R

S

ρ

α

(

ρ

)

P

Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты

353

Расстояние между точкой P и источником S равно L = 1 м,

радиус кольца – R = 0,5 м. Найти средний поток энергии через пло-

скую поверхность, ограниченную кольцом, если в точке P интен-

сивность звуковой волны I

0

= 30 мкВт/м

2

. Затуханием волн пренеб-

речь.

Решение

I. Для решения задачи используем полярную систему коор-

динат с центром в точке P, являющейся центром кольца.

Поскольку источник звука S является точечным и изотропно

излучающим, то он возбуждает сферическую волну, амплитуда ко-

торой изменяется обратно пропорционально расстоянию от источ-

ника (см. (9.13)), а значит, интенсивность звуковой волны обратно

пропорциональна квадрату расстояния от источника

до точки на-

блюдения.

II. Разобьем рассматриваемую поверхность на концентриче-

ские кольцевые зоны, заключенные между окружностями с радиу-

сами

ρ

и

ρ

+d

ρ

(0 ≤

ρ

≤ R) с центрами в точке P.

Поскольку интенсивность сферической волны обратно про-

порциональна квадрату расстояния от источника до точки наблю-

дения, то интенсивность волны, проходящей через кольцевую зону

радиусом

ρ

(см. рис. 9.9), равна:

()

22

2

0

L

II

+

=

ρ

. (9.108)

Поток энергии Jd через выделенную физически бесконечно

тонкую кольцевую зону (см. рис. 9.9) в соответствии с определени-

ем интенсивности волны (см. п. 9.1.5), равен:

ρπρ

ρ

ρρπρραρ

d2)(d2)(cos)(d

22

L

IIJ

+

== .

(9.109)

III. Искомый поток энергии J через поверхность, ограни-

ченную кольцом радиусом R, определим, интегрируя (9.109) с уче-

том (9.108):

()

=

+

=

+

=

∫∫

RR

L

I

L

IJ

0

2

3

22

3

0

22

dd2)(

ρ

π

ρπρ

ρ

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

354

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−=

1

12

2

0

L

R

LI

π

. (9.110)

Подставив в (9.110) численные значения расстояния L между

точкой P и источником S, радиуса кольца R и интенсивности звуко-

вой волны I

0

в точке P, окончательно получим:

J = 20 мкВт.

Задача 9.6

На оси X находятся приемник D и источник S звуковых гар-

монических волн с частотой

ν

s

= 2000 Гц. Источник установлен на

тележке, совершающей гармонические колебания вдоль этой оси с

угловой частотой

ω

и амплитудой А = 50 см. Скорость звука

с =340 м/с. При каком значении

ω

ширина частотного интервала

звука, воспринимаемого неподвижным приемником, будет состав-

лять Δ

ν

= 20 Гц?

Решение

I. Задачу решаем в лабораторной системе отсчета, ось X де-

картовой системы координат которой направлена от источника к

приемнику (см. рис. 6.1). Поскольку в условии задачи не оговари-

вается иное, будем считать, что среда, в

которой распространяется звуковая

волна, неподвижна относительно лабо-

раторной системы отсчета.

Изменения частоты звуковой вол-

ны, воспринимаемой неподвижным

приемником,

обусловлено эффектом

Доплера (см. п. 9.1.6).

II. Ширина частотного интервала Δ

ν

звуковых волн, воспри-

нимаемых приемником, определяется разностью максимальной и

минимальной частот этих волн.

В случае, когда источник приближается к приемнику, макси-

мальная частота

max

ν

регистрируемой неподвижным приемником

волны, в соответствии с (9.51), равна

0s

s

max

υ

ν

−

=

c

, (9.111)

Рис. 9.10

SD

s

υ

c

X

Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты

355

где

0s

υ

– амплитуда скорости движения источника относительно

среды, c – скорость распространения волны в среде.

При движении тележки по гармоническому закону амплитуда

ее скорости, а, следовательно, и амплитуда скорости источника,

равна:

ω

υ

A

=

0s

. (9.112)

В случае удаления источника от приемника частота

min

ν

,

воспринимаемая приемником, будет минимальной и равной

0s

s

min

υ

ν

+

=

c

. (9.113)

III. Искомая ширина частотного интервала звука Δ

ν

, воспри-

нимаемого неподвижным приемником, согласно (9.111) и (9.113)

равна:

.2Δ

2

s0

2

0s

sminmax

υ

νννν

−

=−=

c

(9.114)

Используя взаимосвязь амплитуды скорости источника с амплиту-

дой его колебаний вместе с тележкой (9.112), получаем:

222

s

2Δ

ω

νν

Ac

cA

−

= . (9.115)

Решая уравнение (9.115) относительно

ω

, находим ее величину:

()

ν

ννν

ω

Δ

2

ss

A

cc +±−

= . (9.116)

Поскольку частота колебаний является положительной величиной,

то для частоты колебаний тележки окончательно получаем:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+= 1

Δ

1

Δ

2

s

ν

ω

A

c

. (9.117)

В соответствии с условием задачи

s

Δ

ν

<

< , следовательно

(9.117) можно упростить, ограничиваясь в разложении квадратного

корня в ряд по степеням малого параметра

2

s

Δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ν

линейным чле-

ном ряда:

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

356

s

2

Δ

ν

ω

A

c

≅

. (9.118)

Подстановка численных значений физических величин, за-

данных в задаче, дает:

рад/с4,3

≅

ω

.

Задача 9.7

В упругой однородной среде с плотностью

ρ

распространя-

ются две плоские гармонические продольные волны смещений со

скоростью c, одинаковыми амплитудами a и частотами

ω

, одна –

вдоль оси X, другая – вдоль оси Y некоторой декартовой системы

координат. Найти среднее значение плотности потока энергии ре-

зультирующего волнового поля вдоль прямой y = x в плоскости

XY, считая одинаковыми начальные фазы колебаний частиц среды

в начале координат, обусловленных каждой волной в отдельности.

Решение

I. По условию задачи задана декартова система координат,

вдоль осей X и Y которой распространяются две плоские продоль-

ные гармонические волны.

II. Запишем в соответствии с условием задачи законы рас-

пространения бегущих плоских продольных гармонических волн

смещений (в соответствии с (9.8)):

(

)( )

01

cos,

ϕ

ω

+

−

= kxtaxt

x

eξ , (9.119)

(

)( )

02

cos,

ϕ

ω

+

−

= kytayt

y

eξ , (9.120)

где

x

e и

y

e − единичные векторы вдоль осей X и Y,

c

k

ω

= − вол-

новое число для обеих волн,

0

ϕ

− начальные фазы колебаний час-

тиц среды в начале координат, обусловленных каждой волной в

отдельности.

Определим амплитуду A результирующего волнового поля

смещений вдоль прямой y = x в плоскости XY:

()()

(

)

=

+= ytxtyxt ,,,,

21

ξξξ

()

(

)

=

+

−

+

−

=

00

coscos

ϕ

ω

ϕ

ω

kytakxta

yx

ee

(

)

(

)

=

+

−

+

−

=

00

coscos

ϕ

ω

ϕ

ω

kxtakxta

yx

ee

(

)

(

)

0

cos

ϕ

ω

+

−

+= kxta

yx

ee

. (9.121)

Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты

357

Направим вспомогательную ось Γ вдоль прямой y = x в

плоскости XY и обозначим единичный вектор вдоль этого направ-

ления как

γ

e . Поскольку

γ

eee 2=+

yx

, то

()

(

)

00

coscos2

ϕωϕω

γγ

+−=+−= kxtAkxta eeξ , (9.122)

где амплитуда волнового поля A вдоль оси Γ равна:

aA 2= . (9.123)

Подставляя в выражение (9.122) для смещения частиц среды

вдоль оси Γ соотношение координат вдоль осей X и Γ −

2

γ

=x ,

получаем:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

0

2

cos

ϕ

γ

ω

γ

c

tA

eξ

. (9.124)

Как видим, волновое поле вдоль оси Γ можно интерпрети-

ровать как бегущую продольную волну смещений с амплитудой A

(9.123) и скоростью

cc 2=

γ

. (9.125)

Среднее значение плотности потока энергии волнового воз-

мущения вдоль прямой y = x в соответствии с (9.48) можно запи-

сать в виде:

γ

ρω

c

A

txSI

T

2

),(

22

==

. (9.126)

III. Подставив в (9.126) амплитуду колебаний A (9.123) и ско-

рость распространения волны

γ

c (9.125), получим искомое среднее

значение плотности потока энергии результирующего волнового

поля вдоль прямой y = x в плоскости XY:

caI

22

2

ρω

= . (9.127)

Задача 9.8

Источник звуковых колебаний S с частотой Гц1700

0

=

ν

на-

ходится между плоским отражателем и приемником D (см.

рис. 9.11). Источник и приемник неподвижны и расположены на

одной и той же нормали к отражателю, который удаляется от ис-

точника со скоростью u = 6 см/с. Скорость звука с = 340 м/с. Найти

частоту биений, регистрируемых приемником.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

358

Решение

I. Выберем направление оси X декартовой системы коорди-

нат, совпадающим с направлением движения отражателя, как пока-

зано на рис. 9.11. Приемник регистрирует суперпозицию двух зву-

ковых волн: испущенной источником и отраженной от движущего-

ся отражателя.

II. При решении задачи воспользуемся формулой (9.51), свя-

зывающей частоты колебаний движущихся источника и приемника

звуковой волны:

s

d

ν

υ

ν

−

=

c

, (9.128)

где

s

υ

и

d

υ

– скорости движения источника и приемника относи-

тельно среды, c – скорость распространения волны в среде,

s

ν

–

частота излучаемой источником звуковой волны,

d

ν

– частота вол-

ны, которую регистрирует детектор. Все скорости направлены в

одну сторону.

Частота волны, которую зафиксировал бы детектор, находя-

щийся на движущемся отражателе, определяется в соответствии с

(9.128) выражением:

c

uc

c

c −

=

−

=

0

d

01

ν

υ

νν

. (9.129)

Считая, что отражатель не меняет частоту волны при отра-

жении, запишем выражение для частоты волны, отраженной от от-

ражателя и зарегистрированной неподвижным приемником соглас-

но (9.128):

uc

c

+

−

=

+

=

0

s

12

ν

υ

νν

. (9.130)

Знак плюс в знаменателе формулы (9.130) обусловлен тем,

что в этом случае скорость отражателя (источника отраженной

Рис. 9.11

S

D

u

X

cc

Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты

359

волны) и скорость отраженной волны направлены в противопо-

ложные стороны.

Для частоты биений (см. решение задачи 8.10 в Главе 8), воз-

никающих в результате суперпозиции волны с частотой

0

ν

, испу-

щенной неподвижным источником, и волны с частотой

2

ν

, отра-

женной от движущегося отражателя, запишем:

20биен

ννν

−= . (9.131)

III. Решая систему уравнений (9.130) и (9.131), находим ис-

комую величину частоты биений:

uc

u

uc

+

=

+

−

−=

2

000биен

νννν

. (9.132)

Подставляя в (9.132) заданные в условии задачи численные

значения физических величин, получим значение частоты биений,

зарегистрированных приемником:

Гц6,0

биен

=

ν

.

Задача 9.9

Стальная струна длиной L = 110 см, плотностью

ρ

= 7,8 г/см

3

и диаметром d = 1 мм натянута между полюсами электромагнита.

При пропускании по струне переменного тока частотой

ν

= 256 Гц

в ней возбуждается упругая поперечная волна, причем на длине

струны "укладывается" n = 5 полуволн. Найти силу натяжения

струны.

Решение

I. Будем считать, что относительное изменение силы натяже-

ния струны, вызванное упругой поперечной волной, пренебрежимо

мало (см. п. 9.1.4.Б). Задачу решаем в лабораторной системе отсче-

та, ось X декартовой системы координат которой направим вдоль

струны (см. рис. 9.12).

Рис. 9.12

X

0

L

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

360

II. Запишем взаимосвязь скорости распространения упругих

поперечных волн в струне и силы натяжения струны (см. (9.27) в

п. 9.1.4.В)

S

T

c

ρ

=

,

(9.133)

где площадь поперечного сечения струны S равна:

4

2

d

S

π

= . (9.134)

Для нахождения искомой силы натяжения струны необходи-

мо определить скорость распространения упругих поперечных

волн в струне (см. (9.133)).

По условию задачи на длине струны "укладывается" n полу-

волн:

2

λ

nL = . (9.135)

Частота колебаний и длина волны связаны соотношением:

ν

λ

c

= . (9.136)

III. Решая систему уравнений (9.133) − (9.136), получим ис-

комую силу натяжения струны:

2

222

n

Ld

T

ρνπ

= . (9.137)

Подставляя численные значения заданных в условии задачи

физических величин, входящих в (9.137), окончательно получим:

Н7,77

≅

T .

Задача 9.10

Найти частоты

n

ν

, на которых будет резонировать труба

длиной L = 1,7 м, закрытая с одного конца, если скорость звука в

воздухе равна c = 340 м/с.

Решение

I. Частоты, на которых будет резонировать труба, совпадают

с частотами нормальных колебаний частиц воздуха в трубе, обра-

зующих стоячие волны.

Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Подождите немного. Документ загружается.