Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты
331
()()
000
cos)/(cos)(),(
ϕωϕωξξ
+−=+−= krt
r
A
crtrrt , (9.13)
где
A – величина, численно равная амплитуде волнового возмуще-
ния на единичном расстоянии от точки S.
В случае
экспоненциального затухания (с коэффициентом
затухания
δ
) сферической гармонической волны закон ее распро-
странения запишется в виде:
() ( ) ()
000
coscos)(,
ϕωϕωξξ
δ
+−=+−=
−
krte
r
A
krtrrt
r
. (9.14)
9.1.4. Скорости распространения упругих волн
в различных средах
А. Продольная упругая волна в твердом теле
Скорость волны:
ρ
E
c
=
||
, (9.15)
где
ρ
– объемная плотность тела,
ε
σ
≡E
– модуль Юнга или мо-
дуль одностороннего растяжения (сжатия),
σ
– продольное на-
пряжение
,
ε
– относительная деформация.
Закон Гука для одностороннего растяжения (сжатия):
ε
σ
E
=
. (9.16)
Рассмотрим физически бесконечно малый слой d
x твердого
тела с координатой
x вдоль направления распространения волны
(см. рис. 9.3).
Рис. 9.3. Смещение границ )(x
ξ
рассматриваемого слоя твердого
тела п
р
и
р
асп
р
ост
р
анении п
р
одольной
у
п
ру
гой волны
x x+dx
ξ
(x+dx)
ξ
(x)
σ(x)
σ
(x+dx)
X
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
332
Тогда относительная деформация
ε
равна
'
d
)()d(
x
xx
xxx
ξ
ξξξ
ε
=
∂
∂
=
−+
=
, (9.17)
и закон Гука принимает вид
'
)(
x
Ex
ξσ
= . (9.18)
Если
S – площадь поперечного сечения рассматриваемого
фрагмента тела, а
ρ
– его плотность в отсутствие волны, то уравне-
ние движения рассматриваемого слоя тела массой
xSm dd
ρ
=
имеет
вид:
()
)()d(d xxxSxS
σσξρ
−+=
&&
. (9.19)
Преобразуем (9.19) с учетом закона Гука (9.18) и малости
толщины рассматриваемого слоя:
'
x
x
σ
σ
ξρ
=
∂
∂
=
&&
,
''
x
E
ξ
ρ
ξ
=
&&
. (9.20)
Сравнивая полученное уравнение с волновым уравнением
(9.4), получим приведенное выше выражение (9.15) для скорости
продольной упругой волны в твердом теле.
Б. Поперечная упругая волна в твердом теле
Скорость волны:
ρ
G
c
=
⊥
, (9.21)
где
γ
τ
≡G – модуль сдвига,
τ
– поперечное (касательное) на-
пряжение
,
γ
= tg
α
≅
α
– тангенс угла сдвига
α
. Отметим, что в од-
нородном изотропном твердом теле
E > G и скорость продольной
звуковой волны больше скорости поперечной волны
⊥
> cc
||
.
Закон Гука для сдвига:
γ
τ
G
=
. (9.22)
Рассмотрим колеблющийся при распространении волнового
возмущения достаточно малый фрагмент тела, заключенный между
координатами
x и x + dx вдоль направления распространения волны
(см. рис. 9.4).
Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты
333
Касательные напряжения у обоих концов рассматриваемого
фрагмента в соответствии с законом Гука (9.22) и рис. 9.4 равны:
()
x
x
GxGxGx
∂
∂
===
ξ
αγτ
)(tg)()( , (9.23)
()
xx
x
GxxGxxGxx
d
)d(tg)d()d(
+
∂
∂
=+=+=+
ξ
αγτ
. (9.24)
Уравнение движения рассматриваемого фрагмента твердого
тела массой
xSm dd
ρ
= имеет вид:
()
SxxxxS )()d(d
ττξρ
−+=
&&
. (9.25)
Преобразуем (9.25) с учетом выражений для касательных на-
пряжений (9.23) и (9.24):
''
x
G
ξ
ρ
ξ
=
&&
. (9.26)
Сравнивая полученное уравнение с волновым уравнением
(9.4), получим приведенное выше выражение (9.21) для скорости
поперечной упругой волны в твердом теле.
В. Поперечная упругая волна в струне
Скорость волны:
л
ρ
T
c =
, (9.27)
где
T – сила натяжения струны,
ρ
л
– линейная плотность стру-
ны
в отсутствие волны.
Рис. 9.4. Зависимость смещения частиц твердого тела )(x
ξ
при
распространении поперечной упругой волны вдоль оси X
ξ
X x x + dx
ξ
(x+dx)
ξ
(x)
τ
(x+dx)
τ
(x)
α
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
334
Запишем уравнение движения физически бесконечно малого
линейного элемента струны длиной d
x и массой xm dd
л
ρ
=
(см.
рис. 9.5) при распространении поперечной упругой волны вдоль
струны:
x
x
xT
x
xx
xxTx
∂
∂
−
∂
+
∂
+=
)(
)(
)d(
)d(d
ë
ξ
ξ
ξρ
&&
. (9.28)
Преобразуем (9.28) с учетом малости выбранного элемента
струны при постоянной величине силы натяжения вдоль струны
T(x) = const:
x
x
Tx
x
x
x
Tx
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
)(
d
)(
d
2
2
ë
ξξξ
ξρ
&&
,
''
ë
x
T
ξ
ρ
ξ
=
&&
. (9.29)
Сравнивая полученное уравнение с волновым уравнением
(9.4), получим приведенное выше выражение (9.27) для скорости
поперечной упругой волны в струне.
Г. Упругая волна в идеальных жидкости и газе
Скорость упругой волны в идеальных жидкости и газе:
0
ρ
ρ
∂
∂
=
P
c
, (9.30)
где
P – давление и
ρ
– плотность жидкости или газа,
0
ρ
– плот-
ность в отсутствие волны.
ξ
X
x x+dx
T(x+dx)
T(x)
ξ
(x)
ξ
(x+dx)
Рис. 9.5. Зависимость смещения частиц струны )(x
ξ
при распро-
странении поперечной упругой волны вдоль струны
Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты
335
Скорость упругой волны в идеальном газе в случае адиабати-
ческого (без теплопередачи) процесса ее распространения:
0
0
0
ρ
γ
ρ
ρ
PP
c =
∂
∂
=
, (9.31)
где
VP
cc /≡
γ
, с
P
и c
V
– теплоемкости при постоянных давлении и
объеме газа соответственно,
0
P – давление в отсутствие волны.
Рассмотрим слой d
x идеальной (без вязкого трения) жидкости
или газа с координатой
x вдоль направления распространения пло-
ской волны (см. рис. 9.6).
Уравнение движения выбранного слоя жидкости или газа
имеет вид:
()
x
x
P
SxxPxPSxS
d)d()(d
∂
∂
−=+−=
ξρ
&&
,
x
P
∂
∂
−=
ξρ
&&
. (9.32)
Воспользуемся материальным уравнением среды )(
ρ
PP = .
При малых возмущениях плотности
ρ
Δ и давления
P
Δ , которые
происходят вследствие распространения в ней упругой волны, за-
пишем:
ρ
ρ
ρ
ΔΔ
0
∂
∂
=
P
P
.
(9.33)
При этом для относительного изменения плотности
ρ
ρ
Δ
можно записать (см. рис. 9.6):
x x+dx
ξ
(x+dx)
ξ
(x)
P(x) P(x+dx)
X
Рис. 9.6. Смещение границ )(x
ξ
рассматриваемого слоя идеальной
жидкости или газа при распространении упругой волны
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
336
'
d
)()d(Δ
x
xx
xxx
ξ
ξξξ
ρ
ρ
−=
∂
∂
−=
−+
−= . (9.34)
В результате уравнение движения выбранного слоя жидкости
или газа примет вид:
()
2
2
00
Δ
x
P
x
P
xx
P
x
P
∂
∂
⋅
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
ξ
ρ
ρ
ξ
ρ
ρ
ξρ
ρρ
&&
,
''
0
x
P
ξ
ρ
ξ
ρ
∂
∂
=
&&
. (9.35)
Сравнивая полученное уравнение с волновым уравнением
(9.4), получим приведенное выше выражение (9.30) для скорости
упругой волны в идеальной жидкости или газе.
Для случая адиабатического процесса распространения упру-
гой волны в идеальном газе воспользуемся уравнением состояния
рассматриваемого слоя газа объемом dV = Sdx и массой dm =
ρ
dV:
(
)
CconstVP ≡=
γ
d,
() ()
γ
γ
γ
γ
ρ
ρ
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
== mC
m
CVCP d
d
d.
()
0
0
1
d
0
ρ
γγρ
ρ
γ
γ
ρ
P
mC
P
==
∂
∂
−
−
. (9.36)
В результате получим приведенное выше выражение (9.31)
для скорости упругой волны в идеальном газе в случае адиабатиче-
ского процесса ее распространения.
9.1.5. Энергетические соотношения
При распространении плоской упругой продольной гармони-
ческой волны вдоль оси X в твердом теле смещение частиц среды
из положения равновесия ),( xt
ξ
, их скорость ),( xt
ξ
&
и относитель-
ная деформация тела ),( xt
ε
записываются в виде (см. пп. 9.1.2 и
9.1.4.А):
()
00
cos),(
ϕ
ω
ξ
ξ
+
−
= kxtxt , (9.37)
()
00
sin),(
ϕωωξξ
+−−= kxtxt
&
, (9.38)
()
00
sin),(
ϕωξ
ξ
ε
+−−=
∂
∂
= kxtk
x
xt . (9.39)
Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты
337
При этом объемная плотность кинетической энергии час-
тиц
тела, участвующих в волновом движении, равна:
()
0
2
22
0
2
k
sin
22
),(
),(
ϕω
ρωξ
ξρ
+−== kxt
xt
xtw
&
.
(9.40)
Объемная плотность потенциальной энергии частиц тела,
участвующих в волновом движении:
()
0
2
22
0
2
p
sin
222
),(
ϕω
ξεσε
+−=== kxt
EkE
xtw . (9.41)
Поскольку скорость упругой продольной волны в твердом
теле
ρ
E
c =
(см. (9.15)) и волновое число
c
k
ω
≡ , то:
()
=+−=
0
2
22
0
p
sin
2
),(
ϕω
ξ
kxt
Ek
xtw
()
),(sin
2
k
0
2
22
0
xtwkxt =+−=
ϕω
ρωξ
. (9.42)
Как видим, для бегущей волны максимумы и минимумы ки-
нетической и потенциальной энергий совпадают.
Объемная плотность энергии волны:
(
)
0
2
0
pk
sin),(),(),(
ϕω
+−=+= kxtwxtwxtwxtw , (9.43)
где амплитуда изменения объемной плотности энергии волны
22
0
22
00
Ekw
ξρωξ
== . (9.44)
Среднее значение объемной плотности энергии гармони-
ческой волны
за период колебаний:
22
),(
22
00
ρωξ
==
w
xtw
T
. (9.45)
Плотность потока энергии волны – величина, численно
равная энергии, переносимой волной в единицу времени через по-
верхность единичной площади, ориентированной перпендикулярно
направлению распространения энергии волны. В случае изотроп-
ных сред направление распространения энергии совпадает с на-
правлением распространения фронта волны:
cxtw
ts
tcsxtw
xtS ),(
d
d),(
),( =≡
, (9.46)
где
s − площадь поперечного сечения волны.
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
338
Вектор Умова – вектор, направление которого совпадает с
направлением распространения энергии волны, а модуль равен
плотности потока энергии. В случае изотропных сред:
cS ),(),( xtwxt ≡
. (9.47)
Интенсивность волны – среднее значение плотности потока
энергии волны за период колебаний:
c
w
ctxwtxSI
TT
2
),(),(
0
==≡
. (9.48)
Заметим, что амплитуда плотности энергии упругой волны
22
00
ρωξ
=w (9.44), через которую выражаются ее энергетические
характеристики (9.45) – (9.48), зависит только от одной характери-
стики среды – ее плотности
ρ
. В случае распространения упругой
волны в струне под плотностью энергии подразумевается ее ли-
нейная плотность, а плотность является линейной плотностью
ρ
л
струны.
9.1.6. Продольный эффект Доплера (классический)
Пусть
s
υ
и
d
υ
– скорости движения источника звуковых гар-
монических волн и детектора, регистрирующего эти волны, отно-
сительно неподвижной среды,
c – скорость распространения волны
в среде, которая определяется свойствами среды и не зависит от
скоростей источника и детектора (см. рис. 9.7).
На рис. 9.7 левая черта, перпендикулярная оси Х, показывает
положение фронта волны, испущенной движущимся источником, в
некоторый момент времени
t. К моменту времени t + T
s
(T
s
– пери-
Рис. 9.7. Взаимное расположение волновых фронтов при испус-
кании и регистрации звуковой гармонической волны
λ
ss
T
υ
X
cT
s
cT
d
dd
T
υ
λ
s
υ
d
υ
с
Глава 9. Бегущие и стоячие волны. Моды и нормальные частоты
339
од колебаний источника) фронт сместится на расстояние cT
s
, а ис-
точник – на расстояние
ss
T
υ
. Следовательно, длина волны в среде
равна (рис. 9.7):
sss
TcT
υ
λ
−
=
. (9.49)
Пусть в некоторый момент времени
t' приемник зарегистри-
ровал фронт волны. Следующий фронт волны, находящийся от
приемника на расстоянии
λ, будет зарегистрирован в момент t' + T
d
(
T
d
– период колебаний приемника). Поскольку за время T
d
прием-
ник сместится на расстояние
dd
T
υ
, а волновой фронт – на расстоя-
ние
cT
d
, то
ddd
cTT =
+
υ
λ
. (9.50)
Учитывая, что
T
s
= 1/ν
s
и T
d
= 1/ν
d
, получаем из (9.49) и (9.50)
связь частот колебаний для источника
ν
s
и приемника ν
d
:
s
s
d
d
v
c
c
v
υ
υ
−
−
=
. (9.51)
9.1.7. Собственные колебания распределенных систем
Собственные (свободные) колебания
– колебания системы,
предоставленной самой себе (при постоянных внешних условиях).
Распределенная система – колебательная система с боль-
шим числом степеней свободы, характерные размеры которой
τ
cL > , (9.52)
где
c – скорость распространения волнового возмущения,
τ
– ха-
рактерное время его заметного изменения.
Нормальные колебания (моды) – собственные гармониче-
ские колебания системы. Специальным выбором начальных усло-
вий можно возбудить в системе только одно (любое) из всех, свой-
ственных системе нормальных колебаний. При нормальном коле-
бании системы все ее элементы колеблются с одной и той же час-
тотой – нормальной частотой.
Нормальные частоты – частоты нормальных колебаний.
Нормальные частоты колебательной системы определяются ее па-
раметрами (для распределенной колебательной системы
− свойст-
вами среды и граничными условиями).
МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
340
В общем случае колебания системы являются суперпозицией
ее нормальных колебаний, которая определяется начальными усло-
виями.
Стоячая волна – периодическое во времени синфазное ко-
лебание распределенной системы с характерным пространствен-
ным распределением амплитуды этих колебаний – чередованием
узлов и пучностей.
Пучности стоячей волны – пространственные области, в
которых частицы распределенной системы колеблются с макси-
мальной амплитудой.
Узлы стоячей волны – пространственные области, в кото-
рых частицы распределенной системы остаются неподвижны.
В случае стоячих волн
основной модой (тоном) называется
мода с максимальной длиной волны и минимальной частотой. Ос-
тальные моды называются
обертонами.
Стоячая волна в соответствии с принципом суперпозиции
волновых полей (9.3) может быть представлена как результат су-
перпозиции двух бегущих гармонических волн с одинаковыми час-
тотой
ω
, скоростью распространения c и амплитудой
0
ξ
, распро-
страняющихся навстречу друг другу (например, падающая и отра-
женная волны):
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
c
x
t
c
x
txt
21
),(
ξξξ
()
(
)
=
+
+
+
+
−
=
020010
coscos
ϕ
ω
ξ
ϕ
ω
ξ
kxtkxt
≡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+=
2
cos
2
cos2
02010102
0
ϕϕ
ω
ϕϕ
ξ
tkx
()
(
)
00
coscos
ϕ
ω
ψ
+
+≡ tkxC , (9.53)
где
01
ϕ
и
02
ϕ
– начальные (при t = 0) фазы в точке с координатой
0=x
,
0
2
ξ
=
C ,
2
0102
0
ϕϕ
ψ
−
=
и
2
0102
0
ϕϕ
ϕ
+
=
, а
(
)
0
cos
ψ
+kxC –
амплитуда стоячей волны.
Пучности в волне в соответствии с (9.53) будут наблюдаться,
в точках (см. рис. 9.8), координаты которых удовлетворяют усло-
вию:
π
ψ
nkx =
+
0
, ...,3,2,1=n . (9.54)