Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Глава 5. Кинематика в теории относительности

161

()

2

AAA

/1

1

cVxxx

jjj

−

′

=

′

=

γ

,

jj

x

c

V

t

A

2

A

′

−=

′

; (5.35)

()

2

BBB

/1

1

cVxxx

kkk

−==

′

γ

,

kk

x

c

V

t

B

2

B

= . (5.36)

Изобразим на рисунках расположение часов обеих систем и

положение стрелок этих часов относительно различных систем от-

счета с учетом того, что координаты

j

x

A

′

и

k

x

B

часов в каждой из

своих систем отсчета различны.

На рис 5.5 расположение часов и положение их стрелок соот-

ветствуют случаю, когда наблюдатель находится в системе S, а на

рис. 5.6 – когда наблюдатель находится в системе S'.

Как видим, пространственные интервалы между соседними

часами в обеих системах отсчета "с точки зрения" наблюдателей,

находящихся в другой системе, уменьшается в

γ

раз (см. (5.35) и

(5.36)). При этом показания часов линейно зависят от их простран-

ственных координат в своих системах отсчета. Если часы располо-

Рис. 5.5

X –200 м –100 м +100 м +200 м 0 м

V

S

S′

Рис. 5.6

X′

–200 м –100 м +100 м +200 м 0 м

V

S

′

S

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

162

жены относительно начала отсчета своей системы координат в на-

правлении скорости ее движения относительно другой системы

отсчета, то они отстают от часов, расположенных в начале отсчета

(см. рис. 5.5 и 5.6). И наоборот, часы расположенные относительно

начала отсчета своей системы координат в направлении, противо-

положном скорости ее движения относительно другой системы от-

счета, опережают часы, расположенные в начале отсчета (см.

рис. 5.5 и 5.6).

Оценим максимальное различие в показаниях часов, которое

соответствует часам, расположенным на максимальном расстоянии

друг от друга. В соответствии с условием задачи

V = 0,9c,

м200

11

BA

−

=

′

xx и м200

55

BA

=

′

xx

, следовательно:

(

)

=

′

−

′

=

′

+

′

−=

′

−

′

511515

AA

2

A

2

A

2

AA

xx

c

V

x

c

V

x

c

V

tt

мкс1,2c102,1

6

−=⋅−=

−

(5.37)

и

(

)

=−=−=−

151515

BB

2

B

2

B

2

BB

xx

c

V

x

c

V

x

c

V

tt

мкс1,2c102,1

6

=⋅=

−

. (5.38)

Задача 5.4

(Преобразования Лоренца или их следствия)

Межзвездный корабль движется от Земли к звезде, находя-

щейся от нее на расстоянии

L = 3 световых года, со скоростью

V = 5⋅10

6

м/с. Достигнув звезды, корабль возвращается обратно с

той же по величине скоростью. На какое время

Δt часы на корабле

отстанут от земных часов по возвращении корабля на Землю? При

решении задачи пренебречь временем, затраченным на разгон и

торможение ракеты.

Решение

I. Предположим, что система отсчета S, связанная с Землей и

звездой, является инерциальной. Другую инерциальную систему

отсчета S' свяжем с движущимся относительно Земли межзвездным

кораблем. Пусть корабль, а значит и система S', движутся со скоро-

стью

V вдоль оси X системы S. Определим, как обычно, интере-

сующие нас события:

Глава 5. Кинематика в теории относительности

163

А – межзвездный корабль начал двигаться со скоростью V к

звезде;

В – корабль долетел до звезды;

С – межзвездный корабль возвратился обратно на Землю.

II. Интервалы времени между событиями А и В и событиями

В и С в системе отсчета S равны

V

L

TT ==

BCAB

. (5.39)

С точки зрения космонавта, находящегося в корабле, события

А, В и события В, С происходят в одной точке пространства. Сле-

довательно, для системы отсчета, связанной с кораблем, происхо-

дит сокращение интервала времени между событиями А, В и В, С,

то есть наблюдается "замедлением времени". Тогда, согласно (5.6),

в системе отсчета S':

γ

V

L

TT =

′

=

′

BCAB

. (5.40)

Время

Δt, на которое часы на корабле отстанут от земных ча-

сов по возвращении корабля на Землю, равно:

()

(

)

BCABBCAB

Δ TTTTt

′

+

′

−+

=

(5.41)

III. Решая систему уравнений (5.39) – (5.41) относительно

Δt

получаем:

(

)

2

11

2

Δ

β

−−=

V

L

t . (5.42)

Поскольку по условию задачи

11033.0

2

<<⋅≅

−

c

V

, то

2

22

2

1

11

c

V

=≈−−

ββ

и, следовательно, искомое время, на кото-

рое часы на корабле отстанут от земных часов равно

22

2

Δ

c

LV

c

V

L

t =⋅≈ ≈ 0,05 года ≈ 18 сут. (5.43)

Задача 5.5

(Преобразования Лоренца или их следствия)

Стержень, движущийся со скоростью V = c/2 относительно

системы S, имеет собственную длину l

0

= 1 м. В системе отсчета S',

связанной с движущимся стержнем, угол между стержнем и на-

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

164

правлением его движения составляет

ϕ

0

= 45° (рис. 5.7). Найти

длину стержня l и угол его наклона

ϕ

в системе S.

Рис. 5.7

Решение

I. Поскольку в соответствии с условием задачи, необходимо

определить длину стержня в системе отсчета S, определим сле-

дующие два события – А и В. Эти события состоят в том, что одно-

временно измерены положения двух концов стержня в системе S.

Пусть пространственно-временные координаты этих событий в

системе отсчета S равны (

1

x ,

1

y ,

1

t ) и (

2

x ,

2

y ,

2

t ), причем

21

tt = . В

системе отсчета S' события А и В происходят не одновременно, их

пространственно-временные координаты равны соответственно

(

1

x

′

,

1

y

′

,

1

t

′

) и (

2

x

′

,

2

y

′

,

2

t

′

).

II. Собственная длина стержня (длина стержня в неподвиж-

ной относительно него системе отсчета S') равна:

()()

222

0

ΔΔ yxl

′

+

′

= . (5.44)

Интервалы x

′

Δ и y

′

Δ связаны с собственной длиной стержня

l

0

и углом его наклона

ϕ

0

в системе отсчета S' следующими соот-

ношениями:

00

cosΔ

ϕ

lx =

′

и

00

sinΔ

ϕ

ly

=

′

. (5.45)

Поскольку события A и B происходят одновременно в систе-

ме отсчета S, для определения длины стержня в системе отсчета S

воспользуемся следствием преобразований Лоренца – "сокращени-

ем длины" (см. п. 5.1.3). Согласно (5.7):

xx

′

= Δ

1

Δ

γ

. (5.46)

X

X'

Y

Y'

S

S'

V

0

l

0

ϕ

Глава 5. Кинематика в теории относительности

165

При этом в соответствии с преобразованиями Лоренца (5.4)

сокращение интервала yΔ между координатами

1

y и

2

y наблю-

даться не будет:

yy

′

= ΔΔ

.

Длина стержня l определяется его проекциями на оси систе-

мы отсчета S:

() ()

22

2

ΔΔ yxl += . (5.47)

Угол наклона стержня в системе S связан с интервалами xΔ

и yΔ следующим образом:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

x

y

Δ

arctg

ϕ

. (5.48)

III. Подставив в формулу (5.47) соотношения (5.45) и (5.46),

получим длину стержня в системе отсчета S:

0

2

0

2

0

2

0

2

0

cos1

cos

sin

ϕ

γ

ϕ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=+=

c

V

lll . (5.49)

Воспользовавшись соотношениями (5.46) и (5.48) получим

угол наклона стержня в той же системе отсчета:

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

=

0

2

tg

/1

1

arctg

Δ

arctg

ϕ

γ

ϕ

cV

x

y

. (5.50)

Подставив в (5.49) и (5.50) заданные в условии задачи значе-

ния

0

l и V, получим численные значения искомых величин:

м935,0≈l , °≈ 49

ϕ

. (5.51)

Задача 5.6

(Преобразования Лоренца или их следствия)

Космический корабль летит со скоростью V = 0,6с от одного

неподвижного космического маяка к другому. В тот момент, когда

он находится посередине между маяками, каждый из них испускает

в направлении корабля световой импульс. Найти, какой промежу-

ток времени пройдет на корабле между моментами регистрации

этих импульсов

. Расстояние между маяками свет проходит за время

τ

= 60 сут.

Решение

I. Свяжем систему отсчета S' с космическим кораблем, а сис-

тему отсчета S с неподвижными маяками (рис. 5.8).

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

166

Пусть события А и В состоят в том, что на корабле происхо-

дит последовательная регистрация двух испущенных маяками све-

товых импульсов. В системе отсчета S сначала в момент времени t

1

в точке с координатой x

1

происходит регистрация импульса, испу-

щенного маяком В. Регистрация импульса, испущенного маяком А,

происходит в последующий момент времени t

2

в точке с координа-

той x

2

.

II. Для наблюдателя, находящегося в системе отсчета S, мо-

менты времени регистрации сигналов определяются соотношения-

ми:

11

2

Vt

L

ct −= , (5.52)

22

2

Vt

L

ct += . (5.53)

Тогда интервал времени между событиями А и В в системе

отсчета S будет равен:

22

12

11

2

Δ

Vc

LV

VcVc

L

ttt

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=−=

. (5.54)

Здесь L – расстояние между космическими маяками, причем в со-

ответствии с условием задачи

τ

cL

=

. (5.55)

Воспользуемся следствием преобразований Лоренца – "за-

медлением времени".

Поскольку в системе отсчета S' события А и

В происходят в одной точке пространства, то, согласно (5.6), долж-

но наблюдаться сокращение интервала времени между рассматри-

ваемыми событиями в этой системе:

2

1Δ

Δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−==

′

c

V

t

γ

. (5.56)

L/2

YY'

X, X'

S

'

V

AB

L/2

Рис. 5.8

Глава 5. Кинематика в теории относительности

167

III. Воспользовавшись соотношениями (5.54) – (5.56), опре-

делим искомый промежуток времени между моментами регистра-

ции световых импульсов на корабле:

=

−

=

−

⋅

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

′

22

2

1ΔΔ

Vcc

Vc

c

Vc

LV

c

V

tt

τ

22

Vc

V

−

=

τ

. (5.57)

Подставляя в (5.57) заданные в условии задачи значения ско-

рости космического корабля V = 0,6с и времени, необходимого для

прохождения света между маяками

τ

= 60 сут., получаем:

'Δt = 45 сут.

Задача 5.7

(Преобразования Лоренца или их следствия)

Корабль, летящий по направлению к Земле, испускает после-

довательно два коротких световых импульса с интервалом времени

τ

1

= 1 мин. Отраженный от Земли первый импульс возвращается на

корабль через время T = 1,5 месяца. При этом временной интервал

между принятыми сигналами составляет

τ

2

= 15 с. Промежутки

времени

τ

1

,

τ

2

и T отсчитываются по часам корабля. Найти скорость

корабля и время T

З

, которое пройдет на Земле от момента регист-

рации земным наблюдателем первого светового импульса до при-

лета корабля.

Решение

I. Определим интересующие нас события:

А – испускание кораблем первого светового импульса;

В – испускание кораблем второго светового импульса;

А

1

– отражение первого импульса от поверхности Земли;

В

1

– отражение второго импульса от поверхности Земли;

А

2

– регистрация первого импульса кораблем;

В

2

– регистрация второго импульса кораблем;

С – прилет корабля на Землю.

На рис. 5.9 схематично (без соблюдения масштаба) изобра-

жена временная последовательность указанных событий в систе-

мах отчета, связанных с Землей (верхняя на рисунке ось времени t)

и с кораблем (нижняя ось t').

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

168

События, произошедшие на корабле, обозначены незакра-

шенными кружками, а события, произошедшие на Земле, – закра-

шенными кружками. На рисунке изображены также интервалы

времени между событиями, заданные в условии задачи по часам

корабля, –

τ

1

,

τ

2

и T. В соответствии со следствием преобразований

Лоренца – так называемым "замедлением времени" (см. Теоретиче-

ский материал, формула (5.6)) – интервалы времени, соответст-

вующие тем же парам событий, измеренные по земным часам, уве-

личиваются в

γ

раз (см. рис. 5.9).

II. Поскольку по условию задачи задан интервал времени Т

между событиями А и А

2

в системе отсчета, связанной с кораблем,

запишем интервал времени

A

Δt

между теми же событиями в сис-

теме отсчета, связанной с Землей, как функцию скорости корабля:

()

c

Δ

AAA

A

tVLL

t

−+

= , (5.58)

где L

A

– расстояние между Землей и кораблем в момент времени,

когда произошло событие А в системе отсчета, связанной с Землей.

T

A B

A

1

A

2

C

B

1

B

2

τ

1

τ

2

t'

Δ

t

B

/

γ

A B

A

1

A

2

C

B

1

B

2

γ

τ

1

γ

τ

2

t

γ

T =

Δ

t

A

T

З

Δ

t

B

L

A

/c

L

A

/V

Рис. 5.9

Глава 5. Кинематика в теории относительности

169

С другой стороны, используя следствие преобразований Лоренца,

"замедление времени", можно записать:

Tt

γ

=

A

Δ . (5.59)

Уравнение, аналогичное (5.58), запишем для интервала вре-

мени

B

Δt между событиями B и B

2

в системе отсчета, связанной с

Землей:

()

c

Δ

BBB

B

tVLL

t

−+

= , (5.60)

где L

B

– расстояние между Землей и кораблем в момент времени,

когда произошло событие B в системе отсчета, связанной с Землей.

Как видно в верхней части рис. 5.9, интервал времени

B

Δt может

быть выражен через заданные в задаче интервалы

τ

1

,

τ

2

и T:

21B

Δ

γ

τ

γ

τ

γ

+−= Tt

. (5.61)

Запишем пройденный кораблем путь с момента испускания

первого светового импульса до момента испускания второго свето-

вого импульса (пространственный интервал между событиями A и

B) в системе отсчета, связанной с Землей (за время

1

γ

τ

):

1BA

γ

τ

VLL =

−

. (5.62)

Искомый интервал времени между событиями A

1

и C

cV

AA

З

LL

T −= . (5.63)

III. Решая систему уравнений (5.58) – (5.63), находим ско-

рость движения корабля V и время T

З

, которое пройдет на Земле от

момента регистрации земным наблюдателем первого светового

импульса до прилета корабля:

21

ττ

+

−

= cV , (5.64)

21

З

ττ

−

= TT . (5.65)

Подставляя численные значения интервалов времени, задан-

ных в условии задачи, получим:

cV 6,0

=

, месяц1

З

≅T .

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

170

Задача 5.8

(Преобразования Лоренца или их следствия)

Два звездолета с выключенными двигателями движутся на-

встречу друг другу (см. рис. 5.10). На носу и на корме первого

звездолета периодически, каждые

τ

1

= 1 с, по часам этого звездоле-

та одновременно зажигаются сигнальные огни. На втором звездо-

лете каждые

τ

2

= 0,5 с наблюдают две вспышки с интервалом вре-

мени Δ

τ

= 1 мкс. Найти собственную длину l

0

первого звездолета и

скорость U относительного движения звездолетов.

Решение

I. Свяжем систему отсчета S с первым звездолетом, тогда

второй звездолет, с которым свяжем систему отсчета S', будет дви-

гаться относительно системы S со скоростью U (рис. 5.10).

Определим интересующие нас события:

А и В – две ближайшие по времени вспышки, происходя-

щие на носу первого звездолета;

А

1

и В

1

– регистрация этих вспышек на втором звездолете;

C – вспышка на корме первого звездолета, которая про-

изошла одновременно в системе отсчета S со вспышкой

на носу этого звездолета (событие А);

С

1

– регистрация на втором звездолете вспышки, произо-

шедшей на корме первого звездолета.

На рис. 5.11 схематично изображена временная последова-

тельность указанных событий в системах отчета, связанных с пер-

вым (верхняя на рисунке ось времени t) и со вторым звездолетом

(нижняя ось t').

События, произошедшие на первом звездолете, обозначены

незакрашенными кружками, а события

, произошедшие на втором

звездолете, – закрашенными кружками.

Рис. 5.10

l

0

S

U

S'

Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Подождите немного. Документ загружается.