Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах

141

II. Запишем уравнение движения центра масс цилиндра в

проекции на ось Х':

тр

' Fmaxm −

=

&&

. (4.90)

Уравнение вращательного движения (см. (6.30) в Главе 6)

цилиндра относительно оси, совпадающей с его осью и направлен-

ной за плоскость чертежа (см. рис. 4.14), имеет вид:

RFJ

тр

=

ϕ

&&

, (4.91)

где

ϕ

&&

– угловое ускорение цилиндра, R – его радиус. Момент

инерции цилиндра Ј относительно указанной оси равен

2

mR

J = (4.92)

Из условия качения без проскальзывания получаем уравне-

ние связи ускорения оси цилиндра (совпадающего с ускорением

центра масс

x

&&

′

) с его угловым ускорением:

Rx

ϕ

&&

=

′

. (4.93)

Запишем также кинематические соотношения при равноус-

коренном движении центра масс цилиндра относительно неинер-

циальной системы отсчета:

txV

′

=

&&

цм

. (4.94)

2

tx

L

′

=

&&

, (4.95)

При записи последних соотношений учтено, что движение начина-

ется с нулевой начальной скоростью.

III. Решая совместно уравнения (4.90) – (4.93), получаем вы-

ражение для ускорения центра масс цилиндра:

ax

3

2

'=

&&

. (4.96)

Искомую скорость центра масс цилиндра в момент времени,

когда он будет находиться над краем доски, получим из (4.94) –

(4.96):

aLV

3

4

цм

= . (4.97)

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

142

4.4. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

С какой горизонтальной силой

F

следует двигать клин с уг-

лом

α

при основании и массой М, чтобы лежащий на нем брусок

массой m не перемещался относительно клина? Сила

F

направле-

на так, как показано на рисунке.

Коэффициент трения скольжения между бруском и клином

равен

μ

.

Ответ:

αμ

tg

gmMF

+

−

+≤

1

)(

при

α

μ

tg> , а при

α

μ

tg

≤

про-

скальзывание будет при любом значении модуля силы F.

Задача 2

С какой горизонтальной силой

F

следует двигать клин с уг-

лом

α

при основании и массой М, чтобы лежащий на нем брусок

массой

m

не перемещался относительно клина? Сила

F

направле-

на так, как показано на рисунке.

Коэффициент трения скольжения между бруском и клином

равен

μ

.

Ответ:

αμ

μα

αμ

μα

tg

gmMF

tg

gmM

−

+

+≤≤

+

−

+

1

)(

1

)(

при

α

μ

ct

g

<

;

F

α

F

α

Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах

143

∞≤≤

+

−

+ F

tg

gmM

αμ

μα

1

)( при

α

μ

ct

g

≥ .

Задача 3

Сплошной цилиндр скатывается без проскальзывания с на-

клонной плоскости с углом

α

к горизонту. Наклонная плоскость

опускается в лифте с ускорением а

0

. Определить ускорение оси ци-

линдра относительно наклонной плоскости.

Ответ:

α

sin)(

3

2

0

aga −= .

Задача 4

Горизонтальный диск радиуса R вращают с угловой скоро-

стью ω вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через

его край. По краю диска равномерно относительно него движется

частица массой m. В момент времени, когда она оказывается на

максимальном расстоянии от оси вращения, сумма всех сил инер-

ции

ин

F

, действующих на частицу в системе отсчета, связанной с

диском, обращается в ноль. Найти зависимость модуля силы

ин

F

от расстояния r от частицы до оси вращения.

Ответ:

1

2

ин

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

r

R

rmF

ω

.

Задача 5

Жесткие стержни образуют равнобедренный прямоугольный

треугольник, который вращается с постоянной угловой скоростью

ω вокруг вертикального катета АВ (см.

рис.). По стержню АС скользит без

трения муфта массой т, связанная

пружиной жесткостью k с вершиной А

треугольника. Длина нерастянутой

пружины l. Определить при каком

значении модуля угловой скорости ω

муфта будет в равновесии при

недеформированной пружине? Будет ли

это равновесие устойчивым?

В

С

А

ω

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

144

Ответ:

l

g 2

=

ω

, равновесие устойчиво, если

2

mg

kl > .

Задача 6

Из ружья произведен выстрел вверх (параллельно линии от-

веса). Географическая широта места

ϕ

= 60°, начальная скорость

пули 100

0

=

V м/с. Определить насколько восточнее или западнее

от места выстрела упадет пуля.

Ответ: пуля отклонится к западу на расстояние

5,0

cos

3

4

2

3

0

≈⋅=

g

V

x

ϕω

м.

Задача 7

Поезд массой m движется вдоль меридиана на северной ши-

роте

ϕ

со скоростью V . Определить величину и направление силы

бокового давления поезда на рельсы.

Ответ:

ϕ

ω

sin2mVF = (на правый по ходу поезда рельс).

Задача 8

На экваторе на рельсах стоит пушка. Рельсы направлены с

запада на восток, и пушка может двигаться по ним без трения.

Пушка стреляет вертикально вверх. Какую скорость будет иметь

пушка после выстрела? Масса пушки М, масса снаряда m, длина

ствола l. Считать, что в стволе снаряд движется с постоянным ус-

корением а

.

Ответ:

mM

ml

V

+

=

0

2

ω

,

0

ω

– угловая скорость вращения Земли.

Задача 9

Под каким углом к вертикали надо произвести выстрел

вверх, чтобы пуля упала обратно в точку, из которой был произве-

ден выстрел? Начальная скорость пули V

0

= 100 м/c, географиче-

ская широта места φ = 60°.

Ответ: ствол ружья надо наклонить к востоку под углом

15

3

cos2

0

′′

≈=

g

V

ϕω

α

.

Глава 4. Движение материальной точки в неинерциальных системах

145

Задача 10

На экваторе с высоты H на поверхность Земли падает тело с

нулевой начальной скоростью. Пренебрегая силой сопротивления

воздуха, определить в какую сторону и на какое расстояние откло-

нится тело при падении от вертикали. Угловую скорость вращения

Земли ω считать заданной.

Ответ: Отклонится на восток на расстояние

g

H

Hx

2

3

2

ω

≈ .

Задача 11

Поезд массой m движется вдоль экватора с постоянной ско-

ростью

υ. Определить силу N нормального давления поезда на

рельсы. Решить задачу в двух неинерциальных системах отсчета: в

системе, связанной с поверхностью Земли, и в системе, связанной с

поездом. Радиус Земли R и ее угловую скорость вращения

ω счи-

тать заданными.

Ответ:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

±

−=

R

gmN

2

)(

υω

.

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

146

ГЛАВА 5

КИНЕМАТИКА В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

5.1. Теоретический материал

5.1.1. Постулаты и основные понятия

(специальной) теории относительности

I. Принцип относительности: любое физическое явление в

природе протекает одинаковым образом во всех инерциальных

системах отсчета. Следовательно, любой закон природы одинако-

во формулируется во всех инерциальных системах отсчета (урав-

нения, описывающие законы природы в различных

инерциальных

системах отсчета, имеют один и тот же вид).

II. Принцип постоянства скорости света: скорость распро-

странения электромагнитных волн (в том числе света) в вакууме

одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит

от скоростей движения источника и приемника излучения.

Событие

Любое событие, произошедшее в некоторой точке простран-

ства, определяется пространственными координатами (x,y,z) этой

точки и моментом времени t, когда оно произошло.

Пространственно-временные координаты события –

(x,y,z,t) или (

r ,t).

Синхронизация часов в системе отсчета

Для того чтобы часы, неподвижно расположенные во всех

точках системы отсчета S, показывали одно и то же время с точки

зрения наблюдателя, неподвижного в той же системе отсчета, не-

обходимо их синхронизовать. В этом случае можно говорить о

едином времени в системе отсчета.

Условие синхронизации

часов A и B, расположенных в

произвольных точках системы отсчета S (в предположении об изо-

тропности пространства):

2

A

2

A

1

B

tt

t

+

=

. (5.1)

Глава 5. Кинематика в теории относительности

147

Здесь (см. рис. 5.1)

A

1

t – момент времени излучения из точки A све-

тового сигнала (кванта света) по часам в точке A,

B

t – момент вре-

мени регистрации этого сигнала в точке B по часам в точке B,

A

2

t –

момент времени регистрации в точке A отраженного в точке B сиг-

нала по часам в точке A.

5.1.2. Преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца – это

взаимосвязь пространствен-

но-временных координат

одного и того же события относительно

различных инерциальных систем отсчета (см. рис. 5.2).

Пусть система отсчета S' движется относительно системы S с

постоянной скоростью

V вдоль оси X (рис. 5.2). При этом оси сис-

тем ориентированы

в пространстве одинаково и часы синхрони-

зованы

так, что событие с пространственно-временными коорди-

натами (

0=r , t = 0) в системе S имеет координаты (0'

=

r , t' = 0) в

системе S'. Тогда в соответствии с постулатами теории относитель-

Рис. 5.1. Синхронизация часов,

расположенных в раз-

ных точках инерциаль-

ной системы отсчета S

A

B

A

1

t

B

t

A

2

t

S

Рис. 5.2. Взаимная ориентация осей координат движущихся отно-

сительно друг друга инерциальных систем отсчета и

пространственно-временные координаты события

X X'

Z Z'

Y Y'

S S'

V

(

r

,t)

(

r

′

,t')

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

148

ности и из однородности времени, а также однородности и изо-

тропности пространства пространственно-временные координаты

любого события (

x,y,z,t) и (x',y',z',t') в этих системах отсчета связа-

ны

преобразованиями Лоренца:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

=

′

=

′

=

′

−

=

′

;

/1

,

/1

2

cV

x

c

V

t

zz

yy

cV

Vtx

x

и

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

′

+

′

=

′

=

′

=

−

′

+

′

=

;

/1

,

/1

2

cV

x

c

V

t

zz

yy

cV

tVx

x

(5.2)

или

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

′

=

′

=

′

−=

′

;

,

2

x

c

V

tt

zz

yy

Vtxx

γ

и

(

)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

+

′

=

′

=

′

=

′

+

′

=

.

,

2

x

c

V

tt

zz

yy

tVxx

γ

(5.3)

Здесь

()

1

/1

1

22

>

−

=

−

≡

β

γ

cV

− Лоренц-фактор

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

<≡ 1

c

V

β

.

В силу линейности преобразований Лоренца (5.3) аналогич-

ные соотношения можно записать и для интервалов пространст-

венных координат

12

Δ xxx

−

=

,

12

Δ yyy

−

=

,

12

Δ zzz −

=

и

12

Δ xxx

′

−

′

=

′

,

12

Δ yyy

′

−

′

=

′

,

12

Δ zzz

′

−

′

=

′

, а также интервалов време-

ни

12

Δ ttt −= и

12

Δ ttt

′

−

′

=

′

между двумя любыми событиями:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

′

=

′

=

′

−=

′

;ΔΔΔ

,ΔΔ

,ΔΔΔ

2

x

c

V

tt

zz

yy

tVxx

γ

и

(

)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

+

′

=

′

=

′

=

′

+

′

=

.ΔΔΔ

,ΔΔ

,ΔΔΔ

2

x

c

V

tt

zz

yy

tVxx

γ

(5.4)

Заметим, что величины интервалов пространственных коор-

динат и времени зависят от выбора системы отсчета.

Глава 5. Кинематика в теории относительности

149

5.1.3. Следствия преобразований Лоренца

1. Предельная скорость распространения взаимодействий

Скорость распространения любых взаимодействий (а значит

и скорость движения физических объектов) в природе

не превы-

шает

скорость распространения электромагнитных волн (в том

числе света) в вакууме.

2. "Относительность одновременности"

События, происходящие одновременно в одной инерциаль-

ной системе отсчета и имеющие различные пространственные ко-

ординаты вдоль направления движения другой инерциальной сис-

темы, не являются в ней одновременными.

Это утверждение непосредственно следует из (5.4).

3. "Замедление времени"

Рассмотрим два события, происходящие в одной и той же

точке пространства в движущейся системе S' (например последова-

тельное "тиканье" часов системы S') (рис. 5.3).

Принципиально важно, что эти два события происходят

в

одной и той же точке пространства

в системе S':

21

xx

′

=

′

,

0Δ

21

=

′

−

′

=

′

xxx . Для системы S эти события будут происходить в

разных точках пространства. В этом случае (см. (5.4)):

Рис. 5.3. Взаимная ориентация осей координат движущихся отно-

сительно друг друга инерциальных систем отсчета и

пространственно-временные координаты рассматривае-

мых событий

X

X'

Z

Z'

Y

Y'

S S'

V

x

1

,t

1

x

2

,t

2

1

x

′

,

1

t

′

2

x

′

,

2

t

′

МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

150

()

t

cV

t

′

=

−

′

= Δ

/1

Δ

2

γ

или

γ

t

Δ

Δ =

′

. (5.5)

Здесь Δt' – интервал времени между событиями, происходящими в

одной и той же точке пространства в системе S', по часам системы

S', Δt – интервал времени между теми же событиями по часам сис-

темы S.

Другими словами,

для системы отсчета, в которой события

происходят в одной точке пространства, наблюдается сокра-

щение интервала времени между этими событиями (по сравне-

нию с любой другой системой отсчета)

.

Если T

0

≡ Δt' – период хода движущихся часов (часов систе-

мы S') по часам системы S', а T ≡ Δt – период хода движущихся ча-

сов по часам системы S, то можно утверждать, что движущиеся

часы идут медленнее неподвижных часов:

()

0

2

0

/1

T

cV

T

γ

=

−

= ,

γ

T

T =

0

. (5.6)

4. "Сокращение длины"

Рассмотрим два события, происходящие одновременно отно-

сительно некоторой системы отсчета S. Этими событиями могут

быть, например, измерения координат правого x

2

и левого x

1

кон-

цов движущейся вместе с системой S' линейки, расположенной

вдоль осей X и X' (см. рис. 5.4).

Рис. 5.4. Взаимная ориентация осей координат движущихся отно-

сительно друг друга инерциальных систем отсчета и

пространственно-временные координаты рассматривае-

мых событий

X

X'

Z

Z'

Y

Y'

S

S'

V

x

1

,t

1

x

2

,t

2

1

x

′

,

1

t

′

2

x

′

,

2

t

′

Русаков В.С. и др. Механика. Методика решения задач

Подождите немного. Документ загружается.