Выступления и дискуссия
675
рии. И не надо учить дурацкий учебник, даже Евклида. Но
надо,
основываясь на элементарном опыте, моделировать все
эти ситуации. Тогда возникает и более сложный вопрос: поче-
му это возможно? Теперь ученик выясняет, что он сам пишет
аксиоматику, сам говорит — что такое точка, и это не являет-
ся исчерпывающим определением, поскольку он выявляет ее
существенные качества. Но это уже более сложная работа, так
как требуются выводы по поводу своей собственной деятель-
ности, требуется рефлексия более высокого уровня. Напри-
мер,
вопрос о том, почему мы видим точки и линии, которых
нет, приводит к упомянутому вопросу об устойчивости, наблю-
даемости. Потом — к вопросу о том, кто или что позволило
нам иметь такие возможности: видеть то, чего нет.
На мой взгляд, очень много серьезных проблем проистека-
ет из маленьких неточностей. Здесь говорилось, что число яв-
ляется проблемой для математики. Утверждаю как предста-
витель цеха — нет такой проблемы для математиков. Есть
такая проблема для философов математики. Это надо очень
четко различать. Любой математик скажет, что на тему «что
такое число» он не думал. Есть специальная поросль людей,
получивших математическое образование (окончивших мех-
мат по кабинету истории математики), и вот это — предмет их
мыслительной деятельности. Но, как правило, эти люди не
имеют опыта собственно математической деятельности. Еще
здесь прозвучало: учить считать — умение. Действительно,
разве считать — это знание? Конечно, не знание, а базовая
форма деятельности. Какое отношение это имеет к тому, «что
такое число»? Прямое: дает пищу для соответствующего
размышлени... Мы этой деятельности научились. Мы умеем
устанавливать изоморфизм между любым разнообразием ка-
ких-то выделенных предметов, например между группками
камешков, разложенных в определенном порядке, и обозна-
чать его соответствующими значками, т.е. производить подсчет
и выполнять с этими возникшими обозначениями соответ-
ствующие операции. Научились, даже не понимая того, что
мы делаем.
Второе. Чем отличаются разные типы математических
форм, называемых числами? Их очень много, и они разные.
Разные, потому что в основе их лежат совершенно разные про-
цедуры сравнения. Это вовсе не то же самое, что Давыдов го-
ворил по отношению к мерке. Ошибка в этом определении за-
ключается в том, что суть в слове «отношение», но это совер-
шенно отдельный разговор. Я лишь хочу обратить внимание,
что эта неточность очень серьезна на самом деле. Она малень-
кая,
но в итоге искажается предмет, и возникает серьезная
опшбка. Конечно, есть базовые формы деятельности, которым
обязательно надо научить. Они дают первичный, самый эле-
ментарный материал для думанья, для того, чтобы можно