Руев Г.А. и др. Методы вычислений и их реализация в Excel
Подождите немного. Документ загружается.
61
0,...,0,0
10
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
m
a
S
a
S
a
S
(3.2)
Рассмотрим применение МНК для частного случая, широко
используемого на практике.
В качестве эмпирической функции рассмотрим полином
(
)
m
m
xaxaxaax ++++= ...
2
210
ϕ
.
Формула (3.2) для определения суммы квадратов отклонений
примет вид:
( )
( )
∑
=
−++++=
N
i
i
m
imiim
fxaxaxaaaaaS
1
2
2
21010
...,...,,
(3.3)
Вычислим производные:
( )
∑
=
−++++=
∂
∂
N
i
i
m
imii
fxaxaxaa
a
S
1
2
210
0
...2
( )
i
N
i
i
m
imii
xfxaxaxaa
a
S
∑
=
−++++=
∂
∂
1
2
210
1
...2
( )
m
i
N
i
i
m
imii
m
xfxaxaxaa
a
S
∑
=
−++++=
∂
∂
1
2
210
...2
...
Приравнивая эти выражения нулю, и собирая коэффициенты при
неизвестных
m
aaa ,...,,
10
, получим следующую систему линейных
уравнений:
∑ ∑∑∑
= ===
=++++
N
i
N
i
i
m
im
N
i
i
N
i
i
fxaxaxaNa
1 11
2
2
1
10
...
∑ ∑∑∑∑
= =
+
===
=++++
N
i
N
i
ii
m
im
N
i
i
N
i
i
N
i
i
fxxaxaxaxa
1 1
1
1
3
2
1
2
1
1
0
...
.
∑ ∑∑∑∑
= ==
+
=
+
=
=++++
N
i
N
i
i
m
i
m
im
N
i
m
i
N
i
m
i
N
i
m
i
fxxaxaxaxa
1 1
2
1
2
2
1
1
1
1
0
...
...
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
62
Данная система уравнений называется нормальной.
В результате решения этой системы линейных уравнений одним
из известных способов, находятся коэффициенты
m
aaa ,...,,
10
.
В случае полинома первого порядка
1
=
m
,
т.е.
(
)
xaax
10
+
=
ϕ
,
система нормальных уравнений примет вид:
∑∑
==
=+
N
i
i
N
i
i
fxaNa
11
10
∑∑∑
===
=+
N
i
ii
N
i
i
N
i
i
fxxaxa
11
2
1
1
0
.
При
2
=
m
имеем:
∑∑∑
===
=++
N
i
i
N
i
i
N
i
i
fxaxaNa
11
2
2
1
10
∑∑∑∑
====
=++
N
i
ii
N
i
i
N
i
i
N
i
i
fxxaxaxa
11
3
2
1
2
1
1
0
.
∑∑∑∑
====
=++
N
i
ii
N
i
i
N
i
i
N
i
i
fxxaxaxa
1
2
1
4
2
1
3
1
1
2
0
Как правило, выбирают несколько эмпирических зависимостей.
По МНК находят коэффициенты этих зависимостей и среди них
находят наилучшую по минимальной сумме отклонений.
ПРИМЕР 3.4.
Заданы координаты 6 точек:
x
-5 -3,5 -2 1,5 3,25 5
f
0,5 1,2 1,4 1,6 1,7 1,5
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
63
Требуется по методу МНК найти эмпирические зависимости:
линейную
(
)
xaax
10
+
=
ϕ
,
квадратичную
(
)
2
210
xaxaax ++=
ϕ
,
гиперболическую
( )
x
a
ax
1
0
+=
ϕ
,
и выбрать среди них наилучшую по наименьшей сумме квадратов
отклонений.
Система нормальных уравнений для линейной зависимости:
∑∑
==
=+
N
i
i
N
i
i
fxaNa
11
10
,
∑∑∑
===
=+
N
i
ii
N
i
i
N
i
i
fxxaxa
11
2
1
1
0
.
Учитывая, что
6
=
N
, и, используя Excel, находим:
75,0525,35,125,35
6
1
−=+++−−−=
∑
=i
i
x
,
( ) ( ) ( )
0625,79525,35,125,35
222
222
6
1
2
=+++−+−+−=
∑
=i
i
x
,
9,75,17,16,14,12,15,0
6
1
=+++++=
∑
=i
i
f
,
( ) ( ) ( )
925,55,157,125,36,15,14,122,15,35,05
6
1
=⋅+⋅+⋅+−+−+−=
∑
=i
ii
xf
В итоге получим СЛАУ
925,50625,7975,0
9,775,06
10
10
=+−
=
−
aa
aa
.
Решая систему линейных уравнений, получим
328,1
0
=
a
,
0875,0
1
=
a
.
Следовательно, линейная зависимость имеет вид:
(
)
xx 0875,0328,1
+
=
ϕ
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
64
Вычислим сумму квадратов отклонений:
( )
∑
=−+=
6
1
2
101
343,0
ii
fxaaS
.
Рассмотрим квадратичную зависимость.
Система нормальных уравнений имеет вид
∑∑∑
===
=++
N
i
i
N
i
i
N
i
i
fxaxaNa
11
2
2
1
10
∑∑∑∑
====
=++
N
i
ii
N
i
i
N
i
i
N
i
i
fxxaxaxa
11
3
2
1
2
1
1
0
.
∑∑∑∑
====
=++
N
i
ii
N
i
i
N
i
i
N
i
i
fxxaxaxa
1
2
1
4
2
1
3
1
1
2
0
Часть из сумм уже найдена при подборе линейной зависимости.
Используя Excel, найдем оставшиеся суммы:
172,13
6
1
3
−=
∑
=i
i
x
,
69,1532
6
1
4
=
∑
=i
i
x
,
856,91
6
1
2
=
∑
=i
ii
fx
.
Решая нормальную систему уравнений:
9,70625,7975,06
210
=
+
−
aaa
925,5172,130625,7975,0
210
=
−
+
aaa
856,9169,1532172,130625,79
210
=
+
−
aaa
,
получим:
65,1
0
=
a
,
0865,0
1
=
a
,
02436,0
2
−
=
a
.
Следовательно, квадратичная зависимость имеет вид:
(
)
2
02436,00865,065,1 xxx −+=
ϕ
.
Вычислим сумму квадратов отклонений:
( )
∑
=−++=
6
1
2
2
2102
052,0
iii
fxaxaaS
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
65
Выпишем систему нормальных уравнений для гиперболической
зависимости.
Согласно МНК, находим сумму квадратов отклонений:
( )
∑
=
−+=
N
i
i
i
f
x
a
aaaS
1
2
1
010
,
.
Составляем систему нормальных уравнений:
0
1
2
02
1
1
0
1
1
1
0
0
=
−+=
∂
∂
=
−+=
∂
∂
∑
∑
=
=
N
i
i
i
i
N
i
i
i
x
f
x
a
a
a
S
f
x
a
a
a
S
Или
∑∑∑
∑∑
===
==
=
+
=
+
6
1
6
1
2
1
6
1
0
6
1
6
1
10
11
1
6
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
f
x
a
x
a
f
x
aa
Учитывая, что
191,0
1
6
1
=
∑
=i
i
x
,
911,0
1
6
1
2
=
∑
=i
i
x
,
747,0
6
1
=
∑
=i
i
i
x
f
, получим
299,1
0
=
a
,
5476,0
1
=
a
.
Зависимость имеет вид
( )
x
x
5476,0
299,1 +=
ϕ
.
Сумма квадратов отклонений:
686,0
3
=
S
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
66
Итак, минимальным отклонением из трех рассмотренных
зависимостей обладает квадратичная, т.е., она является лучшей из
данных трех для аппроксимации исходных данных.
Графически результаты расчетов представлены на рис. 3.4.
Маркерами отмечены исходные данные.
Видно, что квадратичная зависимость действительно проходит
ближе всего к заданным значениям функции.
Рис. 3.4. Пример выбора эмпирической зависимости
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
67
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Постановка задачи
Требуется найти значение определенного интеграла
( )
∫
=
b
a
dxxfI
для некоторой заданной на отрезке
[
]
ba,
функции
(
)
xf
. Для некоторых функций значение интеграла можно найти
точно. Однако в общем случае значение интеграла можно найти
только приближенно, используя тот или иной способ численного
интегрирования.
Численное интегрирование основано на замене интеграла некой
суммой
( )
∑
=
=
n
k
kkn
xfcI
0
.
Такая замена следует из определения интеграла как предела
суммы
( )( )
∑
=
−
∞→
−=
n
i
iii
n
xxfI
1
1
lim
ξ
.
Зафиксировав
n
, мы получим предыдущую сумму.
Приближенное равенство
n
II
=
называется квадратурной формулой,
k
x
– узлами,
k
c
- коэффициентами квадратурной формулы.
Разность
( ) ( )
∑
∫
=
−=
n
k
kk
b
a
n
xfcdxxf
0
ψ
называется погрешностью
квадратурной формулы.
Разобьем отрезок
[
]
ba,
на
n
равных частей точками
bxxxxa
n
=
<
<
<
<
=
...
210
.
Получим равномерную сетку:
niihax
i
,...,1,0,
=
+
=
.
Тогда
( ) ( )
∑
∫∫
=
−
==
n
i
x
x
b
a
i
i
dxxfdxxfI
1
1
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
68
Для построения квадратурной формулы на всем отрезке
[
]
ba,
достаточно построить квадратурную формулу на частичном отрезке
[
]
ii
xx ,
1−
.
Формулы прямоугольников
Пусть
(
)
(
)
[
]
iii
xxxxfxf ,,
11 −−
∈
=
, т.е. мы аппроксимируем
(
)
xf
левой кусочно-постоянной интерполяцией.
Тогда получим
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
11111
111
−−−−−
=−===
∫∫∫
−−−
iiii
x
x
i
x
x
i
x
x
xhfxxxfdxxfdxxfdxxf
i
i
i
i
i
i
.
Таким образом,
( ) ( )
∑
∫
=
−
=
n
i
i
b
a
xfhdxxf
1
1
.
Эта формула называется формулой левых прямоугольников.
Рис. 4.1. Метод левых прямоугольников
Геометрическая интерпретация метода левых прямоугольников
представлена на рис. 4.1, который показывает, что точное значение
интеграла (площадь криволинейной области под графиком
(
)
xf
)
a
b
x
(
)
xf
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
69
заменяется на сумму площадей прямоугольников, построенных под
кусочно-постоянной интерполирующей функцией.
Аналогично может быть получена формула правых
прямоугольников.
Здесь
(
)
(
)
[
]
iii
xxxxfxf ,,
1−
∈
=
.
В результате получим:
( ) ( )
∑
∫
=
=
n
i
i
b
a
xfhdxxf
1
.
Рис. 4.2. Метод правых прямоугольников
Оценим погрешность формулы левых прямоугольников:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
∫∫
∑∑
∫
∑
∫
−−
−
−−
==
−
=
−
−=−=
=
−=−=Ψ
i
i
i
i
i
i
x
x
ii
x
x
i
n
i
i
n
i
i
x
x
n
i
i
b
a
n
dxxfxfxhfdxxf
xhfdxxfxfhdxxf
11
1
11
11
1
1
1
ϕ
ϕ
.
Воспользуемся формулой Тейлора:
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
iiiiii
xxxxfxfxf ,,
111 −−−
∈
−
′
+
=
ξ
ξ
.
a
b
x
(
)
xf
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
70
Тогда
( ) ( )( ) ( )
[ ]
( )( ) ( )
i
x
x
ii
x
x
iiiii
f
h
dxxxfdxxfxxfxf
i
i
i
i
ξξξϕ
′
=−
′
=−−
′
+=
∫∫
−−
−−−−
2
2
1111
11
Пусть
[ ]
(
)
xfM
bax
′
=
∈ ,
max , тогда
( ) ( )
ab
Mh
Mnh
h
Mn
h
M
h
f
h
n
i
n
i
in
−===≤
′
=Ψ
∑∑
==
222
1
22
2
1
2
1
2
ξ
,
т.е. формула левых прямоугольников имеет первый по
h
порядок
точности. Аналогичную оценку можно получить для формулы
правых прямоугольников.
Если на каждом отрезке
[
]
ii
xx ,
1−
заменить значение функции f(x)
на ее значение в середине отрезка, т.е.
( )
[ ]
,,,
1
2
1 ii
i
xxxxfxf
−
−
∈
=
получим формулу средних прямоугольников:
( )
∑
∫
=
−
=
n
i
i
b
a
xfhdxxf
1
2
1
.
Если функция
(
)
xf
задана таблично, среднее значение на
локальном отрезке можно вычислить с помощью линейной
интерполяции
2
1
2
1
ii
i
xx
x
+
=
−
−
, и тогда метод средних имеет вид:
( )
∑
∫
=
−
+
=
n
i
ii
b
a
xx
fhdxxf
1
1
2
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.