Руев Г.А. и др. Методы вычислений и их реализация в Excel
Подождите немного. Документ загружается.
101
Результаты можно представить в виде таблицы
k
k
x
1
k
x
2
k
x
3
k
i
k
i
xx −
+1
max
0
0
0
0
–
1
-0.33333
-0.125
-1
1
2
-0.01389
-0.33333
-1.07639
0.319444
3
-0.01157
-0.26302
-1.05787
0.070313
4
-0.00993
-0.26013
-1.04577
0.012105
Ответ содержится в последней строке таблицы.
Задача 5.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-
Зейделя с точностью 0,05:
66
182
339
321
321
321
=−+
=+−
=−+−
xxx
xxx
xxx
Аналогично проверяем условие диагонального преобладания.
Разрешим систему уравнений относительно
i
x
( )
( )
( )
0
6
6
1
21
8
1
33
9
1
0
1
2
1
1
1
3
3
1
1
1
2
32
1
1
=
−−−=
−−−=
+−−=
+++
++
+
i
kkk
kkk
kkk
x
xxx
xxx
xxx
Результаты удобно оформить в таблицу
k
k
x
1
k
x
2
k
x
3
k
i
k
i
xx −
+1
max
0
0
0
0
1
-0.33333
-0.20833
-1.09028
1.090278
2
0.006944
-0.25955
-1.0421
0.340278
3
-0.01481
-0.25896
-1.04563
0.02175
Ответ содержится в последней строке таблицы.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
102
Задача 6.
Для таблично заданной функции:
x
-2 1 1,5 2
f
0,1 -0,2 0,5 1,2
вычислить значение функции в точке z=1,2, используя формулы
линейной интерполяции.
Определяем интервал, которому принадлежит
z
:
[
]
5,1;1
.
Расчетные формулы:
( ) ( )
ii
ii
ii
fxz
xx
ff
zf +−
−
−
=
−
−
1
1
.
Тогда
( )
(
)
( )
08,05,03,0
5,0
7,0
5,05,12,1
15,1
2,05,0
2,1 =+−=+−
−
−
−
=f
.
Ответ: 0,08.
Задача 7.
Для таблично заданной функции:
x
-2 1 1,5 2
f
0,1 -0,2 0,5 1,2
выписать базисные полиномы и вычислить значение полинома
Лагранжа в точке z=1,2; при n=3.
( )
(
)
(
)
(
)
( )( )( )
(
)
(
)
(
)
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
096,0
5,121222
5,12,112,122,1
585,0
25,115,125,1
22,112,122,1
512,0
215,1121
22,15,12,122,1
00114,0
225,1212
22,15,12,112,1
231303
210
3
321202
310
2
312101
320
1
302010
321
0
−=
−−+
−−+
=
−−−
−−−
=
=
−−+
−−+
=
−−−
−−−
=
=
−−+
−−+
=
−−−
−−−
=
−=
−−−−−−
−−−
=
−−−
−−−
=
xxxxxx
xzxzxz
zl
xxxxxx
xzxzxz
zl
xxxxxx
xzxzxz
zl
xxxxxx
xzxzxz
zl
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0748,02,1*096,05,0*585,02,0*512,01,0*00114,0
332211003
=−+−−=
=+++= zlfzlfzlfzlfzL
Ответ: 0,0748.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
103
Примеры решения задач на интегрирование можно найти выше.
РЕКОМЕНДАЦИИ.
В билетах задание может быть в виде:
Вычислить интеграл методом трапеций функции, заданной
таблично:
x
-1 -0,5 0 1
f
2 3 4 4,5
В данном задании переменная
x
меняется с постоянным шагом
0,5. При использовании формулы трапеций решение ищется в виде:
(
)
(
)
( )
125,543
2
5,42
5,0
2
1
1
0
=
++
+
=
+
+
=
∑
−
=
n
i
i
n
xf
xfxf
hI
.
В случае же, если шаг не постоянный, например:
x
-1 -0,6 0 0,8
f
2 3 4 4,5
необходимо пользоваться общей формулой трапеций:
(
)
(
)
( )
∑
=
−
−
−
+
=
n
i
ii
ii
xx
xfxf
I
1
1
1
2
Т.е. в данном случае решение ищется как
( )( ) ( )( ) ( )
5,608,0
2
45,4
6,00
2
34
16,0
2
23
=−
+
+−−
+
+−−−
+
=I
Аналогично для формул левых и правых прямоугольников:
( )( ) ( )( )
∑∑
=
−
=
−−
−=−=
n
i
iiiправ
n
i
iiiлев
xxxfIxxxfI
1
1
1
11
,
.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
104
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...........................................................................3
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ...................................5
Постановка задачи.............................................................5
Приближенные (итерационные) методы решения НАУ11
Метод деления отрезка пополам (дихотомии)...........11
Метод простой итерации.............................................12
Метод релаксации .......................................................14
Метод Ньютона (касательных)...................................17
Метод хорд ..................................................................20
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ .................................24
Постановка задачи...........................................................24
Прямые методы решения СЛАУ ....................................25
Метод Крамера............................................................25
Метод обратной матрицы ...........................................27
Метод Гаусса...............................................................29
Метод прогонки...............................................................33
Итерационные методы решения линейных алгебраических
систем ..............................................................................35
Метод простой итерации.............................................35
Метод Якоби................................................................36
Метод Гаусса-Зейделя.................................................41
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ......................................44
Постановка задачи интерполяции ..................................44
Локальная интерполяция ............................................45
Кусочно-постоянная интерполяция............................45
Кусочно-линейная интерполяция...............................46
Кубический интерполяционный сплайн.....................49
Глобальная интерполяция...............................................54
Полином Лагранжа......................................................55
Подбор эмпирических формул ...................................59
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
105
Метод наименьших квадратов....................................60
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ .................................67
Постановка задачи.......................................................67
Формулы прямоугольников........................................68
Формула трапеций.......................................................72
Формула Симпсона .....................................................73
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ..........................77
Постановка задачи...........................................................77
Приближенные методы решения задачи Коши для ОДУ
первого порядка ..............................................................78
Метод Эйлера..................................................................79
Модифицированный метод Эйлера................................81
Методы Рунге-Кутты ......................................................81
Численные методы решения систем ОДУ первого порядка 84
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ ДЛЯ ОДУ...............................................................89
Постановка задачи.......................................................89
Аппроксимация производных.....................................90
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И РЕКОМЕНДАЦИИ К
ЭКЗАМЕНУ ........................................................................97
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.