Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

тоду перебора всех /=1 ,Ь классов с оценкой экстремального значения р

для каждого класса (опять-таки, путем поиска по всем значениям пара-

метров каждого класса), т. е. выбор вида модели (проверка

гипотезы о виде модели, распознавание) и перебор параметров в опре-

деленном смысле осуществляются одновременно. При этом, если р*>0,

то результат поиска минимума по параметрам используется лишь для

того, чтобы отвергнуть гипотезу о принадлежности объекта к данному

классу, что, конечно, крайне неэкономно, если учесть сложность проце-

дуры поиска экстремума. Весьма заманчивым представляется путь

(если он возможен), при котором вначале выбирают вид модели без

вариации параметров, а лишь после этого — варьируют параметры. По-

следняя операция в этом случае производится лишь один раз, в отли-

чие от Ь раз, как это требовалось в предыдущем случае. Такая возмож-

ность открывается при иерархическом способе организации тезауруса.

Этот метод, пользуясь терминологией математической статистики, мож-

но было бы назвать непараметрическим методом проверки гипотез.

Пусть, в отличие от (3.2), тезаурус имеет вид многоуровневого

классификационного дерева (2.10)

Л*

= {т:/я = /,(.*, а.),

= (1(1) а.бА}, (3.41)

г. е. его можно рассматривать как множество всевозможных траекторий

вида (1(1), ..., ^(ц)), выделенных на этом дереве, состоящих из р, шагов

плюс последний шаг, связанный с выбором значений параметров, в ре-

зультате чего модель определяется полностью.

Как и в предыдущем случае, задача измерения формулируется как

задача нахождения «истинной» модели предъявленного объекта х, ко-

торая теперь считается принадлежащей тезаурусу М, заданному в виде

(3.41).

Найдем, используя метод «синтеза по определению», оператор

позволяющий определить значения признаков без перебора значений

параметров.

Аналогично (3.5), можем записать

V* = Г7з/и (к) е {!,«*}, а

/н

еЛ,:7(х) = !,

я (1) /иЧ

,, (•*. (3-42)

Введем обозначения

Ш]Д(М1),-. /и(А-1), }(к), /н(Л+П,.... /и И); (3.43)

' 1

][к]

(х, аЛйТ[х\](к)]. (3.44)

(где | — математический знак «при условии»), с помощью которых вы-

деляется класс траекторий (3.43) (и соответствующих моделей (3.44))

таких, что значения признаков на всех уровнях иерархии, кроме к-то,

совпадают с соответствующими значениями «идеальной» модели, а на

к-м уровне они остаются свободными. Очевидно,

А.М = (Ы1)...., /

Н) = к

\) = 1[х IЫР-)] = / (-*)•

80 '•• ' '

С учетом этих обозначений и независимости признаков выражение

(3.9) яримет вид

шш_ р {/ (х), [[х

/ (6)]} =

{/ (х), / [х

/и (к))} =

О,

уЛ = (3.45)

I (к) <= {\,п

}

Последнее выражение, означающее, что эмпирическая функция р(х)

проверяется на наличие одного из пи дискретных значений (свойств)

признака ](к) для всех к = 1, р,, можно записать в виде

(3.46)

что позволяет трактовать его как алгоритм проверки гипотезы о нали-

чии данного значения признака.

Рис. 3.5. Схема проверки гипотез о типе

модели процесса.

Пользуясь терминологией математической статистики, будем име-

новать случай одновременного определения всех составляющих /(1),...

...,

(/л) вектора

— проверкой сложной гипотезы против сложной аль-

тернативы; при фиксированном к, чему соответствуют (3.45), (3.46),—

проверкой простой гипотезы против сложной альтернативы; наконец,

при фиксированном к и пи=2 — проверкой простой гипотезы против

простой альтернативы. В последнем случае алгоритм (3.46) приобрета-

ет особенно простой вид, поскольку, пользуясь принятой нами в гл. 2

двоичной системой, можем обозначить возможные состояния и соответ-

ствующие им гипотезы

О* гипотеза #„й

1 к

гипотеза-#1й,

в результате чего (3.46) можно записать в виде

= 0 =>Я,А

>0 =>Яи

Г=0 ^Нгк

либо

Р(ГМ, /ицлц ^

(3.47)

(3.48)

Руководствуясь методическими соображениями, введем положитель-

ную достаточно малую пороговую константу вци), такую, чтобы в случа-

6-96 81

ях (3.47) и (3.48) соответствующие алгоритмы приняли вид

?[Т(х), !(х(3.49)

[7(х), г^и*)]^"*^

50)

Таким образом, принятие гипотезы Я

ь, например, в (3.49) означает,

что Р(х) и /(л;|0й) совпадают (в смысле критерия р) с точностью до

€о к-

Правилу (3.49) соответствует схема, представленная на рис. 3.5.

Эмпирическая функция /(х), полученная путем обработки исследуемого

процесса х{1), а также аналогичная эмпирическая функция /"(х|0&), но

полученная в предположении, что справедлива гипотеза Нои, сравнива-

ются в блоке, реализующем алгоритм вычисления принятого функцио-

нала р. Значение р, в свою очередь, сравнивается со значением е

В результате вырабатывается решение, соответствующее (3.49). Схема,

соответствующая правилу (3.50), с учетом очевидных изменений, имеет

аналогичную структуру. Рассмотренному случаю проверки простой ги-

потезы против простой альтернативы соответствует двоичное классифи-

кационное дерево и поиск методом дихотомий, обеспечивающий высо-

кую эффективность.

При наличии сложной гипотезы решение принимается методом

перебора, т. е. последовательным применением дихотомий. Если множе-

ство возможных значений определяющего признака образует континуум,

то решение принимается путем перебора этих значений; практически при

этом необходима дискретизация. В силу независимости признаков про-

верка гипотез производится либо поочередно (последовательно) для

всех значений ](к) и к, либо одновременно (параллельно) для всех

значений ]'(к) при данном к, либо, наконец, одновременно для всех

}(к) и к.

Перейдем к рассмотрению примеров, следуя классификации, предложенной

в § 2.2.

(Яоо-^ЯсО

*>.

Гипотеза скалярности модели процесса состоит в проверке незави-

симости данного скалярного процесса от другого (возможно, векторного) процесса.

Согласно (2.23) и (2.75), можно записать

[ ^

Бдо —у Р1до

Р \Р к (*. *)> Р

, (

- *)Рк (

- *)] (3.51)

2, 7 Н

1 = 1 1 = 1

1Ф1

чему соответствует схема, изображенная на рис. 3.6.

Аналогично, используя (2.76), можно проверить гипотезу о полной сепарабельно-

сти взаимной модели.

(#м1-5-#м«). Гипотеза структурности скалярной модели процесса.

а. Случай простой гипотезы

*> Запись обозначает, что гипотеза #оо проверяется против альтернативы Н

аь

Предположим, что модели порождающих процессов и оператора взаимодействия

ивлностью известны. Тогда, в соответствии с (2.60) и (2.25), проверка гипотезы про-

изводится по правилу

П п I

001

Гф

/7оо1.

(3.52)

б. Случай сложной гипотезы

Модели порождающих процессов и оператора взаимодействия заданы с точно-

стью до неизвестных значений их параметров. В этом случае правило имеет вид

тт

{^(Х, I), р~ [V (а, с), Щ ^ <

6001

(3.53)

а, с п п I ^ е

001

=5>

пооо,

где У(а, с) =А (с)х(^, а).

—:»•

хр«:(х, Ъ)

—

ЕоО

'Яро

Л01

Рис. 3.6. Схема проверки гипотезы скалярности модели процесса.

Схема, соответствующая правилам (3.52) и (3.53), показана на рис. 3.7, причем

первому соответствует разомкнутое, а второму — замкнутое положение ключа П. Зна-

чения параметров а и с, обеспечивающие экстремум в (3.34), в случае принятия ги-

потезы используются для уточнения модели.

Рис. 3.7. Схема проверки гипотезы структурности скалярной модели процесса.

(Ноаоо+Нооы). Гипотеза полноты формальной скалярной модели процесса (или

гипотеза я-полноты) проверяется аналогично |(3.32), только по отношению к порядку л

функции распределения данного процесса. Согласно (2.25) и (2.55) имеем

шах р [р~ (X, *), р

(X, 1) р„ (X, *) / <

)

<е(°-

) " \

33®0000

=Ф#0001,

где распределение р

(-) (п>п) играет роль «действительной» модели. Это правило гра-

фически представлено на рис. 3.8.

Последовательно используя рп(-) в виде (2.38), (2.39) и т. д., можно установить

полную («с точностью до е») модель. Пользуясь этим методом, можно также измерять

6* 83

«интервал независимости» [102], исследовать так называемую «информационную функ-

цию» [103], о чем более подробно будет оказано ниже.

(#ооооо-5-#оооо1). Гипотеза стационарности полной формальной скалярной модели

процесса (гипотеза стационарности в узком смысле) на основании (2.52) и (2.53) мо-

жет быть проверена по правилу

шахр [рп(Х, *), р

(X,

+ т)]|

У •

(3.55)

00000

ЯооООО

: е

00000 ^ Яоо001,

которое можно представить схемой рис. 3.9. Что касается гипотезы от-стационарности,

то процедура ее проверки состоит в использовании алгоритма (3.55) при последова-

Р„(х,Ъ)

ч:

Рй-п(

>У

1 ,

•

ёцроо

Рис. 3.8. Схема проверки гипотезы полноты формальной скалярной модели процесса.

тельном увеличении мерности п плотности вероятностей, начиная с 1 и т. д. до тех

пор, пока при некотором т+1 не будет отмечено превышение порога. Тогда предыду-

щее значение т. определяет порядок стационарности процесса.

(00010-^00011). Гипотеза стационарности неполной формальной скалярной моде-

ли процесса. Правило проверки гипотезы определяется выражениями (2.58) и (2.59)

и имеет вид

•Я.

шах

р {Р1

[р

(X, 4)],

[р

(X, I + т)]> { <

°°

010

00010 "

00011

(3.56)

чему соответствует схема, приведенная на рис. 3.9, с тем отличием, что сравниваются

между собой характеристики Р{(-), а не р

(-). Подобное правило, связанное с про-

веркой гипотезы стационарности процесса по отношению к корреляционной функции,

описано в [104].

хЩ*-

Рп(х,

р ' 35» р ' 35»

х(1+г') х(1+г')

г!ооооо

- ИООО01

Еооооо

Рис. 3.9. Схема проверки гипотезы стационарности полной формальной скалярной моде-

ли процесса.

Гипотезы о векторных моделях процессов проверяются по правилам, сходным

с описанными, с соответствующим увеличением мерности используемых плотностей ве-

роятностей. Так, правила проверки гипотез «/-полноты» и «6-полноты» моделей ана-

логичны (3.51) и (3.54), ввиду чего мы их не рассматриваем. Рассмотрим правила,

связанные с проверкой некоторых дополнительных гипотез о моделях, указанных

в § 2.2.

Гипотеза детерминированности скалярной модели процесса. Обозначив Я'

гипо-

тезу детерминированности и Н\ — альтернативу, в соответствии с (2.42), (2.41) и

(2.57) получим

шах

р [Л!

{*•(<•)},

АГ*

{*('*)}( 5 С

)

Здесь р(-) представляет собой результат сравнения числовых характеристик —

моментов одномерного распределения процесса, например,

р'[М{х

^*)}, М

{х(1*)}\—М{х

(1*)}—М

{х(^*)} Д О, (3.58)

где й — дисперсия.

Рис. 3.10. Схема проверки гипотезы детерминированности скалярной модели процесса.

С учетом (3.58), схема, соответствующая правилу (3.57), имеет вид, показанный

на рис. 3.10.

Гипотеза периодичности скалярной модели детерминированного процесса. Пусть

Н"о — гипотеза периодичности, Н'\ — альтернатива. Основываясь на (2.45) и выбирая

в качестве критерия сравнения р квадратичный функционал, получим

Г 00

тт

ч>/

СЦ

51П -[- у,•) си

"„=>Я"„

(3.59)

О /=1

Отсюда видно, что одновременно с проверкой гипотезы система производит раз-

ложение з(1) в гармонический ряд с измерением параметров а,-, //, ср, гармоник.

Структурная схема системы, реализующей (3.59), представлена на рис. 3.11.

А; зъп(ш1+Ш

1-0

А,

(У, Ц):

\ \

еЯ

-Н"

Рис. 3.11. Схема проверки гипотезы периодичности скалярной модели детерминирован-

ного процесса.

Аналогичным образом можно построить правила проверки гипотез и для других

признаков, не включенных в классификацию § 2.2, и получить соответствующие струк-

турные схемы идеальных схем. Например, проверка гипотезы эргодичности процесса

по отношению к некоторой его вероятностной характеристике М{/\х(и), ..., х(1

)}}

(2.56) состоит в сравнении с ней аналогичной характеристики, полученной путем усред-

нения по времени одной реализации

< I [* ((г) х (*„,)] > Д Нт 4- И [* С» + 0 ^ (1

, + 0] Л. (3.60)

— Г-»оо О

так что правило принимает вид

р{Л4{/[х(*0,..., *(*„,)]}. </[*(Л),..., *(*„,)]>} | (

о П 1,

где Н'"

—гипотеза эргодичности, Н"\ — альтернатива.

Теперь целесообразно обсудить понятие «измерительная ин-

формация», определяемое в [1] как «информация о значениях изме-

ряемых физических величин». Необходимо, во-первых, связать это опре-

деление с результатом комплексного измерения и, во-вторых, определить

количество измерительной информации. Для этого необходимо задать

тезаурус с учетом априорного распределения его элементов — моделей.

При организации тезауруса «списком» измерительная информация

заключена в результате измерения (3.4), т. е. представляет собой ука-

зания о классе г модели (виде функции $г(х, •)) и значениях а^ пара-

метров этой модели. Среднее количество информации /, получаемое

в результате измерения, находят при задании тезауруса в форме

М={т: т=1г{х, а»}), Р(к а»)}

с учетом известного выражения для энтропии Я зависимых величин

[38] в виде

/ = Я = Я(г) +Н(йг), (3.62)

где

Я(0 = -2 Р(01о

Р(0 (3.63)

1 = 1

— энтропия, связанная со значениями признаков класса моделей;

Я(а/) = — 2

(

) | р (а,) р (а,) Ли (3.64)

— условная энтропия значений параметров а^ для данного класса г.

Таким образом, для идеальной системы при комплексном измере-

нии вся априорная неопределенность в результате измерения полностью

снимается и количество получаемой информации равно первоначальной

энтропии, т .е. имевшейся ранее неопределенности.

Допустим теперь, что тезаурус задан в форме

М={т:т = }

{

(х, а.),

= (/(1>,..., г»),

, Р(\, а.)},

где Р (I, а.) = Р(/(1),..., г'([х))р(а.), причем признаки в общем случае

могут быть зависимыми. Тогда вместо (3.62) получим

= Я = Я(1) + Я( а.), (3.65)

где, в отличие от (3.63),

Я(1)=Я;[ф)]+Я[г(2)|;(1)]+ ...

...+Я[1(|г)|Ф) (3.66)

а Я(а

) имеет тот же смысл, что и в (3.64).

Слагаемое #[1(1)] в правой части выражения (3.66) представляет

собой количество информации, получаемой после эксперимента, связан-

ного с выявлением значения 1-го признака (на 1-м шаге). Остальные

слагаемые (3.66) вместе с Я (а.) в (3.65) составляют оставшуюся после

этого шага неопределенность (энтропию). Второе слагаемое Н[1(2)/1(1)]

в (3.66) есть количество информации, получаемой на 2-м шаге и т. д.

Вообще, после й-го шага количество полученной информации

л=2 дл. (3-67)

1=1

где Д/г=Я|7(/) |&(1), ..., 1(1—1)] — количество информации, получаемой

на 1-й шаге, а оставшаяся энтропия

= 2 + (3-68)

/=6+1

так что

-\-н

=^=н=соп$^, у/г. (3.69)

Согласно известным положениям теории информации [38] при дан-

ном р, наибольшее количество информации (3.65), получаемой при ком-

плексном измерении, имеет место при независимости признаков, т. е.

когда

^(«(1) »») = П

6=1

При этом

д/,= Я

[*•(]&)]

И Я (0=2

А/

1=1

Далее, при заданных пи количество информации максимально при рав-

номерных распределениях значений каждого признака Р(1{к)) = \1пи,

причем в этом случае Д/г=1ппь. В частности, при двоичной структуре

классифицированного дерева получим Д/г=1бит и Я(1)=|Лбит, т. е. каж-

дый шаг приводит к получению одной двоичной единицы информации.

Таким образом, смысл измерительной информации заключен в ма-

тематических определениях, с помощью которых выделяется класс моде-

ли, и в определениях параметров этой модели, а количество информа-

ции, получаемой в результате идеального комплексного измерения,

дается выражениями (3.62) и (3.65).

3.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Системы для комплексных измерений, рассмотренные в предыду-

щем параграфе, представляют в основном принципиальный, методоло-

гический интерес как гипотетические системы, иллюстрирующие пре-

дельные возможности измерительного эксперимента. Вряд ли следует

стремиться к воплощению таких систем в виде реальных технических

устройств, поскольку их универсальность покупается ценой чрезмерной

сложности. Практически результаты комплексных измерений (к полу-

чению которых во всех случаях следует стремиться) являются суммой

(композицией) результатов ряда элементарных измерений, каждое из

которых проводится с помощью специализированных ИС, предназначен-

ных для измерения отдельных характеристик исследуемого объекта,

определенных на основе имеющегося тезауруса. При этом весьма важно

соотнести результаты элементарных измерений с результатами ком-

плексного измерения, т. е. выяснить, в какой мере совокупность резуль-

татов элементарных измерений позволяет судить о полной модели иссле-

дуемого объекта и о том, с какой степенью достоверности можно при-

нять гипотезу об этой модели, зная степень достоверности результатов

элементарных измерений. Ситуация принципиально не меняется, если

экспериментатор располагает априорными данными об исследуемом

объекте, ввиду чего перед ним возникает задача получения не всех,

а лишь недостающих данных. Действительно, в этом случае априорные

данные (априорная модель) вместе с данными измерительного экспери-

мента дают апостериорную модель, которая используется в качестве

априорной при дальнейшем исследовании объекта.

С другой стороны,, для достижения определенных целей, например,

в задачах управления, нередко необходимо знать не все характеристики

объекта в пределах имеющегося тезауруса, а лишь некоторые, сущест-

венные (достаточные) для достижения поставленной цели. Такие харак-

теристики *) можно получить в результате соответствующих элементар-

ных измерений. Таким образом, ИС, предназначенные для элементар-

ных измерений, являются наиболее характерным классом в измеритель-

ной практике.

В этом параграфе рассматриваются элементарные измерения. Все

предположения предыдущего параграфа, связанные с идеальностью си-

стемы, остаются в силе. В случае элементарных измерений ИС по-преж-

нему описывается выражением (3.1). Существенное отличие, однако,

заключается в том, что поскольку элементарные измерения по опреде-

лению (§ 1.4) являются либо частными случаями, либо составными ча-

стями комплексных, постольку входной процесс ИС не обязательно

отождествляется с исследуемым объектом, а выходной (результат изме-

рения) — не представляет собой полную модель последнего. Именно

в зависимости от. особенностей входного и выходного процессов строится

классификация ИС по основному назначению или, что то же, классифи-

кация видов измерений, показанная на рис. 3.12. Цифрами 1 ... 3

обозначены возможные типы входных процессов х\ цифрами Г ... 6'—

В математической статистике они называются «достаточными статистиками».

типы выходных (результатов измерений) у; сплошными стрелками —

отображения х—>у, осуществляемые с помощью ИС; пунктирными (от у

к х) — случаи, характеризуемые тем, что выходной процесс данной ИС

можно использовать в качестве входного процесса другой ИС при по-

следующей обработке; жирной стрелкой — отображение х—»-(/, а;), со-

ответствующее комплексному измерению.

Рассмотрим типы входных процессов х.

Тип 1 представляет собой, как и в случае комплексных измерений,

исследуемый процесс или «пару вход-выход» (систему) и отождествля-

ется с исследуемым объектом. Классификация процессов этого типа

рассматривалась нами в гл. 2.

Тип 2 объединяет различного рода характеристики /»(*) процес-

са х, представляющие собой функции некоторого аргумента (плотность

вероятности, корреляционная функция процесса, амплитудно-частотная,

вольт-амперная характеристики системы), которые в форме электриче-

ского сигнала подаются на вход ИС для последующей обработки.

Тип 3 включает в себя функции, являющиеся, в отличие от харак-

теристик типа 2, не характеристиками исследуемого объекта, а процес-

сами Аг (х) на выходе тех или иных измерительных преобразо-

вателей [1], предшествующих данной ИС в необходимой цепи измери-

тельных преобразований, например, первичные и промежуточные преоб-

разователи (см. рис. 1.4), каналы связи (см. рис. 1.5), отдельные субси-

стемы ИС. Таким образом, процессы типов 2 и 3 являются результата-

ми определенных преобразований процесса типа 1.

Перейдем теперь к рассмотрению типов результатов измерений у.

Тип V — представляет собой последовательность всех решений,

однозначно определяющих вид модели входного процесса и значения

параметров, определяемых этой моделью

У= 0, а

]

) = (/(1), ..., /М, ар (3.70)

в рамках используемого тезауруса. Если на входе ИС действует про-

цесс типа 1, то 0, ар есть результат комплексного измерения, рассмо-

тренного в предыдущем параграфе; если же — процесс типа 2 и 3, то

(.), а.) —последовательность решений и параметры соответствующего

преобразования исследуемого процесса (например, принятие решения

о нормальности одномерного распределения с последующим измерени-

ем параметров этого распределения).

Тип 2' — решения (совокупности решений)

у=\, (3.71)

представляющие собой отдельные признаки, характеризующие модель

входного процесса (например, решение о стационарности процесса, ли-

нейности системы, нормальности одномерного распределения).

Тип 3' — значения всех или некоторых параметров

У=а

(3-72)

соответствующих выбранной на основе априорных данных модели вход-

ного процесса (например, амплитуды и частоты гармонического сигнала,

параметров корреляционной функции).

Тип 4' — значения функционалов

у=?Л!г), (3-73)