Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

значение функционала протяженности равно, как легко убедиться,

ДХр —

— а, ур,

что оправдывает введение множителя К 3 в (3.140);

в) для функции (3.107)

(3.141)

Дх*

3 ^ (х — х,„)21а! [(х/Ь) — с]р ах

—оо

5 |а! {(х/Ь) — с]р ах

- УТььхр,

(3.142)

т. е. значение функционала протяженности Ах*

зависит только от значения коэффи-

циента Ь масштабно-временного преобразования.

Один из возможных вариантов структурной схемы, реализующей (3./140), приведен

на рис. 3.24 (ср. с рис. 3.19).

3 Метод нормированных функционалов. Определим функционал протяженности

в виде

дхш, = (х)|ы« = | | \и(*)Мх |

1/в

| =

[ (х)\°ах

1/0

Ох

1/и

где и, — целые числа; п — некоторая константа, выбираемая из условия [Дх„

]

=[х]; откуда следует уравнение для размерностей

тч*]

1/р

[*]

1/в

или п==иа/'(и—о).

Окончательно [114]

Д Хво =

]\п*)\

:»ах

1/о ир

ы—р

и—оо

1 /и

(3.143)

Рассмотрим некоторые свойства определения (3.143).

а. Очевидно, что всегда Дх

иг

^О.

б. Легко убедиться, что показатель степени можно записать в виде, симметрич-

ном относительно и к V, т. е.

п=м/\и—о |,

так что

Аx

иV

= Аx

Vи

. (3.144)

в. Замени* в (3.143) функцию /°(х) функцией (см. ЗЛ07)

Ф(х)=а/[(х/6)-с].

Тогда

Дж*„,(«р)=&Дх»»(/). (3.145 )>

110

Итак, усиление (ослабление) а и сдвиг с не влияют на значение Ах

ик

, а масштаб-

но-временное преобразование в Ь раз приводит к такому же изменению протяженно-

сти. ^Напомним, что аналогичное свойство было нами установлено для функционала

протяженности, определнного методом мометов (3.142).)

г. Рассчитаем значение Дх

® для функции /(х), имеющей вид прямоугольного

импульса. Тогда (ср. с (З.'Ш))

Хио

= |

- ь 1/о

Г А"йх

~ Ь

1/я

_а

Я—V

—а, у и,

(3.146)

д. Основываясь на известных свойствах определенного интеграла, заметим, что

если площадь, ограниченную функцией /(х) и осью абсцисс, разделить вертикальными

линиями- на отдельные части, то значение функционала протяженности суммы этих ча-

стей будет равно значению функционала протяженности функции р(х) при произволь-

ном расположении этих частей по оси х и даже при изменении у некоторых из них на-

правления оси аргумента. Важно лишь, чтобы не происходило наложения отдельных

частей друг на друга. (Легко видеть, что для метода моментов аналогичное утверж-

дение несправедливо.)

е. Рассмотрим некоторые частные виды определения (3.1143), получающиеся при

конкретизации значений и и о [114]. Путем предельного перехода V—уи или и=у+6,

где 6—>-0, обозначив

Я,

—со

со

= - 5 |/(х)|»1п |/(*)|Мх,

(3.147)

легко получить

Дхто = Е

ехр =| ^ /

йх | ехр |

| р>1пр>йх

-оо

:ехр

ЦО

1п р>

йх = ехр (Яоо).

(3.148)

Например, при

= 1

\!(х)\Ы\!(х)\йх

ехр

} 1/(*)1

йх

(3.149)

111

при V = 2

Дх

= ^ 1

(х) йх

ехр

]> (х) (х)

йх

(х)

йх

и т. д.

В другом крайнем случае, при и—>-оо, учитывая, что

Птп = Пт (

, ^

оо и-»со Ч"

= V,

также формулу (3.115), получим

йх

оо— (шах|/(х)|)"

(3.150)

В силу свойства |(3.'144), случай V—>-оо приводит к аналогичному результату.

В табл. 3.8 приведены некоторые определения, получающиеся при различных значениях

и и V (с учетом обозначений (3.147)).

ж. Исследование зависимости Дх„

от значений и и о показывает [114], что

ДХит> есть невозрастающая функция и и у.

Таблица 3.8

Ах„„ при и, равном

//1/я

ЕЧ/Е

УЕ\1Е

у/ Ен1Еь

ЕЧ/Ег

Е&'

Ди/Ег

ЕЧ/ЕЧ

Еч/Е*

УЕ\:Ег

Еч/Е*

°1

Е*

/Е*.

УЕЧ/Е

ЕЧ/Еь

Еи/Е* 4

5,/Л

В качестве примеров в табл. 3.9 приведены общие формулы для Дх

» в случае

импульсов, представляющих собой нормальное, релеевское и экспоненциальное рас-

пределения, а в табл. 3.10 — результаты расчетов по этим формулам для нескольких

конкретных значений и и с.

Аппаратурное измерение функционала протяженности основывается на реали-

зации алгоритма (3.143) и не имеет особенностей по сравнению с рассмотренным ранее

методом получения нормированных функций (рис. 3.17).

112

Таблица 3.9

Распределение

Формула для АЛ:

Нормальное

Дх

= У2г. —

2 (и-о)

з.

2 (и—о)

дх^ = Кг®-

Релеевское

Дх

и0

= у=-

о(Ц+1)

2 (и—V)

ц+ 1

Ц(р+П

2(И—V)

Дх

ТО0

=Г(^-]2

, , . г>—1 » + 1 о

2 Г

а е г,

Экспоненциальное

Д Х

— А,

= Дх

соо

= — А

Примечание. Г(*)— гамма-функция.

Отметим лишь одно частное обстоятельство. Так как анализируемые функции

могут не принадлежать к классу финитных, а интегралы практически берутся в ко-

нечных пределах, то для уменьшения по-

грешности важно, чтобы при измерении

функционала диапазон анализируемых

значений х был достаточно широким

и совпадал с интервалом наибольших

значений функции }(х). Контроль за вы-

полнением этого последнего требования

можно осуществить без визуального на-

блюдения исследуемой кривой. Покажем,

что при заданной протяженности анали-

зируемого участка максимальное показа-

ние вольтметра среднего значения будет

иметь место, когда ось симметрии кривой

(х) = |" расположена в середине

этого участка, т. е. ограничение краев кривой, имеющее место при данной протяжен-

ности Ь анализируемого участка, симметрично (рис. 3.25). Имеем

Рис. 3.25. К выбору положения интервала

анализа (симметричный импульс).

п 0 п т п

= !*<*>*= 1+Н+1

—т ООО

8—96

113-

Таблица ЗЛО

Распределение

Значения при и, равном

Распределение

Нормальное 1 4,15 3,54 3,27

3,19

(в долях я)

3,54 2,95 2,65

2,50

(в долях я)

3 3,27 2,65 2,39

2,22

3,19

2,50

2,22 2,08

Релеевское

2,56

2,26

2,12 2,09

(в долях г) 2

2,26

1,91 1,76

1,66

(в долях г)

2,12

1,76

1,60 1,51

4 2,09 1,66

1,51

1,40

Экспоненциальное

1 2,71 2,0 1,72

1,59

(в долях А)

2 2,0

1,35

1,12 1,0

(в долях А)

1,72 1,12

0,90

0,79

4 1,59

1,0

0,79

0,67

т I.—т

ч+г

о о

Значение т (при данном Ь), обеспечивающее выполнение условия

— $тах, на-

ходится из уравнения

йз йг

(от)

йг (Ь — т)

йт

йт йт

= 0,

где г (от) = | у (х) йх..

Отсюда следует, что г(т) =г(Ь—т). Это равенство удовлетворяется только при

т=Ь/2=п, что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь способ определения оптимального положения анализируемого

участка длиной Ь на оси абсцисс для более широкого класса функций <р(х), а именно:

несимметричных функций, монотонно убывающих по обе стороны от единственного

максимума !(рис. 3.26). Задача состоит в нахождении значения

пг

-•=

аг§ тт

00 т+Ь \ т + Ь

^у(х)йх— 1|

<р

(х) йх 1 = аг|2 тт ^ у(х)йх. (3.151)

Решим задачу, прибегнув к следующему графическому построению. Через вер-

шину кривой проведем линию (на рис. 3.26—штрих-пунктир), представляющую собой

геометрическое место точек, равноудаленных от точек с теми же значениями ординат,

расположенных на обеих ветвях кривой ф(х) (например, отрезок т'О' равен отрезку

О'п'). Далее, со сдвигом на ±1/2 от штрихпунктирной кривой построим две аналогич-

ные кривые, показанные на рис. 3.26 пунктирными линиями.

Легко видеть, что приняв штрихпунктирную линию за новую (криволинейную)

ось ординат, мы придадим кривой ф(х) симметричный вид и тем самым сведем рас-

сматриваемую задачу к предыдущей. Поэтому точки т' и п' пересечения пунктирных

линий с кривой ф(х) имеют одинаковые ординаты. Проекция от* точки т' на ось

абсцисс и определяет искомое оптимальное положение анализируемого участка. Дей-

114

ствительно, при сдвиге положения ана-

лизируемого участка влево на величину

АЬ имеем

ш*—А1+Ь

| <?(х)йх< | ч>(х)йх,

т*—М- т*

поскольку

т п

| у(х)4х< | ч>(х)ах,

т—Ы

п—М

т. е. площадь, заштрихованная на рис.

3.26 горизонтальными линиями, меньше,

чем площадь, заштрихованная верти-

кальными линиями. Аналогичное утвер-

ждение справедливо и при сдвиге поло-

Рис. 3.26. К выбору положения интервала

анализа (несимметричный импульс).

жения анализируемого участка вправо. Полученный результат можно использовать

в различных задачах в зависимости от физического смысла функции ср(х).

Пусть, например, <р(х)&р(х), т. е. ф(х)—плотность вероятности. Тогда интервал

Ь можно интерпретировать как доверительный интервал, соответствующий заданной

доверительной вероятности. Положение этого интервала на оси х определяется одно-

значно лишь в том случае, если соответствующая ему вероятность максимальна, что

и приводит к необходимости решения данной задачи.

Другим примером служит типовая задача, возникающая при конструирований

анализаторов, предназначенных для разложения функций /(х)еЬ

в ряд Фурье по си-

стеме ортогональных полиномов

1 = 1

где а, — коэффициенты ряда. Пусть по техническим соображениям число смежных

каналов анализатора не превышает Ь. Необходимо выбрать положение т* интервала

анализа Ь на шкале 1=1, 2,..., так, чтобы все функции, входящие в заданный класс

{/(х)}, в среднем восстанавливались по результатам анализа (т. е. по конечному

числу Ь коэффициентов а

,+1,..., а

«+ь) наилучшим '(в смысле среднеквадра-

тического критерия приближения) образом.

Предположим, что класс {/(*)} анализируемых функций задается априорной

вероятностью значений коэффициентов

Р [/(*)] Д Р(аи Да. •••)•

Тогда задача состоит в нахождении числа т*, такого что

(х) йх ^ =

т* = агд;т1п М

те{1.2

{

оо Г т+Л

| к*)-Е-

—оо

аГ2 тт Г П

= /1,2, •> -Ч • ,

— I I—00 —00 \ 1 = 1

т+1

- 2

* (*)

1=т /

В силу ортогональности Ф/(х) имеем

а*. ...)

р(а.\, Яг. •••) й&\ййг

• • •

•

11РЫ

1=1

115

т* = агд; т!п

2, .

т+1

2 л

где АД ^ аср(а1)йа1 — дисперсии коэффициентов щ. Последнее выражение является

—00

дискретным аналогом (3.151) и, таким образом, задача сводится к рассмотренной.

В непрерывном случае задачу можно изложить, например, в следующей интер-

претации. Пусть <р(х) ДЩш), т. е. ф(х)—энергетический спектр сигнала. Частотная

характеристика приемника имеет вид

I 1 при т <

со

< т + Ь

О при т + Ь.

|№)|:

Необходимо настроить приемник (т. е. выбрать значение т-

мощность принятого сигнала была наибольшей). Отсюда

/п* таким образом, чтобы

; аг§ тах

^ г (ш) ло.

(ЗЛ'52)

оператор

Пример 3. Заданное преобразование, воспроизведение харак-

теристик, оценка функционалов.

Рассмотрим, в целях дальнейшей иллюстрации метода синтеза ИС по определе-

нию преобразования вида х(()—*-Ах(()—>-[(х)—>-Р (см. рис. 3.12) применительно

к практически важной задаче исследования канала связи. В этом случае А

•—

оператор,

описывающий действие канала, /(х), Р — соответственно характеристика канала и

связанные с ними функционалы. Предположим, что действие канала связи описывается

выражением

П(0=Л|(0,

где КО—входной сигнал, для передачи которого предназначен канал; А

канала связи; г)(0 —выходной сигнал.

Предположим, что § (0 стационарный эргодический случайный процесс, а опера-

тор А представим в виде произведения операторов

А=А

, (3.153)

где Л

, Лк, Л

— операторы модуля-

ции (кодирования), «собственно» ка-

нала (например, среды, кабельной

линии, усилителя, устройств записи и

воспроизведения), детектирования

(приема) соответственно,

канала служит, например, выражение,

№

ФШ

}

2(Ц

Ф1

Рис. 3.27. Модель канала

Достаточно общей моделью «собственно»

при котором принятый сигнал

|1(0.= V (О =2(0Ф ["а| с —ч) Л

+ п (0.

(3.154)

где г(0 — мультипликативная помеха; п(I) — аддитивная помеха; Н(I) — импульсная

реакция канала; а, Ь. с — параметры канала, характеризующие, соответственно, эквива-

лентные значения затухания, частотной дисперсии и задержки сигнала; ф( •) — харак-

теристика нелинейности канала '(рис. 3.27). При очевидных упрощениях эта модель

описывает частные случаи, представляющие во многих приложениях самостоятельный

интерес:

116

— канал с аддитивным шумом

И(0=У(0+Л(0;

(3.155)

— канал с мультипликативным шумом

— канал с апериодическим затуханием и задержкой

—с);

— то же при наличии частотной дисперсии

(3.156)

(3.157)

— канал с линейными искажениями («с памятью»)

(3.158)

ц(/)= /г(т)А(/—х)йх\

— канал с нелинейными искажениями («без памяти»)

(3.159)

— канал с линейными и нелинейными искажениями

(3.160)

(3.161)

Согласно (3.107), считаем, что преобразования (3.157) и |(3.'158) не меняют формы

сигнала. Условимся также считать, что в случае '(ЗЛ'57) искажения сигнала отсутствуют

(что соответствует, например, усилителю с равномерной амплитудно-частотной и ли-

нейной фазочастотной характеристиками).

Как известно [123], при проектировании канала стремятся путем выбора харак-

теристик передаваемого сигнала (оператор Л

) и надлежащей обработки при приеме

(оператор А

) ослабить искажающее действие канала. Будем, однако, предполагать,

что при передаче и приеме используются «обычные» операции модуляции и детектиро-

вания, причем

•как если бы оператор А

был единичным |(и в этом случае искажения принятого сиг-

нала отсутствовали бы, поскольку

Рассмотрим некоторые, представляющие интерес на практике характеристики

}(х) сигналов; |(<), \(1)=Ау,1((), =А

\({) и т](/) =А

\х.(1) в различных участках

канала и методы измерения этих характеристик.

Характеристики сигналов

1. Входной .(модулирующий) сигнал !(<)•

Обычно представляют интерес такие одномерные характеристики сигнала

как плотность вероятностей /^(х) корреляционная функция ^(т) (или энергетиче-

ский спектр И^({о)), а также параметры этих характеристик, полученные путем над-

лежащей аппроксимации [98], и (или) функционалы, связанные с этими характеристи-

ками, а именно: функционалы положения (среднее значение х

^, средняя частота

спектра <о

^) и протяженности, дисперсия Дх^ (интервал корреляции Дт^ или ши-

рина спектра Д»^).

2. Модулированный сигнал \(1) =Л

§(/).

(3.162)

(3.163)

117

Допустим, что модулированный сигнал \({) получен в результате однократно»

модуляции модулируемого сигнала а) (а=(аь ..., а

)) по одному параметру

йг. Тогда сигнал можно представить выражением

\-(*)=Л„[5(*, а)]Е(0=5(;, а

..., а,-ь <р[&(01, «Я+ь • • •, а„), (3.164)

где а((/)=ф[|(0] — закон модуляции, представляющий собой (по предположению)

результат безынерционного преобразования ф(-)> используемого для модуляции па-

раметра а;(ф(-)—модуляционная характеристика).

Поскольку стремятся обеспечить взаимно-однозначное соответствие а{<{() и 5(0>-

то функция ф(-) должна быть монотонной в узком смысле. Очевидно, а<(0 —стацио-

нарный процесс, причем его одномерная плотность вероятностей Ра^х) связана с од-

номерной плотностью вероятностей р^(х) процесса %({) следующим, удобным для

расчетов соотношением

р (х)

_ ^

(Х)

• (3.165)

1В частности, если

Л1 {!•(?)}

=0 и Ф(-) —линейная функция, то

М0=ф[1(0]=я<"+5

|(0, (3.166)

где ао% — начальное значение параметра аг, 5; = сопз1— крутизна модуляционной ха-

рактеристики и

1 { х — ад \

—у (

злб7

т. е. р

а/

(х) и р^ (х) совпадают по форме. Рассматривая р

(х) как обобщенный

им-

пульс (3.112) и определяя функционал положения согласно (3.127), найдем

*оо=аог. (3.168)

Функционал протяженности можно определить любым подходящим способом и»

приведенных в предыдущем примере. Основываясь на свойстве

Дх

[«(т-

= ЬА4Цх)],

справедливость которого для функционалов протяженности была показана ранее (см_

(ЗЛ42), (3.145)), запишем

Аа

{

5гА%,

(3.169)

где Да; и — функционалы протяженности рсц{х) и р^(х) соответственно. Величину

Да,- можно назвать эффективным отклонением (эффективной девиацией, «размахом»)

параметра а*.

Введем нормированный процесс

Ео

(*)=!( ОМЕ, (ЗЛ70)

так что функционал протяженности этого процесса ДЕо

1. Тогда (3.106) с учетом

(3.168) примет вид

а*(1)=ац>+тЬ((), (ЗЛ71>

где величину

т=8

{

А1/аог=Аа{/аог (3.172)

мы назовем коэффициентом модуляции.

Для финитных функций рщ (х) значение Да

- можно определить согласно (3.137)-

Да<=|а,—а

|, (3.173>

где

= вир X = тах (I) (3.174)

118

— отклонение (девиация) закона модуляции

=МХ = т!п а~1 (!) (3.175)

— отклонение (девиация) закона модуляции «вниз»;

а~*(0=«(0—= (3-176)

— переменная составляющая закона модуляции.

В этом случае дополнительно можно определить

=а

/а<ц = 5&в1а<ц (3.177)

— коэффициент модуляции «вверх» и

яг

= а

/аог=.5;!н/ао1 (3.178)

— коэффициент модуляции «вниз» (здесь и — соответственно отклонения «вверх»

и «вниз» модулирующего сигнала 6(0).

Величина

А.= |/>

а/

(х)Лс (3.179)

—с»

представляет собой вероятность перемодуляции.

Основываясь на эргодичности процесса а,(/), В6ЛИЧИНЫ #0г» Айг ((например, при

^определении посредством среднеквадратического отклонения) и 1 м можно измерить,

основываясь на определениях (соответственно)

с = Нт 4- Г щ ({) сИ; (3.180)

г-> оо

Дод=1/ 11т \ (() ЛГ, (3.181)

[«I

(0 < 0]

= Нт -у- Д [«*(/)] = Нт

V . (3.182)

Г-»оо

,] Г-» оо '

аде

( 1 при х <" 0:

(3-183)

( 0 при х >

-функция-фиксатор; Г{аг(/)<0] — время пребывания процесса ниже нулевого уров-

ня. В случае периодического сигнала усреднение в (3.180) ... (3.182) производится

•в пределах периода.

Пусть, например,

з((, а

, шо) =Л

соз соо^. (ЗЛ84)

Тогда в случае амплитудной модуляции (АМ)

уам(0=Л(0 со5Шо(0==^о[1+т1о(0]со5(йо<, (3.185)

где

Л(/)=Л

+5АА||О(<) (3.186)

— закон АМ;

т=5аА|/Л о=АЛ/Л о (3.187)

— коэффициент АМ.

119