Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

т. е. числовых характеристик, определенных на множестве тех или

иных функций, определенных по модели (например, мощности стацио-

нарного процесса, длительности или энергии импульса, интервала кор-

реляции) .

Тип 5' — представляет собой функции

У=Ых), (3-74)

вполне аналогичные функциям |ч(х) (тип 2) и отличающиеся от послед-

них лишь тем, что в данной ИС они представляют собой результат из-

мерения, хотя для другой ИС они могут служить входным процессом

(например, результаты измерений, выполняемых с помощью корреломет-

ров, анализаторов спектра, осциллографов и других типов панорамных

анализаторов).

Тип 6' — процессы

У=А}Х, (3.75)

вполне аналогичные процессам АгХ (тип 3), но отличающиеся от них

тем, что они являются процессами на выходе (а не на входе) данного

измерительного преобразователя (например, для вольтметра средне-

квадратического значения процесс на выходе квадратора относится

к данному типу, но одновременно и к типу 3, если рассматривается

интегратор, подключенный к выходу квадратора).

Результаты измерений 1' ... 4' типов имеют ту важную особенность,

что они выражены в виде чисел или решений, ввиду чего их дальней-

шее преобразование невозможно (исключая сравнение числа с поро-

гом — опять-таки в целях вынесения решения). Поэтому измерения, свя-

занные с получением этих результатов, отнесены к классу завер-

шенных.

Результаты измерения типов 5' и 6' являются либо достаточными

статистиками, полученными с целью устранения («сжатия») «лишней»

информации, либо характеристиками, визуализация которых помогает

наметить ход дальнейшего исследования (тип 5'), либо, наконец, необ-

ходимым промежуточным измерительным преобразованием (тип 6')-

Использование этих характеристик связано с последующим получением

чисел и решений, ввиду чего измерения этих типов следует отнести

к классу незавершенных.

Преобразования, происходящие в измерительной цепи, можно изображать, исполь-

зуя либо буквенные, либо цифровые обозначения (см. рис. 3.12). Так, преобразование

р {П [Л (X)]} =

* (- - Пг) (

М - п

можно представить также в виде

Аг А а л

причем операции А1 и Л

приводят к промежуточным результатам измерения /

и /г.

Примером служит цепь преобразований: исследуемый процесс—>-двумерная плотность

вероятности—>-корреляционная функция •—>-числовое значение интервала корреляции,

Таким образом, в классификации отражены всевозможные типы

входных процессов х и результатов измерений у, соответствующие ис-

пользуемому тезаурусу, а также возможные виды отображений х—уу,

реализуемых с помощью ИС. Существенно, однако, что сочетание х

и у не может-быть произвольным, поскольку результат измерения дол

жен в определенном смысле соответствовать входному процессу или,

как мы будем говорить, быть согласованным с ним.

Алгоритмы элементарных измерений (в рамках концепции идеаль-

ных ИС), как и в случае комплексных измерений, можно получить

методом «синтеза по определению» на основе априорной информации

о характере входного процесса и желательной структуры результата

измерений. Методику синтеза лучше всего рассмотреть на конкретных

примерах. Последующие примеры (вместе с примерами предыдущего

параграфа, рассматриваемыми как отдельные элементарные измерения)

охватывают основные типы входных процессов и результатов измере-

ний. Измерения предполагаются согласованными. В некоторых случаях

делают небольшие отступления от концепции идеальных систем в на-

правлении учета возможных ограничений, встречающихся на пути реа-

лизации идеального алгоритма.

Пример 1. Воспроизведение характеристик. Рассмотрим преобразо-

вания вида х(()—>-/;(х) (см. рис. 3.12), реализуемые с помощью приборов для вос-

произведения характеристик и(х) процессов или систем (измерителей функций, пано-

рамных анализаторов, приборов для наблюдения и исследования кривых). Эти системы

можно классифицировать по признакам, аналогичным показанным на рис. 2.4,а, б:

— по мерности аргумента х (одномерные и многомерные анализаторы для слу-

чаев скалярного и векторного аргумента соответственно);

— по виду анализа (параллельные многоканальные анализаторы, дающие сово-

купность значений 1(Хг), 1=1, Ы, N — число каналов, и последовательные одноканаль-

лые анализаторы, дающие функцию

ОО

I [х„ (0] = |! (х) а [х — хо (/)] йх

•

(3.76)

—00

где х

{{)—закон управления считыванием, для случаев дискретного и непрерывного

аргумента соответственно);

— по физической природе функции /(х), определяющей назначение системы.

Таблица 3.4

В табл. 3.4 приведены некоторые из функций }(х) и наименования соответствую-

щих приборов, предназначенных для их получения, что соответствует третьему из

указанных выше признаков классификации.

Рассмотрим более подробно методы построения и особенности работы однока-

нальных анализаторов с последовательным анализом, имея в виду, что получаемые

результаты будут справедливы для любого из каналов параллельного анализатора

в предположении, что х

{()=х1. Будем предполагать, что выходной процесс в даль-

нейшем используется для получения числовых характеристик модели (значений функ-

ционалов и параметров), путем преобразования вида /(х)—а. Исходя из этих со-

ображений, целесообразно потребовать, чтобы анализатор обеспечивал:

— возможность изменения масштаба (а также инвертирования) по осям абсцисс

и ординат;

— возможность периодического повторения функции /(х) и ее сдвига (опереже-

ния, задержки) относительно тактового интервала.

Указанные требования выполняются яри использовании алгоритма идеальной си-

стемы, имеющего вид

![Хо(1)]=

1> — —

~ а{{(/ь-с — 1Т), (3.77)

—00 I I

где

х„ ({) = -у — с — 1Т (3.78)

— закон управления «считыванием»; а и Ь — масштабные коэффициенты для оси

амплитуд и времени соответственно; с — временной сдвиг; Т — период. Если а>О,

6>0 меняются лишь масштабы кривой, если же а<О, Ь<0, то дополнительно происхо-

дит амплитудное и временное инвертирование.

Легко заметить, что все блоки системы физически нереализуемы. Поэтому не-

обходимо обойти это ограничение, для чего использовать алгоритм, приближенно вос-

производящий (3.77) и допускающий возможность реализации.

Предположим, что процесс 2;(/) эргодический, т. е. с вероятностью единица

М {** [I (0]} = Нш 4- \

8х

[1 (0] Л = !(х), (3.79)

Г-> оо

)

где ^41(0] — некоторый оператор, определяемый видом исследуемой характеристики

' при значении аргумента последней, равном х.

Определим оценку функции [(х), основываясь на (3.77) и (3.79), приближенным

. выражением

00 00

[„

Й = С | (*)] ®А [*-*.(•«)]

(*--0 ЛсЛ, (3-80)

О —оо

где (х) = а! (Д, х) — весовая функция (последовательность функций с параметром Д),

такая что

{ щ(х)йх = 1; Нтш

(х)= 8(х), (3.81)

Л д->0

—00

причем (по определению) операции интегрирования и предельного перехода комму-

тативны:

оо ОС

Нш

I (х)

Шд

(х

—

) йх =

Цх) 11т

хю.

(х

—

)] йх = /(х

); (3.82)

д->о л д->о

—00 —00

к(1)—импульсная реакция устойчивого линейного фильтра.

Структурные схемы анализаторов, реализующие алгоритмы (3.77) и (3.80), пред-

ставлены на рис. 3.13,а и б соответственно.

Рассмотрим вначале свойства оценки (3.80) в статическом режиме, полагая

—Хо—сопз!. Математическое ожидание оценки

$4*<>)}= | м {

ёх

ц (0]} ш

(х - Хо) ах =

оо оо

Г {(X)

(X - Хо) ах.

О -а.

/М

(3.83)

№

(2)

МП

(2)

МП

[х-х

ц]\

а 6

Рис. 3.13. Обобщенная структурная схема последовательного анализатора:

—

идеального; б

—

номинального.

Если

то согласно (3.82)

Например, положив

к (I) аг

А(0 =

1/7", 0<^<7-

0. 0>О7",

с учетом (3.79) можно также записать (для х

(т)=хо=сопз1)

Пт Пт

Д—>0 оо

ёх (х)] Ш

(X — Хо) ах

аг = 1(х о).

(3.84)

<3.85)

(3.86)

(3.87)

Однако ЭТОТ предельный случай не имеет практического смысла. Поэтому, пола-

гая условие (3.84) выполненным и Д#0, вместо (3.85) будем иметь

ОО

Хо

(Хо)} = ^ ( X) ®

(X — Х

) йх' =

[а, (Хо)

ф } (Х

(3.88)

Отсюда видно, что функции хю(х)ф$(х) сглаживает кривую /(*о), приводя к по-

тере ее «тонкой структуры», что эквивалентно ухудшению разрешающей способности

анализатора или, как мы будем говорить, появлению смещения. Например, положив

I "А"*

Яд (X) = )

-->

1 А

(3.89)

9.3

получим

° + т

Ы*о)=4~ | !(х)йх. (3.90)

Перейдем теперь к рассмотрению динамического режима работы анализатора, по-

ложив в (3.80) т(х) =б[хо(0]> Хо(Л^=сопз4. Тогда

{!({)} = м Я |

ёх

[5 (т)] а [* - х. (х)] ах,

х к V -

х)

ах

= | {[Хо (х)] к (1-х)

йх.

(3.91)

Допустив вначале

]

что к({)з=&({), получим

м{пт-кхот

(3.92)

т. е. математическое ожидание оценки воспроизводит анализируемую функцию при де-

формации оси абсцисс в соответствии с законом управления считыванием. Такая де-

формация не приводит к ошибкам, если она соответствующим образом корректируется

при индикации, например, путем использования функции хп(1) для развертки. Однако,

для интересующих нас применений, связанных не с простым наблюдением функции

!(х), а с ее последующей обработкой, такая деформация нежелательна. Поэтому

единственно допустимым классом функций х

(() является класс линейных (пилообраз-

ных) функций

х({) ={/Ь,

где Ь=А/Т — крутизна (коэффициент преобразования масштаба времени).

В результате М{[У)}=!(ЦЬ) и при Ц1)ФЬ(1)

(3.93)

М {!(()} = ^(х/Ь)к(1~ х)ах. (3.94)

Последнее выражение показывает (ср. с (3.88)), что влияние функции

/г

(О в ди-

намическом режиме таково же, как и функции ®

(х) в. статическом режиме работы

анализатора, и приводит при фиксированной функции к(1) к сглаживанию (смещению)

кривой М{[({)}, причем эффект сглаживания проявляется тем больше, чем меньше

значение коэффициента Ь, чему соответствует сжатие [((). Сделав замену переменной

т/6=т', легко убедиться, что к такому же эффекту приводит соответствующее рас-

тяжение к(1), например, увеличение постоянной времени фильтра при фиксированной

функции [ (/).

Соотношения, характеризующие работу конкретных анализаторов, можно получить

из приведенных общих выражений как частные случаи. Проиллюстрируем это на при-

мерах.

1. Пусть }(х)=р(х)—одномерное распределение. Используя (3.88), имеем

•М

{7(0} = ^ Р {х) (х

—

Хо) йх = Рш (Хо).

—00

(3.95)

Если

и>д

(х) определять выражением (3.89), то в соответствии с (3.90)

*о

я»(х<0=4- | р(*№ (*»+4-)

—

^ (

°-"т)

(3.96)

где Р (х) = ^ р (г) йг — интегральный закон.

—ОО

Отсюда видно, что Р

(хо) пропорционально вероятности пребывания мгновенных

значений процесса 5(0, предполагаемого стационарным и эргодическим, в интервале

(

Л л

—~2~, х

-\--2~и что можно записать в виде

1 д А

\ 1 1 Г1

Яш(х„) = — "2-<|(*)<Хо + Ч"]

Т""

~ТЦ

1, (

где Р (•) — вероятность; ^ ^ — суммарное время пребывания процесса в интервале

/ д Д \

[ Хо — ~2~ъ Хо-Н" )• Таким образом, имеем анализатор, работающий по известному-

методу «относительного времени пребывания» [6]; весовая функция и>

(х) имеет в этом

случае смысл ширины «дифференциального коридора».

Результирующая оценка при х

(() = (А/Т)( (3.80) имеет вид

1 °°

Н((—г)й%. (3.98)

где

Д Д

— <ко<хо +—;

д (3.99)

О, Хо — — >5(0>*« + —

— характеристика амплитудного селектора.

Отсюда, полагая что Н(1) имеет вид (3.86), можем конкретизировать (3.87), за-

писав

р(х

) = Нш Нш "г ( /

[|(0] Л. (3.100)

Д->0

Г—>00 ®

Подробный анализ работы такого прибора содержится в работах [6—8, 107].

Применим формулу (3.100) к процессам вида

|(0=^-т), (3.101)

где 5 (•)—известная периодическая (с периодом Г) функция; т — случайная величина

с плотностью вероятностей

. . /4-, 0<х<7";

и, о>х^г,

(3.102)

являющимся, очевидно, стационарными и эргодическим.и.

Полагая, в силу периодичности функции х(-). Т

= кТ, к= 1, 2, ..., и обозначив

1 1 1

Д Д5

получим

кпт

р(в) = Ига Нт 4-• —т-= 11т Нт 4-\1

Т-оо л->о

* Д Ц ь^п д^о

кт

ьг.

к^00 ^ |

№ + ^П -

С»)

( = 1

«7-

1 = 1

Нт

д$-»о

^ ($ + Дя) - и (в)

Д5

п т

( = 1

си (5)

й&

(3.103)

где п

— число участков монотонного изменения функции «(•) при данном 5 в пре-

делах периода Г,

+ Т) (I* — произвольный момент времени). Последняя

формула следует также из правила функционального преобразования (3.101) случай-

ной величины т с заданным распределением (3.102) (см., например, [11]).

Легко заметить, что р(з) не зависит от Т, поскольку в (3.103) <Н($) изменяется

пропорционально Т, а п

при этом остается неизменным.

В табл. 3.5 приведены примеры распределений периодических сигналов [11].

Таким образом, формируя периодические сигналы заданной формы, можно ими-

тировать случайные стационарные процессы с заданным распределением, например,

в целях поверки и диагностики анализаторов. Так, сигнал, соответствующий приме-

ру 2 табл. 3.2, позволяет оценить разрешающую способность анализатора, а «пилооб-

разное» распределение весьма удобно для контроля динамического диапазона интегра-

тора {105].

2. Пусть теперь /(х) = т. е. исследуемая характеристика процесса |(0

представляет собой энергетический спектр. На основании (3.82) и (3.88)

1Г(со

) = Нт \ Г (со) а>

(со — со

) Ао. (3.104)

д-»о

—00

Весовая функция определяется выражением ш

(со) = \К. (/<о)|2, где

—00

т. е. представляет собой нормированный (3.81) квадрат модуля коэффициента пере-

дачи линейного узкополосного фильтра с импульсной реакцией ^о(щ) (О

резонансной

частотой шо. Величина

(<•>„)

= ^(<0)\КЦ(СО-(С

)]\Ы(0,

—00

очевидно, представляет собой дисперсию процесса на выходе такого фильтра. Пре-

дельное выражение (3.104) означает, что точное значение спектра получается при

стремлении к нулю эффективной полосы пропускания Д фильтра. Например, если <в

(со)

определить в виде (3.89) (идеальный фильтр), то

+ Т

Г (со„) = Нгп 4- Г ХР(<а)йи>.

д->0 " Л

Таким образом, выражение (3.97) принимает вид

Г г со -2

<и,

О I

—00

Г («о») = Нш Нш ^ И | Ох)

А„

К)

(( -

х)

йх

Д->0 Г->ос

оценку (3.80) можно записать как

г(

)=5

00 "12

^ I Ь)

ю (

Ш0

(0) (

> - ^ М< ~ ^

-оо ^

(3.105)

аде

^Ю (ш—ш

({)) (0 —импульсная реакция перестраиваемого по закону со„ (/) фильтра.

Структурные схемы рассмотренных анализаторов, являющиеся конкретизацией

структурной схемы рис. 3.13, с учетом выражений (3.98), (3.105), хорошо известны

из литературы [6].

Применительно к этим случаям также описано появление характерных динами-

ческих искажений за счет конечного времени развертки при последовательном ана-

лизе. В книге А. А. Харкевича [106] рассмотрен вопрос о деформации характеристики

резонатора; в работе В. А. Антошина [107] описано аналогичное явление в анализато-

рах законов распределения, обнаруженное экспериментально и описанное теоретически

для случая гауссовского процесса на входе. Выражение (3.94) является решением

указанной задачи в общем случае.

Заметим также, что классическое определение понятия «разрешающая способ-

ность» [6] (рис. 3.14), используемое как один из показателей качества анализаторов,

следует из (3.88) при }(х)=8(х——х

), в результате чего

(Хо)

ю (хо—х{)

(Хо—Хг) .

Отсюда разрешающая способность анализатора —находится из решения урав-

нения

?« ( ) = 0,5[щ (х)

тах

. (3.106)

Определение (3.88), регламентирующее смещение, справедливо для произвольных ана-

лизаторов, при любых видах анализируемых характеристик и весовых функций.

Пример 2. Оценка функционалов. [108 ... 116]. Здесь мы рассмотрим

класс измерительных систем, характеризуемых преобразованием (см. рис. 3.12) вида

}(х)—*-р, предполагая, что /(*)—сигнал на выходе какой-либо из систем, рассмотрен-

ных в предыдущем примере, предназначенных для воспроизведения характеристик

[(х), а Р — некоторый определенный на этом множестве характеристик функционал.

7—96 97

Та б лица 3.5

При этом мы остановимся на одном весьма важном классе функционалов, имея целью

ввести их единообразные определения, что весьма важно для унификации аппаратуры.

Будем считать, что форма функции не изменяется при произвольном линейном

преобразовании осей координат, т. е. все функции вида

г{х)=а}(х/Ь—с) (3.107)

при данном /(•) и произвольных значениях параметров интенсивности ае(0, оо), по-

ложения се(—оо, оо) и протяженности 6е(0, оо) имеют одинаковую форму.

Нам желательно определить функционалы Р(г)=Р(а, Ь, с): интенсивности Р

(г)-

положения Р

(г)\ протяженности Рь (г) со свойствами:

Ра (г) =Р'а(а)Р"

, (3.108а>

Рс(г)=Р'с(с)Р"с, (3.1086).

Рь(г)=Р'ъ(Ь)Р"

, (3.108в)

где Р'а(а), Р'с(с), Р'ь(Ь)—произвольные монотонные функции параметров а, с, Ь

соответственно; Р"

, Р"

, Р"ь—произвольные функционалы, не зависящие от пара-

метров а, с, Ь соответственно. Таким образом, указанные свойства требуют фактори-

зации функционала относительно данного параметра.

Приведенная классификация функционалов включает в себя большинство прак-

тически измеряемых в радиотехнике величин, которые получаются как частные случай

при конкретизации физического смысла функции }{х). Например, (рис. 3.15) функцио-

нал положения Хо характеризует расстоние вдоль оси х от начала координат до неко-

торым образом определенного «центра» функции. Желательно, чтобы размерность хо

совпадала с размерностью х. Функционал протяженности Ах характеризует «протяжен-

ность» или «эффективную протяженность» / (х) вдоль оси х (даже в тех случаях,

когда область определения [(х) бесконечна). Размерность Ах также должна совпадать

с размерностью х. Возможно также определение безразмерных функционалов, напри-

мер, функционала относительной протяженности — как отношения функционалов

А* и х.

Рис. 3.14. К классическому определению Рис, 3.15. К определению функционалов по-

понятия «разрешающая способность». ложения и протяженности.

Мы ограничим свою задачу рассмотрением свойств некоторых достаточно общих

определений, которые можно ввести одним из следующих методов:

— методом выбранных точек или условных уровней, основанным на произволь-

ном, но оговариваемом способе выбора некоторых значений аргумента х* или функ-

ции /\ Метод можно использовать для определения х

и Ах. Этот метод получил

наиболее широкое распространение на практике, благодаря возможности измерения

непосредственно по графику (осциллограмме) функции [(х);

— методом моментов, связанным с определением «центра тяжести» или «диспер-

сии» функции 1(х). Метод, как и предыдущий, используется для определения Хо и Ах\

— методом нормированных функционалов, основанным на использовании отношения

!1П1р/НП1р

при различных значениях , р

. Метод используется для определения Дх.

Функционалы, интенсивности.

Свойством (3.108а) обладают любые однородные функционалы [72], ввиду чего

функционал Ра (г) можно определить в виде нормы функции

(г)=\\[(х)

||,

}е=Е,

где Е — нормированное пространство. Из этого определения следует

\\а{{х) ||= |а|||/(х) ||,

чему удовлетворяет, например, норма

^ (х)Мх

№(*)||р =

1X1

1/Р

, р = 1, 2 ...

(3.109)

(3.110)

(3.111)

Функцию [(х), определяемую условием

Нх):ЭРе{1, 2,...}

№(*)|1Р =

А "11/р -1

будем называть обобщенным импульсом.

(3.112)