Розенберг В.Я. Введение в теорию точности измерительных систем

Подождите немного. Документ загружается.

значение величины а также находится в этом диапазоне). Необходимо,

сравнивая аса, варьируя а, выбрать значение

а*

= а.

Решение этой задачи, частными случаями которого являются опи-

санные выше методы, состоит в следующем. Величины а и а сравни-

ваются между собой, для чего выбирается некоторая функция этих

величин р(а, а), обращающаяся в нуль при выполнении равенства (1.5).

Символически это записывается так

р(а, а)— О а —а, (1.7)

где — знак, заменяющий слово «следует» («вытекает, «влечет за

собой» и т. п.).

Для удобства потребуем, например, чтобы функция р(а, а) явля-

лась неотрицательной функцией аргумента |Да|

р(а, а)=р(|Ла|)'>0. (1.8)

Заметим, что при этом

р(а, а) =р (а, а), (1.9)

т.е. эта функция симметрична относительно аргументов а и а.

Если к тому же функция р (а, а) является монотонной функцией

аргумента |Аа|, то она имеет единственный экстремум (минимум) при

а=а, причем ее значение в точке минимума равно нулю. Примерами

подобных функций являются функции вида

(|Да|) = |Да|", (1.10)

где р = 1, 2, ... .

Если функция р(|Да|) дифференцируема (как, например, в случае

= 2), то условие минимума, как обычно, запишется в виде

с1

(\Аа\)!с1а, _ = 0. (1.11)

[а=а

Выражениям (1.5) и (1.11) эквивалентна запись

а* = аг§тт

(| а — а |) (Ы2)

а(=.Л

(где Л —диапазон показаний [1]), означающая, что резуль-

тат измерения а* находится как такое значение аргумента а (обозначе-

ние аг§) функции р(| а—а|), которое соответствует минимуму этой

функции (равному, согласно (1.7), нулю). Физический смысл выраже-

ния (1.12), очевиден: в процессе измерения осуществляется подбор

(поиск) такого значения меры а =

а*,

при котором «разбаланс» Да

равен нулю (или, что то же (1.7), при котором значение функции

р(|Да|), наблюдаемое на нуль-индикаторе, достигает минимума, рав-

ного нулю).

Уравнения измерения (1.5), (1.11) и .(1.12) с принципиальной точки

зрения эквивалентны; однако, если (1.5) описывает лишь конечный

результат измерения, то (1.11) и (1.12) указывают также на необходи-

мость достижения в процессе измерения минимума функции р(|Да|).

Вопрос о том, какова процедура достижения минимума, остается и

в этом последнем случае открытым. Естественно поэтому попытаться

сделать и последний шаг — описать процесс поиска минимума как по-

следовательность сменяющих друг друга во времени состояний (попы-

ток) а» (г—1, 2, ...), соответствующих подбору «подходящего» значе-

ния а* меры. Так при уравновешивании массы тела гирями последова-

тельно испытывают различные комбинации гирь из имеющегося

набора; при мостовых измерениях подбирают положение движка балан-

сирующего органа (потенциометра, конденсатора переменной емкости,

вариометра) и т. п. При этом, как правило, начинают с некоторого

произвольного значения а1 и наблюдают соответствующее ему значение

р(|а—а 1]), используя которое, приближенно оценивают следующее

значение и наблюдают соответствующее ему р(|а—аг|) и т. д.

Подобную процедуру можно записать в виде рекуррентного соотноше-

ния:

йг

0,1—Уг

[ф (

| а—СЦ

|) )йа

(1.13)

где уг (1=1, 2,...)—некоторая последовательность положительных

чисел, убывающая -с ростом г (например, у*=1/г). Смысл величин у

- со-

стоит >в том, что по мере приближения к точке экстремума (по мере

увеличения числа шагов I) абсолютные изменения «текущего» значения

меры должны уменьшаться, с тем, чтобы обеспечивалась сходимость а

к а с увеличением г

Нт| а

— а/1

= 0. (1.14)

Знак производной указывает направление движения к точке экстре-

мума; если йр1йа~>0, то а^Ка^ т. е. значение меры следует умень-

шить, а если йр!йа<.0, то а^ 1>а

-, т. е. значение меры следует увели-

чить.

Таким образом, выражение (1.13) вполне соответствует тем сообра-

жениям (действиям), которыми руководствуется (которое совершает),

нередко интуитивно, экспериментатор в процессе проведения измерения:

он «движется» по направлению к истинному значению измеряемой ве-

личины— вначале крупными шагами, а затем (вблизи последнего) все

более мелкими, соблюдая осторожность; «проскочив» искомую точку, он

изменяет направление движения на противоположное.

Формулу измерения (1.12) можно представить соответствующей

структурной схемой (рис. 1.1). Если управление («наводку на нуль»,

достижение баланса) производит экспериментатор, то он по существу

выполняет функцию управляющего устройства (У), руководствуясь

показанием нуль-индикатора (Н.—И) и воздействуя на меру а. Если

же управление производится автоматически, то нуль-индикатор не

нужен.

Структура управляющего устройства описывается алгоритмом

(1.13). Перепишем его в виде

1— йг=—уг 51§П [Йр ( | й—йг

| ) /с1йг]

(1.15)

и перейдем от этого дискретного алгоритма (разностного уравнения)

к непрерывному алгоритму (дифференциальному уравнению)

йа{1)1й1=—у^)$щп{й

[\а—а{1)\]1йа{г)}, (1.16)

которому соответствует схема управляющего устройства автоматической

измерительной системы (рис. 1.2).

Процесс измерения заканчивается после нескольких итераций (1.15)

или по прошествии некоторого времени (1.16) получением результата

измерения, отсчитанного по шкале (индикатору), которой снабжена

мера.

В отличие от (1.5), выражение (1.15) можно назвать алгорит-

мом измерения, поскольку оно представляет собой предписание,

указывающее совокупность и последовательность действий, которые

необходимо и достаточно предпринять для получения результата изме-

рения. Термины «процесс измерения», «процедура измерения», «метод

измерения» и «алгоритм измерения» мы будем в дальнейшем считать

синонимами.

Описанная модель процесса измерения соответствует так называе-

мой идеальной измерительной системе, характеризуемой

отсутствием каких бы то ни было факторов, вызывающих нарушение

равенства (1.5), т. с. отклонение результата измерения от истинного

значения измеряемой величины. Проблема точности возникает лишь

Рис.

1.1. Структурная схема изме-

рительной системы.

Рис. 1.2. Структурная схема управляющего

устройства автоматической измерительной си-

стемы.

тогда, когда учитываются факторы, под влиянием которых находится

реальная измерительная система: несовершенство аппара-

туры и алгоритма, воздействие внешних влияющих неконтролируемых

возмущений, ограниченность времени и ряд других причин, из-за кото-

рых результат измерения неизбежно оказывается отягощенным по-

грешностью [1]. Погрешность, будучи выражена в единицах изме-

ряемой величины (абсолютная погрешность [1]), записывает-

ся в виде

6 а = а*—а. (1.17)

Обычно отклонение а* от а в любую сторону считается нежелатель-

ным. Поэтому можно определить погрешность измерения в виде

функции

р'(ба)^0, (1.18)

обладающей, например, такими же свойствами (ем. (1.7)—(1.9)), как

и р(|Ла[). Функцию р'(-) можно выбрать так, чтобы она описывала

нежелательность (опасность, потери, риск, штраф), связанную с тем или

иным отклонением б а.

На практике часто пользуются относительной погреш-

ностью [1]

6а/а= (а*—а)/а. (1.19)

Поскольку истинное значение а на практике неизвестно, часто исполь-

зуют так называемое действительное значение [1] .измеряе-

мой физической величины.

Точность измерений [1] определяется как

|а*/6а|«|а/6а|. (1.20)

Учитывая связь (1.19) с (1.20), мы далее для определенности будем

пользоваться понятием «.погрешность», а не «точность».

Описанная модель процесса измерения (как, впрочем, и всякая

другая), весьма уязвима для критики, с позиций, выходящих за рамки

исходных предположений. Однако требования практики, заставляющие

ее оценивать именно с этих позиций, в данном случае оказываются

минимальными. Действительно, «узость» модели, «жесткость» ее исход-

ных предпосылок проявляются в следующем:

1. Говоря о том, что на измерительный прибор «подается» 'неизвест-

ная величина, мы игнорируем тот факт, что в действительности прибор

взаимодействует не с физической величиной, а с некоторым реальным

исследуемым объектом.

Измерение должно рассматриваться как познавательный процесс,

в результате которого можно получить описание исследуемого объекта

в количественных терминах, т. е. — модель объекта или связанные

с нею отдельные характеристические свойства объекта.

Только числовые значения физических величин без указания их

связи с моделью объекта не позволяют интерпретировать или исполь-

зовать результат измерения. Допустим, что исследователь получил

сообщение: «Напряжение источника равно 10 В». Если исследователю

ранее не было известно, параметром или функционалом какого сигнала

является этот результат, то ценность последнего представляется крайне

сомнительной, так как его можно отнести к среднему, средневыпрям-

ленному, среднеквадратическому, мгновенному или пиковому значениям

периодического или случайного сигнала, амплитуде прямоугольного

импульса и т. п. С другой стороны, дополнительное сообщение о харак-

тере (модели) сигнала делает это сообщение вполне содержательным.

Но такие свойства, как «периодичность», «случайность», «прямоуголь-

ность» и т. п. также устанавливаются при экспериментальном исследо-

вании объекта (в данном случае источника напряжения), причем

результат измерения (в данном случае 10 В) неразрывно связан с эти-

ми свойствами. Отсюда следует, что результат измерения в действитель-

ности -содержит нечто большее, чем указание значения физической ве-

личины или даже совокупности физических величин.

2. Проблематика теории точности должна охватывать не только

вопрос о точности измерения данной физической величины (или даже

совокупности таких величин), но и обоснование самого выбора этих

величин, т. е, решение вопроса о том, что именно следует измерять.

Этот вопрос должен решаться с учетом цели измерения. Жела-

тельно использовать такой способ выражения погрешности, при котором

ее значение характеризует степень достижения поставленной цели.

Проиллюстрируем это соображение на простейшем примере измерения скалярной

элзической величины. Так, предположив, что данный резистор полностью характз-

:::;уется величиной омического сопротивления, значение которой подлежит измерению,

совершим грубую ошибку, если в условиях реального применения этот резистор

будет включен в высокочастотную цепь, поскольку в этом последнем случае его не-

обходимо описывать более сложной моделью '(эквивалентной схемой), учитывающей

-Г

комплексное сопротивление на рабочей частоте, поверхностный эффект, паразитные

г'-'кэсть и индуктивность и т. д.

Если тот же резистор в условиях реальной эксплуатации будет испытывать воз-

:?гсгвие тока, сила которого меняется в большом диапазоне, его, возможно, следует

; 2::иатривать как нелинейное сопротивление. Если заданы жесткие требования к ста-

бильности характеристик цепи, необходимо рассматривать этот же резистор как не-

стационарную систему, учитывая изменение его параметров во времени (например,

старение) и под действием внешних факторов ((температуры, влажности и т. п.).

Если данный резистор включен во входных цепях приемника с большим коэффи-

циентом усиления, его следует рассматривать как активный элемент.

Таким образом, одному и тому же исследуемому объекту мы ста-

вим в соответствие ту или иную модель, исходя из условий применения

и необходимой точности; при этом характеристики объекта, подлежа-

щие измерению, полностью определяются выбранной моделью. Напри-

мер, исходную модель резистора можно принять, если в конкретных

условиях применения можно пренебречь его реактивным сопротив-

лением, нелинейностью, нестабильностью, шумами, т. е. эта модель

представляет собой вырожденный, частный случай более общей модели,

учитывающей указанные факторы.

3. Совершенно очевидно, что точность реальной измерительной си-

стемы в значительной степени определяется теми решениями (или,

ка,к мы еще будем говорить, управлениями), которые принимают-

ся (осуществляются) проектировщиком на всех этапах эволюции систе-

мы— от ее замысла, до технического воплощения и эксплуатации.

В свою очередь свобода выбора этих решений регламентируется заданны-

ми извне требованиями, имеющимися ресурсами и другими ограниче-

ниями. В частности, эти ограничения при исследовании объектов,

имеющих вероятностную природу, лимитируют время наблюдения или

число доступных наблюдению реализаций исследуемого процесса, из-за

чего метод (алгоритм) измерения выбирается на основе статистическо-

го подхода, т. е. с использованием аппарата математической статисти-

ки, теории игр и статистических решений.

Отсюда следует, что результат измерения нельзя получить иначе,

как путем обработки результатов наблюдений, т. е. измерение неразрыв-

но связано с вычислениями и противопоставлять эти две стороны едино-

го процесса неправомерно. В действительности специфика процесса

измерения по сравнению с процессом «чистого» вычисления заключает-

ся в том, что измерение представляет собой экспериментальную про-

цедуру, в которой принимает непременное участие реальный исследуе-

мый объект (вещь), а не только абстрактные математические объекты

(числа, векторы, функции и т. п.).

4. Очевидно также, что результат измерения является статистиче-

ской оценкой, т. е. представляет собой случайную величину. Отсюда

следует, что и погрешность (1.17) является случайной величиной, ввиду

чего теория точности в своих построениях должна оперировать не са-

мой величиной, а ее вероятностными характеристиками, например, сред-

ним квадратическим отклонением или доверительными границами ре-

зультата измерения [1].

Кроме того, в рассмотренной модели не нашла отражения связь

измерительной системы с внешней средой, с факторами, не связанными

с исследуемым объектом, но оказывающими влияние на результат изме-

рения. Эти факторы многочисленны и разнообразны. Сюда относятся

произвольные сочетания внешних условий, в .которых проводится дан-

ный измерительный эксперимент, отклонение элементов системы от но-

минала и их самопроизвольный «уход» с течением времени, неточность

градуировки шкалы, вызванная неидеальностью образцовой меры и

самого процесса градуировки и другие факторы, -которые в совокупности

называются влияющими факторами [1].

Таким образом, рассмотренная модель, будучи в силу своей просто-

ты и наглядности -весьма удобным отправным пунктом для иллюстрации

исходных представлений, связанных с процессом измерения, в то же

время не может служить удовлетворительной основой для построения

конструктивной теории точности.

В последующих параграфах этой главы мы попытаемся, путем по-

степенного усложнения модели, перейти к 'более полному учету обстоя-

тельств, имеющих место в реальной ситуации. При этом нам неизбежно

потребуется придать некоторым из приведенных выше терминов расши-

ренное толкование.

1.2. ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ. II

В этом параграфе мы рассмотрим понятия «исследуемый объект»,

«цель измерения» и «модель».

Исследуемыми объектами мы называем реально сущест-

вующие объекты (вещи, явления, системы, процессы, поля и т. п.)

материального мира, а также взаимодействия и связи между ними, изу-

чаемые данной наукой или в данном эксперименте. К ним относятся

•объекты органической и неорганической природы, состояния (фазы)

вещества и переходы между ними, элементарные частицы и их взаимо-

действия, изделия, искусственно созданные человеком для достижения

определенных целей (продукты труда) и процессы их создания — коро-

че, все то, что представляет интерес с научной или практической точки

зрения. Легко заметить, что наше «определение» исследуемого объекта,

апеллирующее к здравому смыслу, эмоциям, повседневному опыту,

основано на тавтологии («исследуемый объект — объект исследова-

ния»). Это не случайно, поскольку содержательное описание исследуе-

мого объекта можно получить лишь после опыта (апостериори). Если

такое определение можно было бы дать до опыта (априори), то само

исследование оказалось бы излишним.

Каждая конкретная наука изучает закономерности, присущие опре-

деленному множеству (классу) исследуемых объектов (медицина — ор-

ганизм человека и его заболевания, радиотехника — каналы связи, ки-

бернетика— системы управления и т. п.); в то же время в каждом

измерительном эксперименте имеют дело с вполне конкретным объек-

том— элементом этого множества (представителем класса) или,

в крайнем случае, несколькими такими объектами (конкретными па-

циентами, каналами связи, системами управления и т. п.). Все множе-

ство объектов, изучаемых данной наукой, будем обозначать X, а кон-

кретный (фиксированный) объект, изучаемый в данном измерительном

эксперименте, — х Целью измерения, таким образом, является по-

.лучение информации об исследуемом объекте, причем следует иметь

в виду, что измерение может проводиться:

а) в Зисто познавательных задачах, в которых осуществляется

всестороннее изучение объекта, без четко сформулированных идей по

применению получаемых результатов в прикладной деятельности (при-

мерами служат общие проблемы изучения мирового океана, организма

человека, элементарных частиц);

б) в прикладных задачах, связанных с выявлением определенных

свойств объекта, существенных для вполне конкретного применения,

причем эти свойства могут либо способствовать, либо препятствовать

достижению поставленных задач (изучение содержания ценных метал-

лов в морской воде с целью оценки целесообразности применения того

или иного способа их извлечения; действия радиоактивных препаратов

на опухолевые образования и здоровые ткани живого организма

с целью выработки рекомендаций по диагностике и лечению онкологи-

ческих заболеваний; взаимодействия элементарных частиц с целью

создания управляемых термоядерных реакторов).

Между этими двумя аспектами трудно провести четкую границу,

поскольку в процессе всестороннего изучения, как правило, обнаружи-

ваются свойства объекта, существенные для практики. Получение и

использование информации — характерное свойство кибернетических

систем. Поэтому измерения следует признать «познавательной частью»

кибернетики, имеющей своим объектом — предметы и явления окружаю-

щего мира, методом — эксперимент, а средствами — измерительные си-

стемы. Эксперимент неразрывно связан с теорией, являющейся формой

выражения знаний о реальных объектах, средством их объяснения,

описания.

Языком теории в точных науках является математика. Считают

[73], что «физические теории — это прежде всего понимаемые содержа-

тельно системы математических соотношений». При этом объекты

реального мира и взаимодействия между ними заменяют абстрактными

математическими объектами (числом, вектором, тензором, множеством,

группой и т. д.) и математическими отношениями (такими, как функция,

эквивалентность, порядок, истинность и т. д.). Математические объекты

и отношения между ними, используемые в данной теории и приведен-

ные в систему, образуют тезаурус этой теории. Тезаурус М пред-

ставляет собой [81] множество математических моделей, упорядочен-

ных и классифицированных по некоторой системе признаков. Тезау-

рус— это «запас» моделей, либо имеющихся в распоряжении

исследователя при данном состоянии теории, либо выбранных им исхо-

дя из практических соображений, с учетом имеющихся ограничений.

Тезаурус можно рассматривать как словарь языка, используемого для

формирования количественных, математически точных утверждений

о реальных объектах. Математическая модель т — элемент тезауру-

са М, сответствующий фиксированным значениям признаков.

Для описания процесса измерения в теории точности измеритель-

ных систем необходимо располагать тезаурусом, включающим в себя

модели исследуемых объектов, результатов измерения, внешних влияю-

щих факторов, измерительной системы и ее субсистем.

Естественным математическим аппаратом теории точности является теория мно-

жеств и функциональный анализ [72]. Учитывая, что в метрологической литературе

этим разделам математики уделяется незаслуженно малое внимание, приведем опре-

деления некоторых основных математических объектов и отношений между ними, ко-

торые понадобятся нам в дальнейшем.

Множество (обозначается X, У, 2.) есть любое собрание определенных и

различимых между собой элементов [(обозначаются х, у, г), мыслимое как единое

целое. Его задают перечисляя в фигурных скобках все входящие в него элементы

или указывая характеристическое свойство [(признак) Р, которым отмечены элементы

данного множества:

Х={х

,..., х

}\ Х={Х1, х

,...}

(причем, каковы элементы, обозначенные точками, должно быть как-нибудь указано);

Л'={.V : х имеет свойство Р}.

В последней записи двоеточие «:» читается как «так что» («такое |(-ая), (-ой), что»).

Множество, состоящее из одного элемента (единичное множество), обозна-

чается как х (а не {х}). Множество, не содержащее ни одного элемента, называется

пустым множеством и обозначается 0.

Выражение х принадлежит |(не принадлежит) множеству X символически запи-

сывают так х^Х'(х

<Е=

X).

Таким образом, X представляет собой весь «запас точек» х, представляющих инте-

рес в данном рассмотрении.

Пусть X и

— произвольные множества. X есть подмножество У, если

каждый элемент X является и элементом У, и возможно, каждый элемент У является

также элементом X. Это обозначается так Х^У или УэА'.

Знак е (или Э)—символ включения |(Е читается как «включено в»,

= — «включает в себя»).

Если ХеУ и УЕА, Т. е. каждый элемент X является также и элементом У, то

множества называются р а в н ы м и А=У.

Если А=У и ХфУ, то говорят, что X является истинным подмножеством

У и пишут ХаУ.

Рассмотрим операции над множествами.

Объединение множеств Х\, Хг,..., Х

I) х1=Хг у ... и х

1 = 1

(где У — знак объединения) есть множество элементов, содержащихся по крайней

мере в одном из множеств Хс

X \ У Х

У ... У Х„ = {х : х

€=

ИЛИ х^Х

ИЛИ ... ИЛИ Х €Е Х

Пересечение множеств

П ^ = ••• П*л

(=1

(где П—знак пересечения) есть множество элементов, содержащихся в каждом из

множеств Хс

Х^Х

^...^Х

={х-.х^Х

и х е Хг и ... и х & Х

Если Х{ П X) = 0, то говорят, что XI и X; ке пересекаются. В противном

случае — пересекаются.

Разность множеств X и У, обозначаемаяЛГ\У, есть множество тех элементов

А", которые не содержатся в У

Х\У = {х : X е х и х еУ}.

Если Х^У, то дополнение X множества X до множества У есть множество

Множество 7. упорядоченных конечных последовательностей (х\, х

,..., х

), где

«е!/, (Ь=\, п) *> называется прямым произведением множеств Х

Хг, ..Х

2=Х^ХХ

Х ... ХХ

{(XI,

хг, ..., х

)

хк^Х

<=Х

). (1.21)

В частности, если

А"1

= А2= ... =Хп— X,

то

2 = Хп = {(х

Хг Хп)-.ХкеХ, к=ТГп}. (1.22)

*> Запись к= 1, п означает: к пробегает значения от 1

2—96

59 5А 67

до п включительно.

17__

Чвржг1всъка державна

облаг/'а

Ц6ЛЮТЕ!! А

I . 9. Г. КОР

Примерами множеств, элементами которых являются реальные объекты, могут

служить: сигналы, подаваемые на вход данного прибора при всевозможных измере-

ниях , проводимых с его помощью; показания (результаты измерения), регистрируемые

по шкале этого прибора при измерениях; значения внешних влияющих факторов, при

•которых допустимо использовать этот прибор; комплектующие изделия, применяемые

при сборке приборов данного типа на данном заводе; образцовые средства, используе-

мые при градуировке приборов данного типа.

Представляют также интерес множества, составленные из абстрактных элементов,

такие как множество математических моделей, используемых в данной теории (тезау-

рус); множество действительных чисел х; множество упорядоченных групп из п дей-

ствительных чисел (XI, Х2, ..., х„); множество непрерывных на отрезке (а, Ь) функций

,!(х) и т. п.

Примером единичного множества является множество показаний прибора с непо-

движной стрелкой (по всей вероятности, нуждающегося в ремонте); пустым множест-

вом является множество реальных приборов, не обладающих погрешностью.

Допустим, что все виды вольтметров переменного тока рассчитаны на измерение

амплитуды а сигналов, вида

где А и Р диапазоны амплитуд а и частот ^ соответственно. Необходимо, чтобы упоря-

.доченная пара (а, /) принадлежала множеству АХР, определяемому потребностями

практики

Если рассматривать отдельно частотные диапазоны Рг каждого типа вольтметров,

то, очевидно, желательно иметь такую «гамму» вольтметров, чтобы диапазоны Рг всех

•

п типов вольтметров перекрывали весь диапазон Р следующим образом

Отношением на множестве X называется подмножество Я множества XXX.

Бместо х^Я пишут х^Ях, или «имеет место х

(

Яхр>, что означает «х

находится

в отношении Я к хр>. В противном случае применяют запись х,ЛхВажными классами

отношений являются отношения эквивалентности и отношения порядка.

Пусть X — произвольное множество (Хф0). Отношение Я на X называется

.отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами:

1) для любого х^Х хЯх (рефлексивность);

2) хЯу=$уЯх (симметричность); (1-24)

3) хЯу, уЯг=$хЯг (транзитивность).

Имеет место следующая известная теорема о разбиении. Если на множе-

стве Х={х\, хг, .. ,}задано отношение эквивалентности, то множество можно разбить

на попарно непересекающиеся подмножества так, что ХгЯх, тогда и только тогда, когда

•Хг, х^ принадлежат одному подмножеству. Каждое такое подмножество называется

классом эквивалентности по отношению Я.

Отношение ^ на множестве X называется отношением частичного поряд-

ка на X, если оно удовлетворяет условиям:

1) для любого х^Х хг^х (рефлексивности);

2) зс<г/, у х = у (антисимметричности); (1-25)

3) (транзитивности).

Множество X с заданным на нем отношением частичного порядка (так назы-

ваемая упорядоченная пара (X, ;=:)) называется частично упорядоченным

{"(0}

= {"(0

"(О =азт2я^, ш=Л, ^ееР, <<=(—оо, оо)},

'.(а,

!)ееАхР.

(1.23)

Л 8

множеством. Пусть (X, ^)—частично упорядоченное множество. Говорят, что

множество УсX ограничено сверху (снизу), если существует элемент х*е=Х

такой, что х*~^х для всех хеУ. х*<=Х называется минимальным (ма-

ксимальным) элементом, если из х^х* (х*г=:х) следует х*=х. Элементы х, и х,

множества X называются несравнимыми, если не имеет места ни ни

Если X — подмножество множества действительных чисел, ограниченное сверху

(снизу), то число х* называется его верхней

;

(нижней) границей. Наимень-

шая -(наибольшая) из верхних (нижних) границ называется верхней (нижней)

гранью и обозначается

$цр X или зирх (1п1 X ИЛИ 1ПГ Х).

Отношением порядка |(или отношением линейного порядка) на множе-

стве X называется отношение частичного порядка ^С на множестве X, удовлетворяю-

щее следующему условию: для всех х, г/еХ, либо хгсгг/, либо у^х. Соответствующее

множество в этом случае называется упорядоченным (или линейно упорядочен-

ным). Примерами отношений частичного порядка являются отношения (меньше или

равно), е -(включение), (следует).

Если X и У непустые множества и каждому элементу хеХ соответствует единст-

венный элемент г/еУ, обозначаемый символом р(х), то говорят, что / есть определен-

ная на X функция, принимающая значение из У. Впрочем, для множеств произвольной

природы вместо термина «функция» удобней применять термин «о т о б р а ж е н и е»,

говоря об отображении одного множества в другое. Для обозначения отображения из

X в У часто пользуются записями вида

У = Т(Х), !:Х^У, Х^У

зли (X, У, {) («упорядоченная тройка»). Тройка (X, У, /) называется также отобра-

жением X в У.

Пусть / — отображение X в У. Если Е<=Х, то используют также запись

/(5) ={Г(х) :хеЕ}.

Если. Е^У, то

Если ЦХ) =У, то I называется отображением X на У.

Отображение / назовем взаимно-однозначным, если из х,следует

Цх1)ф}(х1). Два множества Х

и Х

называются эквивалентными, если их эле-

менты связаны взаимно-однозначным отображением.

Термин «функция» удобно сохранить для случая / : X—>-У, когда X и У — число-

вые множества. Сюда относятся функции вида у=х

, у=е~

х2

, у = зт х и т. п.

Если X — множество функций, а У—числовое множество, отображение { назы-

вается фуцкционалом Примерами функционалов являются энергия сигнала

\ &г{Ь)<И, его максимальное значение тах ${Г) на интервале (0, 7").

Л, '6=<0.Г>

Если X и У суть множества функций, то отображение { называется операто-

ром. Например, линейная цепь описывается операторами типа интеграла свертки, ли-

нейных интегрального, дифференциального или интегродифференциального уравнений.

Для теоретических построений удобно рассматривать измерительную систему как

устройство, отображающее одно множество в другое. С этой точки зрения вольтметр

или амперметр постоянного тока, омметр, весы и любые другие приборы, осуществляю-

2* 19